пятница, 22 декабря 2017 г.

Урок 4. Правильна призма

ВІДЕОУРОК

Пряма призма називається правильною, якщо її основи – правильні багатокутники.

Властивості правильній призми.

– бічні ребра перпендикулярні до основи;

– усі бічні грані – рівні прямокутники;

– бічне ребро є висотою призми.

Поверхня правильній призми.

Бічною поверхнею правильній призми називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею правильній призми називається сума її бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня правильній призми дорівнює добутку периметра основи на бічне ребро.

Правильна трикутна призма.
Правильна шестикутна призма.
ЗАДАЧА:

Знайти площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює  8 см, а висота – 9 см.
Sб = Pосн× H,
Pосн = 6a = 6 × 8 = 48 (см),
H = BB1 = 9 см.
Sб = 48×9 = 432 (см2).

ВІДПОВІДЬ:  432 см2

ЗАДАЧА:

Кожне ребро правильної трикутної призми дорівнює  а. через сторону основи і середину осі проведено площину. Знайти площу цього перерізу і обчислити її при  а = 7,6 см.
Дано правильну призму, всі ребра якої   

АА1 = АВ = ВС = СА = а.
Через ребро основи  ВС  і середину  D  осі  ОО1 проводимо площину, яка перетинає основу  А1В1С1  по прямій, паралельний до  В1С1. Точки перетину цієї прямої з ребрами  А1В1  і  А1С1  відповідно позначимо через  М  і  N. Сполучивши точки  М  і  В, N  і  С, дістанемо переріз  ВМNС. Оскільки  МN ВС, то  ВМNС – трапеція і її висотою буде відрізок  PQ (LP BC, отже, і  QP BC). Тоді площа перерізу  ВMNС
За умовою задачі  ВС = а, 

DОP= ∆ DO1Q (OD = DО1
РDО = QDО1  

і ці трикутники прямокутні). Тоді
(як радіус вписаного кола в   АВС). З прямокутника  LQО1О  дістанемо
Оскільки  QL = AA1 = a, то з прямокутного  QLP  знаходимо
З подібності  A1MN  і  A1B1C1 (MN B1C1)  маємо
MN = 1/3B1C1 = 1/3 a.

Підставляючи знайдені значення  BC, PQ  і  MN  у формулу площі перерізу, знайдемо

ЗАДАЧА:

У правильній трикутній призмі  АВСА1В1С1  сторона основи дорівнює  8 см, а бічне ребро – 2 см. Через сторону  АС  нижньої основи і середину сторони  А1В1  верхньої проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АВСА1В1С1 – правильна трикутна призма,
АВ = 8 см, АА1 = 2 см. Якщо  М – середина  А1В1, то А1М = 4 см. Переріз  АМNС  проходить через сторону  АС  і точку  М – середину  А1В1. Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку  МN А1С1. Тоді  МN – середня лінія трикутника  А1В1С1. АМNС – трапеція. МN = 1/2 А1С1 = 4 (см). У трапеції  АМNС  проведемо висоти  МК  і NF, тоді  KF = 4 см.
З  AA1M (A1 = 90°),
З  AKM (K = 90°),
ВІДПОВІДЬ:  24 см2

ЗАДАЧА:

Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює  15 см, а діагональ бічної грані – 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА1В1С1D1 – задана правильна призма,
АС1 = 15 см, DС1 = 12 см. 
Оскільки  АD (DCС1), то  АD DC1. 
З  DD1C (D1 = 90°),
Отже,

Sб.п. = 4 AD DD1 = 4 9 3√͞͞͞͞͞7  = 108√͞͞͞͞͞7 (см2).

ВІДПОВІДЬ:  108√͞͞͞͞͞7 (см2)

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній призмі  АВСDА1В1С1D1  сторона основи дорівнює  8√͞͞͞͞͞2 см, а бічне ребро – 3 см. Через діагональ  ВD  нижньої основи і середину сторони  В1С1  верхньої проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА1В1С1D1 – правильна чотирикутна призма,
АВСD – квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС1 = 3 см. Переріз проходить через діагональ  ВD  і точку  М – середину  В1С1. Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку  МN BD. Тоді  МN B1D1  і  MN – середня лінія трикутника  В1С1D1.

MN = 1/2 B1D1 = 1/2 BD.

З  BAD (A = 90°)

BD = AD√͞͞͞͞͞2 = 16 (см). Тоді

MN = 16 : 2 = 8 (см).

Нехай  F1 – точка перетину  A1C1  і  MNПроведемо 

F1F AC, F1F = C1C = 3 см.

Точка  F –  середина  ОС.

OF = 1/2 OC = 1/2 AC = 16 : 4 = 4 (см).

З  OFF1 (F = 90°):
У рівнобічній трапеції  ВМND  відрізок  F1O, який сполучає середини основ, є висотою трапеції. Тому
ВІДПОВІДЬ:  60 см2

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильній призмі  АВСDА1В1С1D1  дорівнює  √͞͞͞͞͞161 см, а діагональ призми – 17 см. Знайдіть площу чотирикутника  АВ1С1D.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА1В1С1D1 – задана правильна призма,
АС1 = 17 см, СС1 = √͞͞͞͞͞161 см.

Оскільки  АD (DCС1), то  А1В1С1D – прямокутник.

З  ∆ АС1С (С = 90°):
Шукана площа:
ВІДПОВІДЬ:  120 см2

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної трикутної призми  АВСА1В1С1  дорівнює  8√͞͞͞͞͞3 см. На ребрі  ВВ1  позначено точку  К  так, що  

ВК : КВ1 = 3 : 5

Знайти тангенс кута між площинами  АВС  і  АКС, якщо відстань між прямими  ВС  й  А1С1  дорівнює  16 см.
Прямі  ВС  і  А1С1 – мимобіжні, СС1 – їх спільний перпендикуляр, бо правильна призма є прямою і її бічне ребро перпендикулярне до площин основ, а отже, і до сторін основ  ВС  і  А1С1. Отже,  СС1 = 16 см. Тоді  

ВВ1 = СС1 = 16 см.
Нехай  ВК = 3х см, тоді  КВ1 = 5х см. Звідки  

3х + 5х = 16, тоді  
х = 2
ВК = 3х = 6 (см)

Позначимо точку D – середину сторони  АС. Очевидно, що  ВD АС, а значить, КD АС  за теоремою про три перпендикуляри. Оскільки  КD АС  і  ВD АС, то кут  КDВ – лінійний кут двогранного кута утвореного площинами  АВС  і  АКС.
З рівностороннього трикутника  АВС:
Із прямокутного трикутника  КВD:
Отже, тангенс кута між площинами  АВС  й  АКС  дорівнює  0,5.

ВІДПОВІДЬ:  0,5.
  
Завдання до уроку 4
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий