Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 5 сентября 2014 г.

Урок 2. Пропорції

ВІДЕОУРОК

Поняття про пропорцію.

Пропорцією називається рівність двох відношень.

Загальний вигляд пропорції:
ПРИКЛАД:

2 : 1 = 10 : 5,
2/3 = 8/12,
10 : 21/2 = 11/:  1/3;
20 м : 4 м = 10 кг : 2 кг.

Пропорції прийнято читати так: 
<<2  так відноситься до  1, як  10  відноситься до  5>>,
<<10  відноситься до  21/2, як  11/3  до  1/3 >>  і т. д.
Можна читати інакше:
<<відношення  2  до  1  дорівнює відношенню  10  до  5>>,
<<10  у стільки разів більше за  21/2, у скільки разів  11/3  більше за  1/3>>.
Члени відношень, які утворюють пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається з чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, які стоять по краях, називаються крайніми, а члени пропорції, які містяться всередині, називаються середніми членами. Таким чином, у першій пропорції числа  2  і  5  будуть крайніми, а числа  1  і  10 – середніми членами пропорції.
Всі члени пропорції можуть бути абстрактними числами, але два члени одного відношення (або обох відношень) можуть бути і однорідними іменованими числами.

ПРИКЛАД:

31/2 кг : 5кг = 1/2 м : 5/7 м.

Основна властивість пропорції.

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добуткові середніх її членів.

У загальному вигляді основну властивість пропорції
записують так:
Основна властивість пропорції може бути використана для перевірки правильності складених пропорцій.

ПРИКЛАД:

Перевірити правильність пропорції:

1/2 : 1/48 = 20 : 5/6.
1/2 × 5/6 = 1/48 × 20.

Пропорція правильна, бо виконується основна властивість пропорції:

5/12 = 5/12.

Отже, з наведених прикладів видно, що з чотирьох чисел рівності, в левій частині якої стоїть добуток одних двох чисел, а у правій – добуток двох інших чисел, можна скласти пропорцію.

Обчислення невідомих членів пропорції.

Обчислення невідомого члена пропорції називають розв’язанням пропорції. Для обчислення членів пропорції використовують наслідки з її основної властивості.

– невідомий крайній член пропорції дорівнює добуткові середніх, поділеному на відомий крайній,
невідомий середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на відомий середній,

Якщо  пропорція має вигляд:

ПРИКЛАД:

Знайдіть невідомий член пропорції:

х : 12 = 43/4 : 71/8.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Якщо
  пропорція має вигляд:

ПРИКЛАД:

Знайдіть невідомий член пропорції:

15 : х = 30 : 10.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Якщо
  пропорція має вигляд:

ПРИКЛАД:

Знайдіть невідомий член пропорції:

10,4 : 35/7 = х : 5/11.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Знайдіть невідомий член пропорції:

16 : 20 = х : 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо  пропорція має вигляд:

ЗАДАЧА:

Серед наведених записів укажіть неправильну пропорцію.

25 : 20 = 10 : 2,

2 : 6 = 3 : 9.

18 : 9 = 6 : 3.

12 : 4 = 27 : 9.

ЗАДАЧА:

Скільки кілограмів сушених грибів отримають із  18 кг  свіжих, якщо з  6 кг  свіжих грибів отримали  0,9 кг  сушених.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перестановка членів пропорції.

У кожній пропорції можна переставити:

– середні члени;
– крайні;
– середні і крайні;
– крайні на місце середніх і середні на місце крайніх члени.

Всього можна одержати з даної пропорції  8  пропорцій. У буквеному записі вони набувають такого вигляду:

a : b = c : d,    c : d = a : b,
d : b = c : a,    b : d = a : c,
a : c = b : d,    c : a = d : b,
d : c = b : a,    b : a = d : c.

Для всіх пропорцій виконується основна властивість:
ПРИКЛАД:

Виконати можливі перестановки членів у пропорції:

            5 : 3 = 20 : 12.

5 : 3 = 20 : 12,    
3 : 5 = 12 : 20,
5 : 20 = 3 : 12,    
3 : 12 = 5 : 20,
20 : 5 = 12 : 3,    
12 : 20 = 3 : 5,
20 : 12 = 5 : 3,    
12 : 3 = 20 : 5.

Спрощення пропорцій.

До перетворень, що не порушують пропорцію, належить одночасне збільшення або зменшення в однакове число разів:

– обох членів будь-якого відношення;
– обох попередніх або обох наступних членів;
– всіх членів пропорції.

Перелічені  перетворення дають можливість спрощувати пропорції, зокрема звільняти їх від дробових членів.

ПРИКЛАД:

Спростити пропорцію

1/2 : 1/48 = 20 : 5/6.

Помноживши всі члени даної пропорції на  48, одержимо:

24 : 1 = 960 : 40, або
24 : 1 = 96 : 4.

Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь – якій край ний член пропорції і будь – якій середній.
Якщо дві змінні величини пов’язані між собою так, що при зменшенні або збільшенні однієї з них друга теж зменшується або відповідно збільшується у стільки ж разів, то такі величини називають прямо пропорційними, а залежність між ними – прямою пропорційністю. Якщо дві величини обернено пропорціональні, то відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює оберненому відношенню відповідних значень другої величини.
Якщо ж дві змінні величини пов’язані між собою так, що при зменшенні або збільшенні однієї величини друга збільшується або відповідно зменшується у стільки ж разів, то вони називаються обернено пропорційними, а залежність між ними – оберненою пропорційністю.
Щоб поділити деяке число на частини, пропорційні даним числам, потрібно поділити його на суму цих чисел і знайдену частку послідовно помножити на кожне з них.
Щоб поділити деяке число на частини, обернено пропорційні даним числам, потрібно поділити його прямо пропорціональне оберненим числам.

Похідні пропорції.

Якщо до обох частин даної пропорції:
Додати по  1, то одержимо:
або
Сума членів першого відношення даної пропорції відноситься до його наступного члена, як сума членів другого відношення до його наступного.

ПРИКЛАД:

Якщо
5/3 = 20/12то 
8/3 = 32/12.
Різниця членів першого відношення відноситься до його наступного члена, як різниця членів другого відношення до його наступного члена.
Сума членів першого відношення відноситься до його попереднього члена, як сума членів другого відношення до його попереднього.
Різниця членів першого відношення відноситься до його попереднього члена, як різниця членів другого відношення до його попереднього члена.
Сума членів першого відношення відноситься до їх різниці, як сума членів другого відношення до його їх різниці.
Сума попередніх членів пропорції відноситься до суми наступних, як кожний попередній до свого наступного.

Всі ці і багато інших пропорцій, що одержуються з даної, називаються похідними пропорціями.
   
Завдання до уроку 2
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий