Урок 1. Прямі і площини у просторі

ВІДЕОУРОК

Загальні зауваження.

Геометрична фігура називається просторовою, якщо не всі її точки лежать в однієї площині.

Прикладом просторової фігури може бути геометричне тіло – частина простору, яку займає предмет. Геометричне тіло відокремлюється від навколишнього простору поверхнею.

Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо їх можна сумістити так, щоб вони сумістилися всіма своїми частинами.

Припускається, що при переміщенні у просторі геометричні фігури не змінюються. Просторові фігури зображаються у виглчди рисунків, які виконуються за певними правилами, що ґрунтуються на геометричних властивостях фігур.

Основні властивості площини.

Основними поняттями стереометрії є: точка, пряма і площина.

– через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну;

 – якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку;

– якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

Наслідки:

– через пряму і  точку, що лежить поза нею, можна провести площину, і до того ж тільки одну;

– через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну;

– через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну;

– через будь-яку пряму у просторі можна провести безліч площин.

Множину площин, що проходять через деяку пряму, називають пучком площин, а пряму, через яку вони проходять, – віссю пучка. Площина на рисунку зображується у вигляді паралелограма і позначається однією буквою, наприклад  Р.

Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Дві прямі у просторі можуть мати таке розташування:

– дві прямі лежать в одній площині, при цьому вони можуть або мати спільну точку, тобто перетинаються, або не мати спільних точок, тоді їх називають паралельними;

– дві прямі не лежать в одній площині, отже, не мають спільних точок, тоді їх називають мимобіжними.

Дві мимобіжні прямі не утворюють кута в звичайному розумінні, тому що у них немає спільної точки.

Домовились вважати, що кут між двома мімобіжними прямими дорівнює куту,  утвореному двома променями, які виходять з однієї точки і паралельні до цих мимобіжних прямих.

На рисунку прямі  АВ  і  СD – мимобіжні, а промені  ОМ ∥ АВ  і  ОN ∥ СD; кут між мимобіжними прямими вважають таким, що дорівнює куту  МОN.

Віддаллю між двома паралельними прямими вважають довжину відрізка прямої, що знаходиться між ними, перпендикулярна до кожної з паралельних прямих і перетинає їх.

Віддаль між мимобіжними прямими вимірюється довжиною відрізка прямої, перпендикулярної до кожної з мимобіжних прямих, що перетинає кожну з них в точках, які є кінцями цього відрізка. Віддаль між двома мимобіжними прямими є найменша віддаль між точками, що лежать на цих прямих.

На рисунку зображені мимобіжні  прямі.

АВ, що лежить в площині  Р, і  СD, що перетинає цю площину. Пряма  МN  перпендикулярна як до  АВ, так і до  СD. Тоді довжина відрізка  МN  є віддаль між мимобіжними прямими  АВ  і  СD.

Взаємно розташування прямої і площина.

Пряма лінія і площина у просторі можуть бути розташовані так:

– пряма лежить у площині або, що те саме, площина проходить через пряму;

– пряма і площина мають одну спільну точку, тобто пряма перетинає площину; точку їх перетину називають слідом прямої на даній площині;

– пряма не має спільних точок з площиною, тобто пряма паралельна до площини.

Перпендикуляр і похила до площини.

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить на цій площині.

Пряма, яка перетинає площину, але не перпендикулярна до неї, називається похилою до цієї площини.

ТЕОРЕМА

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються і лежать у деякій площині, то вона перпендикулярна і до будь-якої прямої, що лежить у даній площині, тобто пряма перпендикулярна до площини.

Прямокутною проекцією точки на площину називається слід перпендикуляра, проведеного через цю точку до даної площини. Слід перпендикуляра на площині називається основою перпендикуляра, а слід похилої – основою похилої.

Прямокутною проекцією похилої на площину називається відрізок прямої, що сполучає основу похилої з основою перпендикуляра, опущеного з кінця похилої на цю площину.

ТЕОРЕМА

Якщо з однієї і тієї самої точки поза площиною провести до неї перпендикуляр і похилі, то:

– перпендикуляр менший за будь-яку похилу;

– похилі, що мають рівні проекції, рівні між собою;

– з двох похилих, що мають рівні проекції, більша та, проекція якої більша.

ПРИКЛАД:

На рисунку  АВ, АС  і  АD – похилі до площини  Р, а  АО – перпендикуляр до цієї площини. Тоді, якщо проекції  ОВ = ОС, то і похилі  АВ = АС; якщо  ОD < ОС, то і відповідно похилі  АD < АС.

ТЕОРЕМА

Якщо з однієї і тієї самої точки, що лежить поза площиною, провести до цієї площини перпендикуляр і похилі, то:

– рівні похилі мають рівні прєкції;

– з двох проекцій більша та, яка відповідає більшій похилій.

ТЕОРЕМА

Пряма, проведена на площині перпендикулярно до похилої, перпендикулярна до проекції цієї похилої на дану площину.

ТЕОРЕМА

Пряма, проведена на площині перпендикулярно до проекції похилої на цю площину, перпендикулярна до самої похилої.

ПРИКЛАД:

На рисунку  АВ – похила, а  АС – перпендикуляр до площини  Р; якщо  MN ⊥ AB, то і  MN ⊥ DC  і, навпаки, якщо  MN ⊥ CB, то і  MN ⊥ AB.

Кут між прямою і площиною.

Кутом між прямою і площиною називається гострий кут між цією прямою та її проекцією на дану площину.

ПРИКЛАД:

На рисунку  АВ – похила, а  СD – її проекція на площину  Р. Тоді кут між  АВ  і площиною  Р  дорівнює  ∠ АВС.

Кут між прямою і площиною є найменший з усіх кутів, утворених цією прямою з будь-якою прямою, що лежить в даній площині.

ЗАДАЧА:

З деякої точки простору проведено до даної площини дві похилі, кожна з яких дорівнює  а, кут між ними дорівнює  60°, а кут між їх проекціями на дану площину – прямий.

Знайти:

Віддаль між основами похилих.

Віддаль від даної точки до площини.

Кут між похилими і площиною.

На рисунку  АО ⊥ Р, АВ = АС = а – похилі,

∠ ВОС = 90°, ∠ ВАС = 60°.

∆ АВС – рівнобедрений з кутом  60°  при вершині, тобто рівносторонній, тому віддаль між основами похилих  ВС = а.

∆ ВОС – рівнобедрений прямокутний (бо проекції  ОВ  і  ОС рівних похилих  АВ  і  АС  рівні), гіпотенуза якого  ВС  = а, тоді і проекція.

Далі за теоремою Піфагора є прямокутного ∆ АОС  знаходимо віддаль точки  А  від площини  Р:

∠ АСО = ∠ АВО = 45°, тому що прямокутний  ∆ АВО  і  ∆ АОС  рівні між собою і разом з тим є рівнобедреними:

Паралельні прямі і площини.

Якщо площина перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до іншої.

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні.

ПРИКЛАД:

Якщо  АВ ⊥ Р  і  СD ⊥ Р, то  АВ ∥ СD.

Якщо площина  Р  і пряма  АВ, що не лежить у площині  Р, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої  СD, то вони паралельні.

Якщо пряма  АВ  паралельна до прямої  СD, що лежить у площині  Р, то вона паралельна до площини  Р.

Якщо дві площини  Р  і  Q, що проходять відповідно через паралельні прямі  АВ  і  СD, перетинаються, то лінія їх перетину  МN  паралельна до обох даних прямих  АВ  і  СD.

Дві прямі, паралельні до однієї і тієї самої третьої прямої, паралельні між собою.

Якщо площина проходить через пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна до даної прямої.

Якщо пряма паралельна до кожної з двох площин, що перетинаються, то вона паралельна до лінії їх перетину.

Якщо одна з двох паралельних прямих паралельна до деякої площини, то і друга пряма паралельна до тієї самої площини або лежить у ній.

Через кожну з двох мимобіжних прямих проходить площина, і до того ж тільки одна, паралельна до іншої прямої.

ЗАДАЧА:

Правильний трикутник спроектований на площину  Р. Вершини трикутника знаходяться на віддали  10, 15  і  17 дм  від цієї площини. Знайти віддаль від центра трикутника до площини  Р.

Віддаль від центра правильного трикутника до деякої площини дорівнює середньому арифметичному віддалей його вершин від цієї площини.

Паралельні площини.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Ознаки паралельності площин:

– якщо дві площини перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони паралельні;

– якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні до двох прямих, що перетинаються, іншої площини, то такі дві площини паралельні.

ПРИКЛАД:

Якщо прямі  АВ  і  ВС, що перетинаються, лежать у площині  Р, прями  А₁В₁  і  В₁С₁ – у площині  Q  і  

АВ ∥ А₁В₁, а  
СВ ∥ C₁B₁, то  
Р ∥ Q.

– дві паралельні площини перетинаються третьою по паралельних прямих;

ПРИКЛАД:

Якщо площини  Р  і  Q  паралельні і площина  М  їх перетинає, то прямі перетину цих площин  АВ  і  СD  паралельні.

– дві площини, паралельні до однієї і тієї самої третьої площини, паралельні між собою;

– площина, що перетинає одну з паралельних площин, перетинає і іншу площину;

– якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до іншої площини;

– відрізки паралельних прямих, що знаходяться між паралельними площинами, рівні між собою;

– два кути з відповідно паралельними і однаково напрямленими сторонами рівні між собою.

ЗАДАЧА:

Відрізки двох прямих, що знаходяться між двома паралельними площинами, дорівнюють  51  і  53 см, а їх проекції на одну з цих площин відносяться, як  6 : 7. Визначити довжину цих проекцій і віддаль між даними площинами.

За умовою задачі  

Р ∥ Q, 
АВ = 51 см, А₁В₁ = 53 см, 

АС ⊥ Q, АС ⊥ Q  і  

ВС : В₁С₁ = 6 : 7.

Треба визначити  ВС, В₁С₁  і  АС. Позначимо  

ВС = 6х, В₁С₁ = 7х  і, 

враховуючи, що  АС = А₁С₁  з трикутника  АВС  і трикутника  А₁В₁С₁  дістанемо 

АВ² – ВС² = А₁В₁² – В₁С₁², або 

51² – (6х)² = 53² – (7х)²;

13х² = 208  і  х = 4.

Отже, для шуканих проекцій маємо:

ВС = 6х = 24 см,

В₁С₁ = 7х = 28 см.

Визначимо  ВС  і, знаючи  АВ, знайдемо з трикутника  АВС  за теоремою Піфагора віддаль між площинами:

ВІДПОВІДЬ:

24,  28,  і  45 см.

Двогранні кути і перпендикулярні площини.

Частина площини, що лежить з однієї сторони від будь-якої прямої, яка належить цій площині, називається площиною.

Двогранним кутом називається геометрична фігура, утворена двома півплощинами  Р  і  Q, що виходять з однієї прямої  АВ.

Пряма  АВ  називається ребром, а площини  Р  і  Q – сторонами або гранями двогранного кута.

Двогранний кут позначають або двома буквами, поставленими біля його ребра, наприклад  АВ, або чотирма буквами  РАВQ, з яких дві середні означають ребро, а крайні – грані.

Лінійним кутом двогранного кута називається кут, утворений двома перпендикулярами, які поставлені до ребра з довільної його точки і лежать на гранях кута.

ОN  лежіть у площині  Р, а  ОМ – у площині  Q, причому  ОN ⊥ АВ  і  ОМ ⊥ АВ, тоді кут  МОN називається лінійним кутом двогранного кута  РАВQ.

Рівність і нерівність двогранних кутів.

Два двогранні кути називаються рівними, якщо вони при вкладанні суміщаються.

Якщо сумістити по одній грані два нерівні двогранні кути, то більшим вважається той з них, між гранями якого знаходиться інша грань другого двогранного кута. На рисунку двогранний кут  РАВQ  більший за двогранний кут  РАВМ.

Якщо два двогранні кути рівні, то й їх лінійні кути рівні.

Якщо два двогранні кути не рівні, то більшому двогранному куту відповідає і більший лінійний кут.

Рівним лінійним кутам відповідають рівні двогранні кути.

Якщо лінійні кути не рівні, то більшому лінійному куту відповідає більший двогранний кут.

Прямий двогранний кут.

Двогранні кути називаються суміжними, якщо у них одна грань спільна, а дві інші утворюють одну площину.

Прямим двогранним кутом називається кожний з рівних суміжних двогранних кутів.

Площини, що утворюють прямий двогранний кут, називаються взаємно перпендикулярними.

Вимірювання двогранних кутів.

Двогранний кут вимірюється його лінійним кутом, тобто за одиницю виміру двогранних кутів приймається такий двогранний кут, лінійний кут якого містить одиницю виміру лінійних кутів. Так, двогранний кут в  1°  є кут, лінійний кут якого містить  1°, двогранний кут в  1 радіан  є кут, лінійний кут якого містить  1 радіан.

Перпендикулярні площини.

Якщо площина  Р  проходить через перпендикуляр  АВ  до площини  Q, то площини  Р  і  Q  взаємно перпендикулярні.

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежіть в одній з них і перпендикулярна до лінії їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні і з якої-небудь точки однієї з них опущено перпендикуляр на іншу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині.

Площина, перпендикулярна до двох площин, що перетинаються, перпендикулярна до ребра, утвореного ними двогранного кута.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перпендикулярна і до його граней.

ЗАДАЧА:

Катети прямокутного трикутника дорівнюють  а  і  b. Визначити віддаль від вершини прямого кута до площини, яка проходить через гіпотенузу і утворює кут  30°  з площиною трикутника.

З вершини  С  ∆ АВС  на гіпотенузу  АВ  опустимо перпендикуляр  СD  і на площину  Р  перпендикуляр  СО.

За теоремою про три перпендикуляри  ОD  як проекція похилої  СD  на площину  Р  перпендикулярна до  АВ. Тоді кут  СDО = 30° – лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною  ∆ АВС  і площиною  Р. З  ∆ АВС  знаходимо

СО  як катет, що лежить проти кута  30°  в  ∆ DСО, дорівнює  ¹/₂DС.

Теорема про три перпендикуляри.

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої.

Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна до проекції похилої.

ЗАДАЧА:

Кожен плоский кут тригранного кута дорівнює  60°. На одному з ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює  3, і з кінця його опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайти довжину цього перпендикуляра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано тригранний кут  ОМNР, плоскі кути якого  МОN, NОР, РОМ  дорівнюють по  60°  і відрізок  АО = 3, АD ⊥ пл. NОР. Знайти довжину  АD.

З основи перпендикуляра  АD  опустимо на промені  ОР  і  ОN  перпендикуляри  СD ⊥ ОР  і  DВ ⊥ ОN  і точку  D  з'єднаємо з точкою  О. Проведемо відрізки  АС  та  АВ, які за теоремою про три перпендикуляри будуть відповідно перпендикулярними  ОР  і  ОN. З прямокутного трикутника  АСО  (∠ А = 30⁰, оскільки за умовою  ∠ АОС = 60°) знаходимо

ОС = ¹/₂ОА = ³/₂.

У трикутнику  ОСD (∠ С = 90°, ∠ СОD = 30°)

 ОD = 2СD,

за теоремою Піфагора маємо:

ОD² – СD² = ОС², або

а  ОD = √͞͞͞͞͞3.
З трикутника  АDО  з теореми Піфагора отримаємо

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут  30°. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай площина  α  проходить через сторону  АВ  правильного трикутника  АВС.

Проведемо  СD ⊥ α  і  СМ ⊥  АВ. За теоремою про три перпендикуляри  DМ ⊥  АВ. Тоді  ∠ CMD – кут, який утворює площина  α  з площиною трикутника. За умовою, ∠ CMD = 30°. Відрізки  DА  і  DВ – проекції рівних сторін  СА  і  СВ  трикутника на площину  α. Тому  ∠ САD  і  ∠ СВD – кути, які утворюють сторони трикутника з площиною  α. Оскільки

∆ CDA = ∆ CDB, то

∠ САD = ∠ СBD.

Нехай сторона трикутника  АВС  дорівнює  а.

З  ∆ CMA (∠ M = 90°):

CM = CA sin ∠ A = 

З  ∆ CDM (∠ D = 90°):

З  ∆ CDA (∠ D = 90°):

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Через сторону квадрата проведено площину, яка утворює з площиною квадрата кут  45°. Знайдіть кут між діагоналлю квадрата і цією  площиною.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD – заданий квадрат.

Через сторону  АВ  проведемо площину  α. Нехай  DМ – перпендикуляр, проведений з точки  D  на площину  α. Оскільки  AB ⊥  АD, то за теоремою про три перпендикуляри  AB ⊥  АM. Тоді  ∠ DAM  – кут між площиною квадрата та площиною  α. За умовою, ∠ DAM  = 45°. Оскільки відрізок  ВМ – проекція діагоналі  ВD  квадрата на площину  α, то  ∠ DBM  – шуканий кут між діагоналлю  ВD  і площиною  α. Нехай сторона квадрата дорівнює  а. Тоді діагональ  BD = a√͞͞͞͞͞2,
З  ∆ AMD (∠ M = 90°):

DM = AD sin ∠ A =

З  ∆ DMB (∠ M = 90°):

Звідки  ∠ DBM  = 30°.

ВІДПОВІДЬ: 30° 

ЗАДАЧА:

Через сторону квадрата проведено площину, яка утворює з його  діагоналлю кут  30°. Знайдіть кут між площиною квадрата і проведеною площиною.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD – заданий квадрат.

Через сторону  АВ  проведемо площину  α. Нехай  DМ – перпендикуляр, проведений з точки  D  на площину  α. Відрізок  BM – проекція діагоналі  ВD  квадрата на площину  α, тоді  ∠ DBM  – кут між діагоналлю  BD  і площиною  α. За умовою, ∠ DBM  = 30°. Оскільки  AB ⊥  АD, то за теоремою про три перпендикуляри  AB ⊥  АM. Тоді  ∠ DAM  – шуканий кут між площиною квадрата та площиною  α.

З  ∆ BAD (∠ A = 90°):

BD = AD√͞͞͞͞͞2.

З  ∆ BMD (∠ M = 90°):

З  ∆ AMD (∠ M = 90°):

Звідки  ∠ DАM  = 45°.

ВІДПОВІДЬ: 45°

ЗАДАЧА:

Через катет прямокутного рівнобедреного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут  60°. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АСB – заданий прямокутний трикутник, у якого

∠ С = 90°, АС = ВС.

Через катет  АС  проходить площина  α, яка утворює з площиною трикутника кут  60°. Побудуємо  BM ⊥ α. Оскільки  CB ⊥  АC, то за теоремою про три перпендикуляри  CM ⊥  АC. Тоді кут  BCM – лінійний кут двогранного кута між площиною трикутника і площиною  α  і кут між катетом  ВС  і площиною  α. За умовою, ∠ BCM  = 60°. Відрізок  АМ  є проекцією сторони  АВ  на площину  α, тому ∠ BAM  – кут нахилу сторони  АВ  до цієї площини. Нехай  АС = СВ = а.
З  ∆ CMB (∠ M = 90°):

З  ∆ ACB (∠ C = 90°):

AB = а√͞͞͞͞͞2.

З  ∆ AMB (∠ M = 90°):

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з двома іншими сторонами трикутника кути по  45°. Знайдіть кут, між площиною трикутника і проведеною площиною

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай площина  α  проходить через сторону  АВ  правильного трикутника  АВС.

Проведемо  CD ⊥ α. Тоді відрізок  ВD – проекція сторони  ВС, а  АD – проекція сторони  АС  на площину. ∠ CBD  і  ∠ CAD – кути, які утворюють сторони трикутника з площиною  α. За умовою, ∠ CBD = ∠ CAD = 45°. Проведемо  CM ⊥  АB. За теоремою про три перпендикуляри  DM ⊥  АB. ∠ CMD – шуканий кут. Нехай сторона трикутника  АВС  дорівнює  а.
З  ∆ AMC (∠ M = 90°):

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Через гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут  45°. Знайдіть кути, які утворюють катети трикутника з цією площиною.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АСВ – заданий прямокутний трикутник, у якого  ∠ B = 90°, AB = CB.

Через гіпотенузу  АС  проходить площина  α, яка утворює з площиною трикутника кут  45°. Проведемо  BM ⊥  α, BF ⊥  АC. За теоремою про три перпендикуляри  FM ⊥  АC. Тоді кут  BFM – лінійний кут двогранного кута між площиною трикутника і площиною  α. За умовою  ∠ BFM = 45°. У трикутнику

BFM ∠ BFM = ∠ FBM = 45°.

У рівнобедреному трикутнику  АВС  висота  BF  буде бісектрисою і медіаною. Відрізок  АМ – проекція сторони  АВ  на площину  α, тому ∠ BAM  – кут, який утворює катет  АВ  з площиною  α. Аналогічно  ∠ BCM  – кут нахилу катета  ВС  для площини  α. Нехай

AB = BC = a.

З  ∆ ABC (∠ B = 90°):

У рівнобедреному прямокутному трикутнику  BFA (∠ F = 90°):

∠ BAM = 30°.

З рівності трикутників  ABM  і  CBM:

∠ BAM = ∠ BCM = 30°.

ВІДПОВІДЬ:  30° і 30°

Завдання до уроку 1

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл