Урок 9. Деление с остатком

среда, 24 июня 2015 г.

Урок 9. Деление с остатком

ВИДЕО УРОК

Деление натуральных чисел нацело не всегда возможно.

ПРИМЕР:

Нельзя разделить 30 на 7, ибо нет такого натурального числа, которое при умножение на 7 давало бы 30.

Как видим, разделить 30 на 7 в указанном выше смысле невозможно. Но в жизни встречаются ситуации, которые требуют распространить деление натуральных чисел и на такие случаи.

ПРИМЕР:

Разделить 30 тетрадей между 7 учениками поровну.

Поэтому рассматривают также деление с остатком. Чтобы не смешивать деление с остатком и рассмотренное раньше арифметическое действие деления, последнее ещё называют делением без остатка или делением нацело.

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем даёт число, не превышающее делимого.

Деление с остатком – это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, он всегда меньше делителя.

Деление с остатком записывается так:

ПРИМЕР:

Читается пример следующим образом:

<<17>> разделить на <<3>> получится <<5>> и остаток <<2>>.

Порядок решения примеров на деление с остатком.

1. Находим наибольшее число до <<17>>, которое делится на <<3>> без остатка. Это <<15>>.

15 : 3 = 5.

2. Вычитаем из делимого найденное число из пункта 1.

17 – 15 – 2.

3. Сравниваем остаток с делителем.

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя. Если получилось, что остаток больше делителя, значит, неверно найдено наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

4. Записываем ответ.

17 : 3 = 5 ост (2)

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число, которое делится без остатка. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик.

ПРИМЕР:

Разделить:

190 : 27.

РЕШЕНИЕ:

Методом подбора найдём на сколько надо умножить <<27>>, чтобы получить ближайшее число к <<190>>.

Попробуем умножить на <<6>>.

Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

190 – 162 = 28,

28 ˃ 27.

Остаток больше делителя. Это значит, что <<6>> как множитель не подходит. Попробуем умножить делитель на <<7>>.

Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

190 – 189 = 1,

1 < 27.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно.

ОТВЕТ:

190 : 27 = 7 ост (1)

Как проверить деление с остатком.

1. Умножить неполное частное на делитель.

2. Прибавить к полученному результату остаток.

3. Сравнить полученный результат с делимым.

Проверим ответ нашего примера:

190 : 27 = 7 ост (1)

1. 27 × 7 = 189.

2. 189 + 1 – 190.

3. 190 = 190.

Деление с остатком выполнено верно.

Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.

ПРИМЕР:

6 : 10 = 0 ост (6),

14 : 112 = 0 ост (14),

31 : 45 = 0 ост (31).

Другими словами, если Вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.

ПРИМЕР:

19 не делится нацело на 5. Число 1, 2, 3 при умножении на 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимого 19, но уже 4 даёт в произведении с 5 число 20, больше 19. Поэтому неполным частным является 3, а остатком – 4 (разность между 19 и произведением 3 × 5 = 15).

19 = 5 × 3 + 4.

Для натуральных чисел точному делению (делению без остатка) и делению с остатком можно дать следующее общее определение.

Разделить число а (делимое) на число b (делитель) – значит найти такие два числа q (частное) и r (остаток), которые удовлетворяли бы соотношениям

Если делитель b не равен нулю, то деление всегда возможно и дает единственный результат. Остаток при делении на число b может быть любое из чисел 0, 1, 2, …, b – 1.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо неполное частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Изменение остатка.

Если делимое и делитель увеличить или умножить в одно и то же число раз, то частное не изменится, но остаток увеличится (или уменьшится) в то же число раз.

С помощью букв это записывается так:

Пусть а – делимое, b – делитель, q – частное, r – остаток; тогда

a = bq + r (r < b),

am = (bm)q + rm,

a = bq + r (r < b),

a : m = (b : m)q + (r : m).

Об этом нельзя забывать при делении чисел, оканчивающихся нулями.

ПРИМЕР:

Деление

84100 : 400

иногда выполняют так:

В действительности же для чисел 84100 и 400 остаток будет не 1, а 100, так как мы делили 841 сотню на 4 сотни и получили 210 и в остатке 1 сотню.

ПРИМЕР:

Найдите значение частного чисел

11 986 и 342.

РЕШЕНИЕ:

Деление будем производить в столбик.

Первое неполное делимое – это 1198, значит, в записи частного будут две цифры.

Разделим 1198 на 342. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить <<342>>, чтобы получить ближайшее число к <<1198>>.

Попробуем умножить на <<3>>.

342 ∙ 3 = 1026.

1198 – 1026 = 172.

Получили остаток 172 < 342. Значит, цифра 3 подходит, её можно записать в частном вместо разряда десятков.

Приписываем к остатку 172 цифру 6 справа, получаем число 1726.

Разделим 1726 на 342. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить <<342>>, чтобы получить ближайшее число к <<1726>>.

Попробуем умножить на <<5>>.

342 ∙ 5 = 1710.

1726 – 1710 = 16.

Получили остаток 16 < 342. Значит, цифра 5 подходит, её можно записать в частном вместо разряда единиц.

Получили следующий результат.

Значение частного – 35, остаток – 16.

Теперь необходимо проверить, верно ли выполнено решение. Если делитель умножить на значение частного и прибавить остаток, то получится делимое.

342 ∙ 35 + 16.

Выполним умножение в столбик.

После этого прибавим 16 и получим

342 ∙ 35 + 16 – 11970 + 16 = 11986.

Сравним полученный результат с делимым. Числа совпадают, значит, деление было выполнено верно.

ОТВЕТ:

Значение частного – 35, остаток – 16.

ПРИМЕР:

Найдите значение частного чисел

423 492 и 683.

РЕШЕНИЕ:

Деление будем производить в столбик.

Первое неполное делимое – это 4234, значит, в записи частного будут три цифры.

Разделим 4234 на 683. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить <<683>>, чтобы получить ближайшее число к <<4234>>.

Попробуем умножить на <<7>>.

683 ∙ 7 = 4781.

Но число 4781 больше чем 4234. Значит, 7 не подходит, а частное будет меньше 7.

Проверим, подойдёт ли 6.

683 ∙ 6 = 4098,

4234 – 4098 = 136.

Получили остаток

136 < 683.

Значит, цифра 6 подходит, её можно записать в частном вместо разряда сотен.

Образуем второе неполное делимое 1369.

Разделим 1369 на 683. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить <<683>>, чтобы получить ближайшее число к <<1369>>.

Попробуем умножить на <<2>>.

683 ∙ 2 = 1366.

1369 – 1366 = 3.

Получили остаток 3 < 683. Значит, цифра 2 подходит, её можно записать в частном вместо разряда десятков. Образуем следующее неполное делимое 32.

Разделим 32 на 683. Получится 0, значит 32 – это и есть остаток.

Значение частного – 620, остаток – 32.

683 ∙ 620 + 32.

Выполним умножение в столбик.

После этого прибавим 32 и получим

683 ∙ 620 + 32 = 423 460 + 32

= 423 492.

Сравним полученный результат с делимым. Числа совпадают, значит, деление было выполнено верно.

ОТВЕТ:

Значение частного – 620, остаток – 32.

Для любознательных.

Правило девятки для проверки сложения.

Для проверки правильности выполнения сложения находят остатки от деления на 9 сумм цифр каждого слагаемого, складывают их и результат снова делят на 9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления на 9 суммы цифр найденной суммы. Если сложение выполнено верно, остатки равны.

ПРИМЕР:

В данном примере остатки от деления на 9 сумм цифр слагаемых равны 7, 6, 0, 7; их сумма равна 20. Делим 20 на 9, получаем остаток 2. А остаток от деления на 9 суммы цифр результата 11720 равен 2. Остатки равны, значит сложение выполнено верно.

Правило девятки для проверки умножения.

Для проверки правильности выполнения умножения находят остатки от деления на 9 сумм цифр каждого слагаемого, перемножают их и результат снова делят на 9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления на 9 суммы цифр найденной суммы. Если умножение выполнено верно, остатки равны.

ПРИМЕР:

Здесь остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей равны 3 и 4. Их произведение 12. Разделив 12 на 9, получим остаток 3. Такой же остаток получается, если разделить на 9 сумму цифр числа 140286. Следовательно, умножение выполнено верно.

Правило девятки не всегда даёт возможность обнаружить ошибки в вычислениях. Например, если бы вместо верного ответа 140286 получили 140376 или 142086, правило девятки не обнаружило бы ошибки, ведь остаток от деления на 9 суммы цифр каждого из этих чисел равны 3. Следовательно, этот способ проверки не является достаточным.

Так как вычитание и деление есть действия, обратные сложению и умножению, и правильность вычисления разности и частного проверяется соответственно сложением и умножением, то правило девятки можно применять также для контроля вычитания и деления.

Задания к уроку 9

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 24 июня 2015 г.