Урок 11. Наибольший общий делитель (НОД)

                                     ВИДЕО УРОК

Делители числа.

Делителем данного числа называется число, на которое данное делится без остатка.

ПРИМЕР:

Простое число  13  имеет только два делителя 

1  и  13.

Всякое составное число имеет более двух делителей.

ПРИМЕР:

Число  6  имеет  4  делителя:

1,  2,  3  и  6.

Чтобы найти делители данного составного числа, предварительно раскладывают его на простые множители; каждый из этих множителей будет простым делителем данного числа. Перемножением же простых множителей по два, по три, по четыре и т. д. получают составные делители данного числа.

Для разложения числа на простые множители применяем следующий приём:

а)  подбираем наименьшее простое число, на которое делится данное число;

б) представляем данное число как произведение найденного простого множителя и некоторого натурального числа;

в)  повторяем пункты  а)  и  б)  для нового натурального числа до тех пор, пока оно не станет равным единице.

ПРИМЕР:

Найти все делители числа  50.

50 = 2 × 5²,

следовательно, 50  делится на

1,  2,  5,  2 × 5 =10, 

5² = 25,  2 × 5² = 50.

Других делителей число  50  не имеет.

Известно правило, по которому можно легко определить количество всех делителей данного числа.

Для этого надо увеличить на единицу показатель степени каждого сомножителя канонического разложения данного числа и полученные числа перемножить.

ПРИМЕР:

Сколько делителей имеет число  5600 ?

5600 = 2⁵ × 5² × 7;

(5 + 1)(2 + 1)(1 + 1)

= 36.

Общий делитель нескольких чисел.

Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка.

Общий делитель двух чисел  а  и  b – это число, на которое делятся без остатка оба данных числа  а  и  b.

Заметим, что у некоторых чисел может вовсе не быть общих делителей, кроме единицы, а у иных их может быть несколько.

ПРИМЕР:

Числа  27  и  32  не имеют общих делителей, кроме  1.

Числа  25  и  35  имеют общие делители: 1  и  5.

Числа  42  и  105  имеют общие делители:  1, 3, 7  и  21.

Числа  21, 35  и  49  имеют общие делители:  1  и  7.

Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Для отыскания наибольшего общего делителя двух натуральных чисел следует выполнить следующие операции:

1)  Разложить каждое из данных чисел на простые множители.

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа – делитель. Далее в левом столбике записываем значения частных.

ПРИМЕР:

Найти наибольший общий делитель чисел

28  и 

64.

2)  Подчёркнуть одинаковые простые множители в обоих числах.

28 = 2 ∙ 2 ∙ 7.

64 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

3)  Найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел.

НОД (28, 64) = 2 ∙ 2 = 4.

Если какой-то простой множитель не входит в эти разложения в разных степенях, то в наибольший общий делитель он входит в наименьшей из этих степеней. Если нет ни одного простого множителя, входящего в оба рассматриваемых числа, то наибольший общий делитель равен единице.

Оформить нахождение  НОД  можно двумя способами:

в столбик или в <<строчку>>.

Первый способ записи НОД.

ПРИМЕР:

Найти  НОД  чисел  48  и  36.

НОД (48; 36) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

ПРИМЕР:

Найти  НОД  чисел  84  и  90.

РЕШЕНИЕ:

Раскладываем числа  84  и  90  на простые множители:

Подчёркиваем все общие простые множители и перемножаем их между собой:

1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Таким образом,

НОД (84; 90) = 6.

ПРИМЕР:

Найти  НОД  чисел  15  и  28.

РЕШЕНИЕ:

Раскладываем числа  15  и  28  на простые множители:

Числа  15  и  28  являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель – единица.

НОД (15; 28) = 1.

Второй способ записи НОД.

Теперь запишем решение поиска  НОД  в строчку.

ПРИМЕР:

Найти  НОД  чисел  10  и  15.

Д(10) = {1, 2, 5, 10},

Д(15) = {1, 3, 5, 15},

Д(10; 15) = {1, 5}.

НОД(10; 15) = 5.

ПРИМЕР:

Найти наибольший общий делитель чисел

А = 180  и 

В = 120.

РЕШЕНИЕ:

А = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 =

2 × 2 × 3 × 15 =

2 × 2 × 3 × 3 × 5;

В = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 =

2 × 2 × 2 × 15 =

2 × 2 × 2 × 3 × 5;

Вычисляем  С, равное наибольшему общему делителю чисел  А  и  В.

С = 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

ОТВЕТ:  60

ПРИМЕР:

У чисел  25  и  35 

НОД (25, 35) = 5;

У чисел  42  и  105 

НОД (42, 105) = 21.

ПРИМЕР:

Найти НОД чисел:

210,  1260  и  245.

Разложим эти числа на простые множители:

210 = 2 × 3 × 5 × 7;

1260 = 2² × 3² × 5 × 7;

245 = 5 × 7².

НОД(210, 1260, 245) = 
5 × 7 = 35.

Взаимно простые числа.

Два или несколько чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, называются взаимно  простыми.

ПРИМЕР:

Числа  15  и  22  взаимно просты;

Числа  7, 19, 32  и  84  взаимно просты.

Если данных чисел больше двух и каждые два из них взаимно просты, то такие числа называют попарно взаимно простыми.

ПРИМЕР:

6, 9  и  4 – числа взаимно просты, но не попарно взаимно просты;

Числа  8, 9, 7  и  55 – попарно взаимно просты. 

Способ Евклида.

Этот способ заключается в нахождении  НОД  путём последовательного деления.

Сначала рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

ПРИМЕР:

Возьмём два числа  27  и  9. Так как  27  делится на  9  и  9  делится на  9, значит, 9  является общим делителем чисел  27  и  9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что  9  не может делиться ни на какое число, большее  9. Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.

2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.

3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.

4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и так далее.

5. Таким образом, деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

ПРИМЕР:

Найдём наибольший общий делитель чисел  140  и  96.

РЕШЕНИЕ:

140 : 96 = 1 (остаток 44),

96 : 44 = 2 (остаток 8),

44 : 8 = 5 (остаток 4),

8 : 4 = 2.

Последний делитель равен  4 – это значит, что

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

1. Сначала находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.

2. Затем находим  НОД  найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.

3. Затем находим  НОД  последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

ПРИМЕР:

Найдём наибольший общий делитель чисел 

140, 96  и  48.

РЕШЕНИЕ:

НОД  чисел  140  и  96  мы уже нашли в предыдущем примере (это число  4). Осталось найти наибольший общий делитель числа  4  и третьего данного числа – 48.

48 : 4 = 12.

48  делится на  4  без остатка. Таким образом,

НОД (140, 96, 48) = 4.

Задания к уроку 11

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Нумерация
• Урок 2. Сложение натуральных чисел 
• Урок 3. Вычитание натуральных чисел
• Урок 4. Таблица умножения 
• Урок 5. Умножение натуральных чисел 
• Урок 6. Деление натуральных чисел
• Урок 7. Степень числа
• Урок 8. Измерение величины
• Урок 9. Деление с остатком
• Урок 10. Делимость натуральных чисел
• Урок 12. Наименьшее общее кратное (НОК)
• Урок 13. Обыкновенные дроби
• Урок 14. Преобразование дробей
• Урок 15. Сложение дробей
• Урок 16. Вычитание дробей
• Урок 17. Умножение дробей
• Урок 18. Деление дробей
• Урок 19. Нахождение дроби от числа (задачи)
• Урок 20. Нахождение числа по известной его части (задачи)
• Урок 21. Конечные десятичные дроби
• Урок 22. Сложение десятичных дробей
• Урок 23. Вычитание десятичных дробей
• Урок 24. Умножение десятичных дробей
• Урок 25. Деление десятичных дробей
• Урок 26. Округление чисел