Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

График функции у = arcsin x.

Построим синусоиду х = sin у. Значения аргумента у (угла) в данном случае откладываются по оси Оу, а соответствующие значения функции х, то есть sin у, – по оси Ох.

Выделим (жирной линией) на полученном графике кусок с концами в точках (–1; –^π/₂) и (1; ^π/₂). Этот кусок кривой представляет собою график функции у = arcsin x.
График функции аrcsin x приведён на рисунку:

График функции Аrcsin x приведён на рисунку:

График функции

у = arcsin x

симметричен относительно биссектрисы I и III координатных углов графика функции:

у = sin x, где –^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂;

График функции у = arcsin x может быть получен из графика функции

у = sin x, –^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х.

График функции у = arcсоs x.

Для получения графика функции у = arcсоs x строим график функции х = соs у.

и выделим часть его с концами в точках (–1; +1).
График функции аrcсоs x приведён на рисунку:

График функции Аrcсоs x приведён на рисунку:

График функции

у = arcсоs x

симметричен относительно биссектрисы I и III координатных углов графика функции:

у = соs x, где 0 ≤ х ≤ π;

График функции у = arcсоs x может быть получен из графика функции

у = соs x, 0 ≤ х ≤ π,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х.

График функции у = arctg x.

Графиком функции у = arctg x служит ветвь кривой х = tg у, отвечающая промежутку изменения у от –^π/₂ до ^π/₂.

График функции аrctg x приведён на рисунку:

График функции Аrctg x приведён на рисунку:

График функции

у = arctg x

симметричен относительно биссектрисы I и III координатных углов графика функции

у = tg x, где –^π/₂ < х < ^π/₂;

График функции у = arctg x может быть получен из графика функции

у = tg x, –^π/₂ < х < ^π/₂,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х.

График функции у = arcсtg x.

Графиком функции у = arсctg x служит ветвь кривой х = сtg у, отвечающая промежутку изменения у от 0 до π.

График функции у = arcсtg x приведён на рисунку:

График функции у = Аrcсtg x приведён на рисунку:

График функции

у = arсctg x.

симметричен относительно биссектрисы I и III координатных углов графика функции

у = ctg x, где 0 < х < π

График функции у = arcсtg x может быть получен из графика функции

у = сtg x, 0 < х < π,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х.

ПРИМЕР:

Построить график функции
1. Область определения: функция определена для х, удовлетворяющих неравенству
Последнее неравенство удовлетворяется при

х ≤ –1 и х ≥ 1

2. Область изменения значений функции:

0 ≤ у < ^π/₂,

так как
3. Функция чётная, так как

у(–х) = у(х).

4. Точки пересечения с осями координат:

– с осью Оу(х = 0) функция не может иметь точек пересечения, так как она определена только при

|х| ≥ 1

– с осью Ох(у = 0) она пересекается в точках (–1; 0) и (1; 0) (нули функции), так как
лишь при х = ±1.

5. Наименьшее и наибольшее значения функции в области определения.

В силу чётности функции достаточно её исследовать для х ≥ 1.

Если х = 1, то

у(1) = аrcсоs 1 = 0.

Если
следовательно,

причём
Итак, при х = 1 (и при х = –1) функция принимает наименьшее значение, равное нулю, а при
стремится к ^π/₂, оставаясь меньше ^π/₂. Ни при каком х не выполняется неравенство

то есть наибольшего значения наша функция не имеет.

6, Интервалы знакопостоянства.

Функция всюду в области определения неотрицательна, то есть
Для построения графика функции найдём некоторые опорные его точки, а затем соединим их плавной линией с учётом свойств функции.

Так как функция
чётная, то достаточно построить её график для

х ≥ 1 (1 ≤ х < +∞),

а затем продолжить его симметрично относительно оси Оу для

х ≤ –1 (–∞ < х ≤ 1).

Составим таблицу значений функции
(с точностью до 0,01) для некоторых значений х.

Соединив полученные опорные точки плавной линией и учтя, что прямая у = ^π/₂ является горизонтальной асимптотой при
мы получим график функции
на бесконечном полуинтервале

[1, +∞).