Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 10 января 2018 г.

Урок 10. Зрізана піраміда

ВІДЕОУРОК

Зрізаною пірамідою  ABCDA1B1C1D1  називається частина піраміди  SABCD, обмежена її основою і січною площиною, паралельною до основи.
Основами зрізаної піраміди називаються паралельні грані  ABCD і A1B1C1D1  (ABCD – нижня, A1B1C1D1 – верхня основи).

Висотою зрізаної піраміди називається відрізок прямої, перпендикулярної до її основ, обмежений їх площинами

Зрізана піраміда називається правильною, якщо її основи – правильні многокутники і пряма, що з'єднує центри основ, перпендикулярна до площин основ.

Апофемою правильної зрізаної піраміди називають висоту її бічної грані.

Властивості зрізаної піраміди:

Основи – подібні багатокутники.

Бічні грані – трапеції.

Відношення висоти до висоти піраміди, з якої її утворено, дорівнює відношенню різниці сторін однієї грані до довжини нижньої основи цієї самої грані.

Поверхня зрізаної піраміди.

Бічною поверхнею зрізаної піраміди називається сума площ її бічних граней.
Повна поверхня зрізаної піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на апофему.
де  Р  і  Р1 –  периметри основ, m – апофема зрізаної піраміди.

Правильна чотирикутна зрізана піраміда.
Правильна трикутна зрізана піраміда.
Правильна шестикутна зрізана піраміда.
ЗАДАЧА:

У правильний чотирикутній зрізаній піраміди сторони основ дорівнюють  5  і  11 дм, а діагональ піраміди – 12 дм. Визначити бічну поверхню.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У зрізаній піраміди  АС1  маємо  

А1В1 = В1С1 = С1D1 
= D1А1 = 5 дм,  
АВ = ВС = СD 
= DА = 11 дм  і  
А1С = 12 дм. 

Знайти бічну поверхню.
З вершини  А1  проводимо  А1N AB  і  А1M AC, тоді  А1N – апофема піраміди.
Бічна поверхня
де  

P = 4AB = 44 дм, а 
P1 = 4A1B1 = 20 дм.

З квадратів  АВСD  і  А1В1С1D1  за іх сторонами визначаємо діагоналі

АС = 11√͞͞͞͞͞2  дм,  
A1С1 = 5√͞͞͞͞͞5  дм.

Розглянувши рівнобічну трапецію  АА1С1С, знаходимо

і  відповідно
Тоді з прямокутного  А1MC  знаходимо висоту піраміди
З рівнобедреного прямокутного  

AMN (ANM = 90°)

гіпотенуза якого  AM = 3√͞͞͞͞͞2  (дм), знаходимо сторону
Апофему даної піраміди знайдемо з прямокутного 

A1NM (A1MN = 90°).
Підставляючи знайдені значення  P, P1  і  A1N  у формулу бічної поверхні піраміди, дістанемо
ВІДПОВІДЬ:

S = 160 дм2 = 1,6 м2.

ЗАДАЧА:

Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює  4 см. Сторони основ дорівнюють  2 см  і  8 см. Знайти площі діагональних перерізів.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Діагональні перерізи  AA1C1D  та  BB1D1D– рівні рівнобічні трапеції з висотою  ОО1 = h = 4 см  і з основами – діагоналями основ  АС  і  А1С1  та  ВD  і  В1D1  відповідно. ABCD – квадрат, а тому

AC2 = AD2 + CD2 =

82 + 82 = 128,

AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 (cм).

A1B1C1D1 – квадрат, а тому

A1C12 = A1D12 + C1D12 =

22 + 22 = 8,

A1C1 = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).
ВІДПОВІДЬ:  20√͞͞͞͞͞2 (cм2)

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній усіченій піраміді висота дорівнює  2 см, а сторони основ – 3 см  і  5 см. Знайдіть діагональ цієї піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Діагональним перерізом даної піраміди є рівнобедрена трапеція  АА1С1С.

Так як  А1С1  і  АС – діагоналі квадратів, А1В1С1D1  і  ABCD, то 

А1С1 = А1В1 √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см)  і

АС = АВ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).

Проведемо  А1К АС  и  С1Н АС. Тоді  А1С1НК – прямокутник і  А1С1 = КН. Отже, прямокутні трикутники  АА1К  і  СС1Н  рівні по гіпотенузі та катету.

Тоді,

АК = СН = 1/2 (АС – А1С1) =

1/2 (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞(см).

Тоді,

СК = АС – АК =

5√͞͞͞͞͞2√͞͞͞͞͞2 = 4√͞͞͞͞͞(см),

і за теоремою Піфагора в  ∆ А1СК:
ВІДПОВІДЬ:  6 см

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній піраміді площина, проведена паралельно основі, ділить висоту піраміди навпіл. Знайдіть сторону основи, якщо площа перерізу дорівнює  36 см2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SABCD – дана правильна піраміда,
основа – квадрат  ABCD, SO – висота, O – точка перетину діагоналей квадрата, φ – площина перерізу, О1 – точка перетину  φ  і  SO, φ (ABC), S = 36 cм2.

Оскільки  φ (ABC), то прямі перетину  𝜑  і бічних граней паралельні відповідним ребрам основи:

A1B1 AB, B1C1 BC, C1D1 CD,

A1D1 AD, 𝜑 SO,

можна розглянути гомотетію з центром  S  і коефіцієнтом
що перетворює квадрат  ABCD  у квадрат  А1В1С1D1, сторони якого вдвічі менші, а

SABCD = 4SА1В1С1D1 = 4 36 (см2).

SABCD = a2 = 4 36,

a = 2 6 = 12 (см).

ВІДПОВІДЬ:  12 см

Комментариев нет:

Отправить комментарий