Пряма
призма називається правильною, якщо її основи – правильні багатокутники.
Властивості правильній
призми.
– бічні
ребра перпендикулярні до основи;
– усі
бічні грані – рівні прямокутники;
– бічне
ребро є висотою призми.
Поверхня правильній
призми.
Бічною
поверхнею правильній призми називається сума площ всіх її бічних граней.
Повною
поверхнею правильній призми називається сума її бічної поверхні і площ основ.
Бічна
поверхня правильній призми дорівнює добутку периметра основи на бічне ребро.
Правильна трикутна
призма.
Правильна шестикутна
призма.
ЗАДАЧА:
Знайти
площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи
дорівнює 8 см, а висота – 9
см.
Sб
= Pосн×
H,
Pосн
= 6a = 6
× 8 = 48
(см),
H = BB1 = 9 см.
Sб = 48×9 = 432 (см2).
ВІДПОВІДЬ: 432 см2
ЗАДАЧА:
Кожне
ребро правильної трикутної призми дорівнює
а. через сторону основи і середину осі проведено площину. Знайти площу
цього перерізу і обчислити її при а = 7,6 см.
Дано
правильну призму, всі ребра якої
АА1 = АВ = ВС = СА = а.
Через
ребро основи ВС і середину
D осі ОО1 проводимо площину, яка перетинає
основу А1В1С1
по прямій, паралельний до В1С1. Точки перетину цієї прямої з
ребрами А1В1
і А1С1
відповідно позначимо через М і N.
Сполучивши точки М і В,
N і С,
дістанемо переріз ВМNС.
Оскільки МN ∥
ВС, то ВМNС
– трапеція і її висотою буде відрізок PQ (LP ⊥
BC,
отже, і QP ⊥
BC). Тоді площа перерізу ВMNС
За
умовою задачі ВС = а,
∆ DОP= ∆ DO1Q (OD = DО1,
∠ РDО =
∠ QDО1
і ці трикутники прямокутні). Тоді
(як радіус вписаного кола в ∆ АВС). З прямокутника LQО1О дістанемо
Оскільки QL = AA1 = a,
то з прямокутного ∆ QLP знаходимо
З
подібності ∆ A1MN
і ∆
A1B1C1 (MN ∥
B1C1)
маємо
MN
= 1/3B1C1
=
1/3 a.
Підставляючи
знайдені значення BC, PQ і MN у
формулу площі перерізу, знайдемо
ЗАДАЧА:
У
правильній трикутній призмі АВСА1В1С1 сторона основи дорівнює 8
см, а бічне ребро – 2
см. Через сторону АС
нижньої основи і середину сторони
А1В1 верхньої проведено площину. Знайдіть площу
утвореного перерізу призми.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
АВСА1В1С1 –
правильна трикутна призма,АВ = 8 см, АА1 = 2 см. Якщо М –
середина А1В1, то А1М = 4 см. Переріз АМNС проходить через сторону АС і точку
М –
середину А1В1. Ця площина перетинає паралельні площини основ
по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку МN ∥ А1С1. Тоді МN – середня лінія
трикутника А1В1С1. АМNС –
трапеція. МN = 1/2 А1С1 = 4 (см). У трапеції
АМNС проведемо висоти МК і NF,
тоді KF = 4 см.З ∆ AA1M (∠ A1 = 90°),З ∆ AKM (∠ K = 90°),ВІДПОВІДЬ: 24
см2
ЗАДАЧА:
Діагональ
правильної чотирикутної призми дорівнює 15 см, а діагональ бічної грані – 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні
призми.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 –
задана правильна призма,АС1 = 15 см, DС1 = 12 см. Оскільки АD ⊥ (DCС1), то АD ⊥ DC1.
З ∆ DD1C (∠ D1 = 90°),Отже,Sб.п. = 4 ∙ AD ∙ DD1 = 4 ∙ 9 ∙ 3√͞͞͞͞͞7
=
108√͞͞͞͞͞7
(см2).
ВІДПОВІДЬ: 108√͞͞͞͞͞7
(см2)
ЗАДАЧА:
У
правильній чотирикутній призмі АВСDА1В1С1D1
сторона основи дорівнює 8√͞͞͞͞͞2 см, а бічне ребро – 3 см. Через
діагональ ВD
нижньої основи і середину сторони
В1С1 верхньої проведено площину. Знайдіть площу
утвореного перерізу призми.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 – правильна
чотирикутна призма,АВСD – квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС1 = 3 см. Переріз проходить через
діагональ ВD і точку
М – середину В1С1.
Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона
перетинає верхню основу по відрізку МN ∥
BD.
Тоді МN
∥ B1D1 і MN
– середня лінія
трикутника В1С1D1.MN = 1/2 B1D1 = 1/2 BD.
З ∆ BAD
(∠ A = 90°):
BD = AD√͞͞͞͞͞2 = 16 (см). Тоді
MN = 16 : 2 = 8 (см).
Нехай
F1 – точка перетину A1C1 і MN. Проведемо
F1F
⊥
AC, F1F = C1C = 3 см.
Точка F – середина ОС.
OF = 1/2 OC = 1/2 AC = 16 : 4 = 4 (см).
З ∆ OFF1 (∠ F = 90°):У
рівнобічній трапеції ВМND відрізок
F1O, який
сполучає середини основ, є висотою трапеції. ТомуВІДПОВІДЬ: 60
см2ЗАДАЧА:
Бічне
ребро правильній призмі АВСDА1В1С1D1
дорівнює √͞͞͞͞͞161 см, а діагональ призми – 17 см. Знайдіть площу чотирикутника АВ1С1D.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 –
задана правильна призма,АС1 = 17 см, СС1 = √͞͞͞͞͞161 см.Оскільки АD ⊥
(DCС1), то
А1В1С1D – прямокутник.
З ∆ АС1С (∠ С = 90°):Шукана
площа:ВІДПОВІДЬ: 120 см2
Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.
ЗАДАЧА:
Сторона
основи правильної трикутної призми АВСА1В1С1
дорівнює
8√͞͞͞͞͞3 см. На ребрі ВВ1
позначено точку К так, що
ВК : КВ1 = 3 : 5.
Знайти тангенс кута між площинами АВС і АКС,
якщо відстань між прямими ВС й А1С1
дорівнює 16
см.
Прямі ВС
і А1С1 – мимобіжні, СС1 – їх спільний перпендикуляр, бо
правильна призма є прямою і її бічне ребро перпендикулярне до площин основ, а
отже, і до сторін основ ВС і А1С1. Отже, СС1 =
16 см. Тоді
ВВ1 = СС1 = 16 см.
Нехай ВК
= 3х см, тоді КВ1 = 5х см. Звідки
3х
+ 5х = 16,
тоді
х =
2.
ВК = 3х = 6
(см).
Позначимо точку D –
середину сторони АС.
Очевидно, що ВD ⊥
АС, а значить, КD ⊥
АС за теоремою про три перпендикуляри.
Оскільки КD ⊥
АС і
ВD
⊥
АС, то кут КDВ – лінійний кут двогранного кута
утвореного площинами АВС і АКС.
З
рівностороннього трикутника АВС:
Із
прямокутного трикутника КВD:Отже,
тангенс кута між площинами АВС й АКС дорівнює
0,5.
ВІДПОВІДЬ: 0,5.
Завдання до уроку 4
Інші уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий