Урок 4. Правильна призма

пятница, 22 декабря 2017 г.

Урок 4. Правильна призма

ВІДЕОУРОК

Пряма призма називається правильною, якщо її основи – правильні багатокутники.

Властивості правильній призми.

– бічні ребра перпендикулярні до основи;

– усі бічні грані – рівні прямокутники;

– бічне ребро є висотою призми.

Поверхня правильній призми.

Бічною поверхнею правильній призми називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею правильній призми називається сума її бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня правильній призми дорівнює добутку периметра основи на бічне ребро.

Правильна трикутна призма.

Правильна шестикутна призма.

ЗАДАЧА:

Знайти площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює 8 см, а висота – 9 см.

S_б = P_осн× H,

P_осн = 6a = 6 × 8 = 48 (см),

H = BB₁ = 9 см.

S_б = 48×9 = 432 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 432 см²

ЗАДАЧА:

Кожне ребро правильної трикутної призми дорівнює а. через сторону основи і середину осі проведено площину. Знайти площу цього перерізу і обчислити її при а = 7,6 см.

Дано правильну призму, всі ребра якої

АА₁ = АВ = ВС = СА = а.

Через ребро основи ВС і середину D осі ОО₁ проводимо площину, яка перетинає основу А₁В₁С₁ по прямій, паралельний до В₁С₁. Точки перетину цієї прямої з ребрами А₁В₁ і А₁С₁ відповідно позначимо через М і N. Сполучивши точки М і В, N і С, дістанемо переріз ВМNС. Оскільки МN ∥ ВС, то ВМNС – трапеція і її висотою буде відрізок PQ (LP ⊥ BC, отже, і QP ⊥ BC). Тоді площа перерізу ВMNС

За умовою задачі ВС = а,

∆ DОP= ∆ DO₁Q (OD = DО₁,

∠ РDО = ∠ QDО₁

і ці трикутники прямокутні). Тоді

(як радіус вписаного кола в ∆ АВС). З прямокутника LQО₁О дістанемо

Оскільки QL = AA₁ = a, то з прямокутного ∆ QLP знаходимо

З подібності ∆ A₁MN і ∆ A₁B₁C₁ (MN ∥ B₁C₁) маємо

MN = ¹/₃B₁C₁ = ¹/₃a.

Підставляючи знайдені значення BC, PQ і MN у формулу площі перерізу, знайдемо

ЗАДАЧА:

У правильній трикутній призмі АВСА₁В₁С₁ сторона основи дорівнює 8 см, а бічне ребро – 2 см. Через сторону АС нижньої основи і середину сторони А₁В₁ верхньої проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АВСА₁В₁С₁ – правильна трикутна призма,
АВ = 8 см, АА₁ = 2 см. Якщо М – середина А₁В₁, то А₁М = 4 см. Переріз АМNС проходить через сторону АС і точку М – середину А₁В₁. Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку МN ∥ А₁С₁. Тоді МN – середня лінія трикутника А₁В₁С₁. АМNС – трапеція. МN = ¹/₂ А₁С₁ = 4 (см). У трапеції АМNС проведемо висоти МК і NF, тоді KF = 4 см.
З ∆ AA₁M (∠ A₁ = 90°),

З ∆ AKM (∠ K = 90°),

ВІДПОВІДЬ: 24 см²

ЗАДАЧА:

Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 15 см, а діагональ бічної грані – 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана правильна призма,
АС₁ = 15 см, DС₁ = 12 см.

Оскільки АD ⊥ (DCС₁), то АD ⊥ DC₁.

З ∆ DD₁C (∠ D₁ = 90°),
Отже,

S_б.п_. = 4 ∙ AD ∙ DD₁ = 4 ∙ 9 ∙ 3√͞͞͞͞͞7 = 108√͞͞͞͞͞7 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 108√͞͞͞͞͞7 (см²)

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній призмі АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона основи дорівнює 8√͞͞͞͞͞2 см, а бічне ребро – 3 см. Через діагональ ВD нижньої основи і середину сторони В₁С₁ верхньої проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ – правильна чотирикутна призма,
АВСD – квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС₁ = 3 см. Переріз проходить через діагональ ВD і точку М – середину В₁С₁. Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку МN ∥ BD. Тоді МN ∥ B₁D₁ і MN – середня лінія трикутника В₁С₁D₁.

MN = ¹/₂ B₁D₁ = ¹/₂BD.

З ∆ BAD (∠ A = 90°):

BD = AD√͞͞͞͞͞2 = 16 (см). Тоді

MN = 16 : 2 = 8 (см).

Нехай F₁ – точка перетину A₁C₁ і MN. Проведемо

F₁F ⊥ AC, F₁F = C₁C = 3 см.

Точка F – середина ОС.

OF = ¹/₂ OC = ¹/₂AC = 16 : 4 = 4 (см).

З ∆ OFF₁ (∠ F = 90°):

У рівнобічній трапеції ВМND відрізок F₁O, який сполучає середини основ, є висотою трапеції. Тому
ВІДПОВІДЬ: 60 см²

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильній призмі АВСDА₁В₁С₁D₁ дорівнює √͞͞͞͞͞161 см, а діагональ призми – 17 см. Знайдіть площу чотирикутника АВ₁С₁D.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана правильна призма,
АС₁ = 17 см, СС₁ = √͞͞͞͞͞161 см.

Оскільки АD ⊥ (DCС₁), то А₁В₁С₁D – прямокутник.

З ∆ АС₁С (∠ С = 90°):

Шукана площа:

ВІДПОВІДЬ: 120 см²

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної трикутної призми АВСА₁В₁С₁ дорівнює 8√͞͞͞͞͞3 см. На ребрі ВВ₁ позначено точку К так, що

ВК : КВ₁ = 3 : 5.

Знайти тангенс кута між площинами АВС і АКС, якщо відстань між прямими ВС й А₁С₁ дорівнює 16 см.

Прямі ВС і А₁С₁ – мимобіжні, СС₁ – їх спільний перпендикуляр, бо правильна призма є прямою і її бічне ребро перпендикулярне до площин основ, а отже, і до сторін основ ВС і А₁С₁. Отже, СС₁ = 16 см. Тоді

ВВ₁ = СС₁ = 16 см.

Нехай ВК = 3х см, тоді КВ₁ = 5х см. Звідки

3х + 5х = 16, тоді
х = 2.
ВК = 3х = 6 (см).

Позначимо точку D – середину сторони АС. Очевидно, що ВD ⊥ АС, а значить, КD ⊥ АС за теоремою про три перпендикуляри. Оскільки КD ⊥ АС і ВD ⊥ АС, то кут КDВ – лінійний кут двогранного кута утвореного площинами АВС і АКС.

З рівностороннього трикутника АВС:

Із прямокутного трикутника КВD:

Отже, тангенс кута між площинами АВС й АКС дорівнює 0,5.

ВІДПОВІДЬ: 0,5.

Завдання до уроку 4

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 22 декабря 2017 г.