Урок 10. Зрізана піраміда

ВІДЕОУРОК

Зрізаною пірамідою  ABCDA₁B₁C₁D₁  називається частина піраміди  SABCD, обмежена її основою і січною площиною, паралельною до основи.

Основами зрізаної піраміди називаються паралельні грані  ABCD і A₁B₁C₁D₁  (ABCD – нижня, A₁B₁C₁D₁ – верхня основи).

Висотою зрізаної піраміди називається відрізок прямої, перпендикулярної до її основ, обмежений їх площинами

Зрізана піраміда називається правильною, якщо її основи – правильні многокутники і пряма, що з'єднує центри основ, перпендикулярна до площин основ.

Апофемою правильної зрізаної піраміди називають висоту її бічної грані.

Властивості зрізаної піраміди:

Основи – подібні багатокутники.

Бічні грані – трапеції.

Відношення висоти до висоти піраміди, з якої її утворено, дорівнює відношенню різниці сторін однієї грані до довжини нижньої основи цієї самої грані.

Поверхня зрізаної піраміди.

Бічною поверхнею зрізаної піраміди називається сума площ її бічних граней.

Повна поверхня зрізаної піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему.

де  Р  і  Р₁ –  периметри основ, m – апофема зрізаної піраміди.

Правильна чотирикутна зрізана піраміда.

Правильна трикутна зрізана піраміда.

Правильна шестикутна зрізана піраміда.

ЗАДАЧА:

У правильний чотирикутній зрізаній піраміди сторони основ дорівнюють  5  і  11 дм, а діагональ піраміди – 12 дм. Визначити бічну поверхню.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У зрізаній піраміди  АС₁  маємо  

А₁В₁ = В₁С₁ = С₁D₁ 
= D₁А₁ = 5 дм,  
АВ = ВС = СD 
= DА = 11 дм  і  
А₁С = 12 дм. 

Знайти бічну поверхню.

З вершини  А₁  проводимо  А₁N ⊥ AB  і  А₁M ⊥ AC, тоді  А₁N – апофема піраміди.

Бічна поверхня

де  

P = 4AB = 44 дм, а 

P₁ = 4A₁B₁ = 20 дм.

З квадратів  АВСD  і  А₁В₁С₁D₁  за іх сторонами визначаємо діагоналі

АС = 11√͞͞͞͞͞2  дм,  
A₁С₁ = 5√͞͞͞͞͞5  дм.

Розглянувши рівнобічну трапецію  АА₁С₁С, знаходимо

і  відповідно

Тоді з прямокутного  ∆ А₁MC  знаходимо висоту піраміди

З рівнобедреного прямокутного  

∆ AMN (∠ ANM = 90°), 

гіпотенуза якого  AM = 3√͞͞͞͞͞2  (дм), знаходимо сторону

Апофему даної піраміди знайдемо з прямокутного 

∆ A₁NM (∠ A₁MN = 90°).

Підставляючи знайдені значення  P, P₁  і  A₁N  у формулу бічної поверхні піраміди, дістанемо

ВІДПОВІДЬ:

S = 160 дм² = 1,6 м².

ЗАДАЧА:

Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює  4 см. Сторони основ дорівнюють  2 см  і  8 см. Знайти площі діагональних перерізів.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Діагональні перерізи  AA₁C₁D  та  BB₁D₁D– рівні рівнобічні трапеції з висотою  ОО₁ = h = 4 см  і з основами – діагоналями основ  АС  і  А₁С₁  та  ВD  і  В₁D₁  відповідно. ABCD – квадрат, а тому

AC² = AD² + CD² =

= 8² + 8² = 128,

AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 (cм).

A₁B₁C₁D₁ – квадрат, а тому

A₁C₁² = A₁D₁² + C₁D₁² =

= 2² + 2² = 8,

A₁C₁ = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).

ВІДПОВІДЬ:  20√͞͞͞͞͞2 (cм²)

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній усіченій піраміді висота дорівнює  2 см, а сторони основ – 3 см  і  5 см. Знайдіть діагональ цієї піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Діагональним перерізом даної піраміди є рівнобедрена трапеція  АА₁С₁С.

Так як  А₁С₁  і  АС – діагоналі квадратів, А₁В₁С₁D₁  і  ABCD, то 

А₁С₁ = А₁В₁ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см)  і

АС = АВ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).

Проведемо  А₁К ⊥ АС  и  С₁Н ⊥ АС. Тоді  А₁С₁НК – прямокутник і  А₁С₁ = КН. Отже, прямокутні трикутники  АА₁К  і  СС₁Н  рівні по гіпотенузі та катету.

Тоді,

АК = СН = ¹/₂ (АС – А₁С₁) =

^= 1/₂ (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞2  (см).

Тоді,

СК = АС – АК =

= 5√͞͞͞͞͞2 – √͞͞͞͞͞2 = 4√͞͞͞͞͞2  (см),

і за теоремою Піфагора в  ∆ А₁СК:

ВІДПОВІДЬ:  6 см

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній піраміді площина, проведена паралельно основі, ділить висоту піраміди навпіл. Знайдіть сторону основи, якщо площа перерізу дорівнює  36 см².

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SABCD – дана правильна піраміда,

основа – квадрат  ABCD, SO – висота, O – точка перетину діагоналей квадрата, φ – площина перерізу, О₁ – точка перетину  φ  і  SO, φ ∥ (ABC), S = 36 cм².

Оскільки  φ ∥ (ABC), то прямі перетину  𝜑  і бічних граней паралельні відповідним ребрам основи:

A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁D₁ ∥ CD,

A₁D₁ ∥ AD, 𝜑 ⊥ SO,

можна розглянути гомотетію з центром  S  і коефіцієнтом

що перетворює квадрат  ABCD  у квадрат  А₁В₁С₁D₁, сторони якого вдвічі менші, а

S_ABCD = 4S_А1В1С1D1 = 4 ∙ 36 (см²).

S_ABCD = a² = 4 ∙ 36,

a = 2 ∙ 6 = 12 (см).

ВІДПОВІДЬ:  12 см

Завдання до уроку 10

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл