Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 15 мая 2022 г.

Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

График функции  у = arcsin x.

Построим синусоиду  х = sin у. Значения аргумента  у (угла) в данном случае откладываются по оси  Оу, а соответствующие значения функции  х, то есть  sin у, – по оси  Ох.
Выделим (жирной линией) на полученном графике кусок с концами в точках  (–1; – π/2)  и  (1; π/2). Этот кусок кривой представляет собою график функции  у = arcsin x.
График функции  аrcsin x  приведён на рисунку:
График функции  Аrcsin x  приведён на рисунку:
График функции

у = arcsin x

симметричен относительно биссектрисы  I  и  III  координатных углов графика функции:

у = sin x, где  π/2 х  π/2;

График функции  у = arcsin x  может быть получен из графика функции

у = sin xπ/2 х π/2,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой  у = х.
График функции  у = arcсоs x.

Для получения графика функции  у = arcсоs x  строим график функции  х = соs у.
и выделим часть его с концами в точках  (–1; +1).
График функции  аrcсоs x  приведён на рисунку:
График функции  Аrcсоs x  приведён на рисунку:
График функции

у = arcсоs x

симметричен относительно биссектрисы  I  и  III  координатных углов графика функции:

у = соs x, где  0  х π;

График функции  у = arcсоs x  может быть получен из графика функции

у = соs x0 х π,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой  у = х.
График функции  у = arctg x.

Графиком функции  у = arctg x  служит ветвь кривой  х = tg у, отвечающая промежутку изменения  у  от  π/2  до   π/2.

График функции  аrctg x  приведён на рисунку:
График функции  Аrctg x  приведён на рисунку:
График функции

у = arctg x

симметричен относительно биссектрисы  I  и  III  координатных углов графика функции

у = tg x, где  π/2 < х <  π/2;

График функции  у = arctg x  может быть получен из графика функции

у = tg xπ/2 < х < π/2,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой  у = х.
График функции  у = arcсtg x.

Графиком функции  у = arсctg x  служит ветвь кривой  х = сtg у, отвечающая промежутку изменения  у  от  0  до  π .

График функции  у = arcсtg x  приведён на рисунку:
График функции  у = Аrcсtg x  приведён на рисунку:
График функции

у = arсctg x.

симметричен относительно биссектрисы  I  и  III  координатных углов графика функции

у = ctg x, где  0  < х < π

График функции  у = arcсtg x  может быть получен из графика функции

у = сtg x0 < х < π,

с помощью преобразования симметрии относительно прямой  у = х.
ПРИМЕР:

Построить график функции
1. Область определения: функция определена для  х, удовлетворяющих неравенству
Последнее неравенство удовлетворяется при

х –1  и  х 1

2. Область изменения значений функции:

0 у < π/2,

так как
3. Функция чётная, так как

у(–х) = у(х).

4. Точки пересечения с осями координат:

с осью  Оу(х = 0)  функция не может иметь точек пересечения, так как она определена только при

|х| ≥ 1 

с осью  Ох(у = 0)  она пересекается в точках  (–1; 0)  и  (1; 0)  (нули функции), так как
лишь при  х = ±1.

5. Наименьшее и наибольшее значения функции в области определения.

В силу чётности функции достаточно её исследовать для  х 1.

Если  х = 1, то 

у(1) = аrcсоs 1 = 0.

Если
следовательно,
причём
Итак, при  х = 1 (и при  х = –1) функция принимает наименьшее значение, равное нулю, а при
стремится к  π/2, оставаясь меньше  π/2. Ни при каком  х  не выполняется неравенство

то есть наибольшего значения наша функция не имеет.

6, Интервалы знакопостоянства.

Функция всюду в области определения неотрицательна, то есть
Для построения графика функции найдём некоторые опорные его точки, а затем соединим их плавной линией с учётом свойств функции.
Так как функция
чётная, то достаточно построить её график для 

х 1 (1 х < +),

а затем продолжить его симметрично относительно оси  Оу  для 

х –1 (∞ < х 1).

Составим таблицу значений функции
(с точностью до  0,01) для некоторых значений  х.
Соединив полученные опорные точки плавной линией и учтя, что прямая  у = π/2  является горизонтальной асимптотой при
мы получим график функции
на бесконечном полуинтервале

[1, +).
Продолжив его чётным образом на бесконечный полуинтервал

(–∞; –1],

мы получим график функции
во всей области её определения.
Задания к уроку 30

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий