Урок 24. Умножение десятичных дробей

ВИДЕО УРОК

Умножение двух десятичных дробей.

Десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному процессу для дробей обыкновенных.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой с правой стороны столько десятичных знаков, сколько их было в множимом и множителе вместе.

ПРИМЕР:

Найдите произведение  2,064  и  0,05.

РЕШЕНИЕ:

Перемножим целые числа:

2064 ∙ 5 = 10320.

В первом сомножителе было три знака после запятой, во втором – два. В произведении число десятичных знаков должно быть пять. Отделим их справа и получим  0,10320. Нуль, стоящий в конце, можно отбросить:

2,064 ∙ 0,05 = 0,1032.

ОТВЕТ:  0,1032  

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут несколько нулей.

ПРИМЕР:

Найдите произведение  1,125  и  0,08.

РЕШЕНИЕ:

Перемножим  1125  и  8:

1125 ∙ 8 = 9000.

Число знаков после запятой должно быть  3 + 2 = 5. Приписываем к  9000  нули слева  (009000)  и отделяем справа пять знаков. Получаем:

1,125 ∙ 0,08 = 0,09000 = 0,09.

ОТВЕТ:  0,09

При умножении десятичных дробей, можно сначала их перевести в обыкновенные, затем перемножить, и ответ опять перевести в десятичную дробь.

ПРИМЕР:

Найдите произведение  1,5  и  0,75.

РЕШЕНИЕ:

Для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Так как  0,75 – это  ⁷⁵/₁₀₀, а  1,5 – это  ¹⁵/₁₀. Перемножим обыкновенные дроби, и полученный результат запишем в виде десятичной дроби.

ОТВЕТ:  1,125

Умножение десятичных дробей столбиком.

Метод подсчёта столбиком можно применять не только для умножения натуральных чисел, но и для умножения десятичных дробей. Сначала выполняем умножение столбиком, не обращая внимания на запятые. Затем ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, надо дописать слева нули.

ПРИМЕР:

Найдите произведение десятичных дробей  63,37  и  0,12  столбиком.

РЕШЕНИЕ:

Сначала выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

Теперь надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна  4. Дописывать нуль не придётся так как знаков достаточно.

ОТВЕТ:  7,6044

ПРИМЕР:

Найдите произведение десятичных дробей  3,2601  и  0,0254  столбиком.

РЕШЕНИЕ:

Сначала выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

Теперь будем ставить запятую, отделяющую  8  цифр с правой стороны, так как исходные дроби вместе имеют  8  знаков после запятой. Но  в нашем результате всего семь цифр, значит, нам не обойтись без дополнительных нулей.

ОТВЕТ:  0,08280654

ПРИМЕР:

Умножение десятичной дроби на  0,1,  0,01,  0,001 и так далее.

Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Если умножим десятичную дробь на  0,1  0,001,  и так далее, в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков.

Для этого пользуются такими правилами.

Чтобы умножить десятичную дробь на  0,1, 0,01, 0,001  и так далее, надо  в этой дроби перенести запятую влево на  1, 2, 3  и так далее цифры.

Умножим десятичную дробь  45,76  на  0,1. Для этого надо умножить  4576  на  1, затем в полученном  произведении отделить запятой справа налево три цифры – столько, сколько их было отделено в обоих множителях вместе. Получим:

45,76 ∙ 0,1 = 4,576.

Сравнивая множитель  45,76  и произведение  4,576, видим, что произведение  4,576  можно получить из множителя  45,76, если в нём перенести запятую на одну цифру влево.

Рассуждая таким образом, получим, что при умножении  45,76  на  0,01, надо в числе  45,76  перенести запятую на две цифры влево:

45,76 ∙ 0,01 = 0,4576. 

При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева

ПРИМЕР:

Найдите произведение десятичных дробей  9,4  и  0,0001.

РЕШЕНИЕ:

Здесь придётся переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватает. Приписываем необходимые нули и получаем следующий результат:

9,4 ∙ 0,0001 = 0,00094.

ОТВЕТ:  0,00094

ПРИМЕР:

Умножим  26,4  на  0,1.

РЕШЕНИЕ:

26,4 ∙ 0,1 = 2,64.

ОТВЕТ:  2,64

ПРИМЕР:

Умножим  3,7  на  0,01.

РЕШЕНИЕ:

3,7 ∙ 0,01 = 003,7 ∙ 0,01 = 0,037.

ОТВЕТ:  0,037

Умножение десятичной дроби на натуральное число.

Процесс такого умножения ничем не отличается от действия умножения двух десятичных дробей.

Чтобы  умножить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, и в найденном результате отделить справа запятой столько цифр, сколько их имеет дробь после запятой.

Если в записи десятичных дробей много цифр, тогда удобно умножать их в столбик. Первым, как правило, записывают число с большим количеством цифр. Второе число размещают под первым так, чтобы его последняя цифра стояла под последней цифрой первого множителя. Если количество цифр произведения меньше за ту, которую необходимо отделить запятой, тогда впереди дописывают необходимое количество нулей и ставят запятую согласно с правилом умножения.

ПРИМЕР:

Умножим число  0,0017  на  7. Перемножим числа  17  и  7, не обращая внимания на запятую, получим  119. Теперь необходимо отделить запятой справа налево  4  цифры, то есть столько, сколько их отделено в множителю  0,0017. Но в числе  119 – всего три цифры, поэтому перед полученным результатом ставят два нуля и отделяют справа налево  4  цифры:

Чтобы найти десятичную дробь от числа, необходимо данное число умножить на эту десятичную дробь. 

ПРИМЕР:

Найдите произведение  15  и  2,27.

РЕШЕНИЕ:

Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

ОТВЕТ:  34,05

Умножение десятичной дроби на  10, 100, 1000  и так далее.

Умножение десятичной дроби на  10,  100,  1000  и так далее часто встречается в задачах, поэтому разберём этот случай отдельно.

В десятичной дроби так же, как и в натуральном числе, значение цифры увеличивается в  10  раз при переходе на одно место справа налево. На основании этого можно быстро выполнить умножение на  10, 100  и так далее.

ПРИМЕР:

Умножим десятичную дробь  4,567  на  10.

РЕШЕНИЕ:

Сначала умножим на  10  число  4576. Получим  45760. Потом отделим запятой справа налево три цифры – столько, сколько было отделено в множителе  4,576. В результате получим:

4,576  ∙ 10 = 45,760 = 45,76.

Сравним множитель  4,576  и произведение  45,76. Произведение можно получить из множителя, если в множителе перенести запятую на одну цифру вправо.

Чтобы умножить то же самое число на  100, допишем к числу  4576  справа два нуля и в числе, которое получилось, отделим запятой три цифры. Получим:

4,576  ∙ 100 = 457,600 = 457,6.

Произведение  457,6  можно получить из множителя  4,576, если в нём перенести запятую на две цифры вправо.

Так же легко умножить любое число на  10, 100, 1000  и так далее. Для этого пользуются таким правилом.

Чтобы умножить десятичную дробь на  10, 100, 1000, … , необходимо в данной дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей записано после  1  в числе, на которое умножаем, если при этом в числе не хватает знаков, то дописывают нули.

ПРИМЕР:

Умножим  0,124124  на  10 000.

РЕШЕНИЕ:

В записи числа  10 000  находится четыре нуля, поэтому в числе  0,124124  перенесём запятую на четыре цифры вправо. Имеем:

0,124124 ∙ 10 000 = 1241,24.

Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.

ПРИМЕР:

Умножим  3,7  на  100.

РЕШЕНИЕ:

Для этого необходимо в числе  3,7  перенести запятую на две цифры вправо. Но в этом числе после запятой только одна цифра. Поэтому необходимо дописать к этому числу справа нуль:

3,7 = 3,70.

Получим:

3,7 ∙ 100 = 3,70 ∙ 100 = 370.

ОТВЕТ:  370

ПРИМЕР:

Найдите произведение  100  и  0,0783.

РЕШЕНИЕ:

Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на  2  цифры в правую сторону. В итоге получим

007,83.

Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как

7,83.

ОТВЕТ:  7,83

ПРИМЕР:

Найдите произведение  10000  и  0,02.

РЕШЕНИЕ:

В десятичной дроби перенесём запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби не хватает для этого знаков, поэтому придётся дописывать нули. В этом случае будет достаточно трёх нулей. В итоге получим:

0,02000.

Перенесём запятую и получим

00200,0.

Нули перед двойкой не пишутся.

ОТВЕТ:  200

ПРИМЕР:

15,4 ∙ 10 = 154;

32,2 ∙ 100 = 3220.

Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или на смешанное число.

Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной.

ПРИМЕР:

Найдите произведение  0,4  и  3⁵/₆.

РЕШЕНИЕ:

Сначала переведём десятичную дробь в обыкновенную:

0,4 = ⁴/₁₀ = ²/₅.

Далее считаем:

ОТВЕТ:  1⁸/₁₅

ЗАДАЧА:

Один килограмм печенья стоит  1,64 руб. Сколько стоит  0,5 кг  печенья ?

РЕШЕНИЕ:

Так как  0,5 = ¹/₂, а  1 кг  печенья стоит  1 руб. 64 коп., то  0,5 кг  стоит:

1 руб. 64 коп. : 2 = 82 коп = 0,82 руб.

Этот же самый результат можно найти умножением:

1,64 ∙ 0,5 = 0,820 = 0,82.

При умножении числа  1,64  на число  0,5, получилось число, меньшее чем  1,64.

ОТВЕТ:

0,5 кг  печенья стоит  0,82 руб

Помните, что при выполнении умножения десятичных дробей можно применять переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения.

Задания к уроку 24:

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Нумерация
• Урок 2. Сложение натуральных чисел 
• Урок 3. Вычитание натуральных чисел
• Урок 4. Таблица умножения 
• Урок 5. Умножение натуральных чисел 
• Урок 6. Деление натуральных чисел
• Урок 7. Степень числа
• Урок 8. Измерение величины
• Урок 9. Деление с остатком
• Урок 10. Делимость натуральных чисел
• Урок 11. Наибольший общий делитель (НОД)
• Урок 12. Наименьшее общее кратное (НОК)
• Урок 13. Обыкновенные дроби
• Урок 14. Преобразование дробей
• Урок 15. Сложение дробей
• Урок 16. Вычитание дробей
• Урок 17. Умножение дробей
• Урок 18. Деление дробей
• Урок 19. Нахождение дроби от числа (задачи)
• Урок 20. Нахождение числа по известной его части (задачи)
• Урок 21. Конечные десятичные дроби
• Урок 22. Сложение десятичных дробей
• Урок 23. Вычитание десятичных дробей
• Урок 25. Деление десятичных дробей
• Урок 26. Округление чисел