Урок 11. Циліндр

ВІДЕОУРОК

Циліндричною поверхнею називається поверхня, яка утворюється рухом прямої  АВ, що зберігає один і той самий напрям і перетинає дану лінію  СD.

Пряма  АВ  називається твірною, а лінія  СD – напрямною.

Якщо за напрямну циліндричної поверхні взяти коло, площина якого перпендикулярна до твірної, то така поверхня називається круговою циліндричною.

Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею із замкнутою напрямною і двома паралельними площинами, які перетинають твірні.

Частина циліндричної поверхні, що лежить між паралельними площинами, називається бічною поверхнею циліндра, а частини площин, які відтинає ця поверхня, – основами циліндра. Віддаль між площинами основ називається висотою циліндра.

Прямий круговий циліндр.

Прямім круговим циліндром називається тіло, обмежене круговою циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, перпендикулярними до твірної.

В елементарній геометрії звичайно розглядають тільки прямий круговий циліндр, який далі будемо називати просто циліндром.

Основами прямого кругового циліндра є круги радіуса  R, а висота дорівнює твірній циліндра:

Н = АВ = ОО₁.

Циліндр можна також одержати обертанням прямокутника  АОО₁В  навколо однієї з його сторін.

Сторона прямокутника  ОО₁, навколо якої відбувається обертання, називається віссю циліндра, а перпендикулярна до неї сторона  
ОА = R – радіусом циліндра.

Радіус циліндра дорівнює радіусу його основ.

Бічна і повна поверхні циліндра.

За бічну поверхню циліндра приймають границю, до якої наближається бічна поверхня вписаної в цей циліндр (або описаної навколо нього) правильної призми, коли число граней цієї призми необмежено збільшується, а довжина основи кожної з її граней наближається до нуля.

Бічна поверхня циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту циліндра:

S_бічн = 2πRH,

де  R – радіус основи циліндра, а  H – його висота.

Повна поверхня циліндра дорівнює сумі бічної поверхні і площ його основ:

S_повн = 2πR(H + R).

Бічна  поверхня циліндра – дорівнює добутку висоти тіла на довжину кола, радіус якого є перпендикуляром, поставленим до твірної з її середини до перетину з віссю.

Бічна поверхня циліндра дорівнює

S_бічн = 2π × ОА × О₁О₂. 

Розгортка циліндра.

Якщо поверхню циліндра розрізати по твірній і колах основ і розгорнути її так, щоб бічна поверхня разом з основами лежала в одній площині, то на цій площині одержимо фігуру, яка називається розгорткою циліндра.

Розгортка циліндра складається з прямокутника  АВСD, сторони якого  

АВ = Н  і  СВ = 2πR, 

і двох кругів (основ циліндра)  О  і  О₁.

ЗАДАЧА:

Висота циліндра  6 дм, радіус основи – 5 дм. Кінці даного відрізка лежать на колах обох основ; довжина його дорівнює  10 дм. Знайти найкоротшу віддаль між даним відрізком і віссю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У даному циліндрі  

АМ = 6 дм, АО = 5 дм  

і  відрізок  

МN = 10 см.

Знайти віддаль між відрізком  МN  і віссю циліндра  ОО₁.

МN  і  ОО₁ – мимобіжні прямі. Проведемо площину  МАN  через пряму  МN  паралельно до осі  ОО₁; тоді віддаль від будь-якої точки осі  ОО₁  до проведеної площини буде шуканою. З прямокутного  ⊿МАN   дістанемо:

З прямокутного  ⊿ABO

У цьому випадку  

CD = BO = 3 дм.

ВІДПОВІДЬ:  3 дм.

ЗАДАЧА:

В циліндрі площа основи дорівнює  Q, а площа осьового перерізу  S. Визначити повну поверхню циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В циліндрі  

S_осн = Q  і  S_АВСD = S.

Знайти  S_повн  циліндра.

Позначимо  

AO = R  і  AD = H, тоді

S_повн = 2πR(H + R).

За умовою задачі

2RH = S,  πR² = Q,

звідки

Тоді

ВІДПОВІДЬ:  πS + 2Q

ЗАДАЧА:

Бічна поверхня циліндра вдвічі більша за суму площ його основ. Знайти кут між діагоналлю осьового перерізу і площиною основи циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За умовою задачі  

S_бічн = 4S_осн.

Знайти  ∠ AСD = α.

Відомо, що  

S_бічн = 2πRH, а 

S_осн = πR², тоді

2πRH  = 4πR²

і, отже,

H = 2R,

Тобто прямокутний  ⊿ADC – рівнобедрений,

AD = DC = 2R.

Шуканий кут  α = 45°.

ВІДПОВІДЬ:  45° 

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом  α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом  β. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює  S.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай циліндр з віссю  ОО₁  перетнуто площиною  АВС, яка паралельна осі.

У перерізі утвориться прямокутник  АВСD. Ця площина перетинає нижню основу циліндра по хорді  АВ. Тоді  ∠ AОВ = α. АВ  є проекцією діагоналі  АС  прямокутника на площину основи. Тому – кут нахилу діагоналі  АС  до площини основи. Тому  ∠ САВ – кут нахилу діагоналі  АС  до площини основи. За умовою, ∠ САВ = β.

Одержимо  πR² = S. Звідси

∠ АОВ – центральний кут, а будь-який вписаний у це коло кут, який спирається на дугу  АВ, дорівнює  ^𝛼/₂. Тоді за наслідком з теореми синусів

З  ∆ CAB (∠ В = 90°):

ВІДПОВІДЬ:  4S sin ^𝛼/₂ tg β

ЗАДАЧА:

У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом  α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа утвореного перерізу дорівнює  S.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Заданий циліндр з віссю  ОО₁, перетнуто площиною  АВС, яка паралельна осі. У перерізі утвориться прямокутник  АВСD, площа якого дорівнює  S. Ця площина перетинає нижню основу циліндра по хорді  АВ. Тоді  ∠ АОВ = α. Проведемо  ОК ⊥ АВ. Тоді

АВ = 2АК = 2АО sin ^𝛼/₂ = 2R sin ^𝛼/₂.

Тоді

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 11

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл