Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 13 января 2018 г.

Урок 11. Циліндр

ВІДЕОУРОК

Циліндричною поверхнею називається поверхня, яка утворюється рухом прямої  АВ, що зберігає один і той самий напрям і перетинає дану лінію  СD.

Пряма  АВ  називається твірною, а лінія  СDнапрямною.
Якщо за напрямну циліндричної поверхні взяти коло, площина якого перпендикулярна до твірної, то така поверхня називається круговою циліндричною.

Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею із замкнутою напрямною і двома паралельними площинами, які перетинають твірні.
Частина циліндричної поверхні, що лежить між паралельними площинами, називається бічною поверхнею циліндра, а частини площин, які відтинає ця поверхня, – основами циліндра. Віддаль між площинами основ називається висотою циліндра.

Прямий круговий циліндр.

Прямім круговим циліндром називається тіло, обмежене круговою циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, перпендикулярними до твірної.

В елементарній геометрії звичайно розглядають тільки прямий круговий циліндр, який далі будемо називати просто циліндром.
Основами прямого кругового циліндра є круги радіуса  R, а висота дорівнює твірній циліндра:

Н = АВ = ОО1.
Циліндр можна також одержати обертанням прямокутника  АОО1В  навколо однієї з його сторін.
Сторона прямокутника  ОО1, навколо якої відбувається обертання, називається віссю циліндра, а перпендикулярна до неї сторона  
ОА = Rрадіусом циліндра.

Радіус циліндра дорівнює радіусу його основ.

Бічна і повна поверхні циліндра.

За бічну поверхню циліндра приймають границю, до якої наближається бічна поверхня вписаної в цей циліндр (або описаної навколо нього) правильної призми, коли число граней цієї призми необмежено збільшується, а довжина основи кожної з її граней наближається до нуля.

Бічна поверхня циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту циліндра:

Sбічн = 2πRH,

де  R – радіус основи циліндра, а  H – його висота.
Повна поверхня циліндра дорівнює сумі бічної поверхні і площ його основ:

Sповн = 2πR(H + R).

Бічна  поверхня циліндра – дорівнює добутку висоти тіла на довжину кола, радіус якого є перпендикуляром, поставленим до твірної з її середини до перетину з віссю.
Бічна поверхня циліндра дорівнює

Sбічн = 2π × ОА × О1О2. 

Розгортка циліндра.

Якщо поверхню циліндра розрізати по твірній і колах основ і розгорнути її так, щоб бічна поверхня разом з основами лежала в одній площині, то на цій площині одержимо фігуру, яка називається розгорткою циліндра.
Розгортка циліндра складається з прямокутника  АВСD, сторони якого  

АВ = Н  і  СВ = 2πR

і двох кругів (основ циліндра)  О  і  О1.

ЗАДАЧА:

Висота циліндра  6 дм, радіус основи – 5 дм. Кінці даного відрізка лежать на колах обох основ; довжина його дорівнює  10 дм. Знайти найкоротшу віддаль між даним відрізком і віссю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У даному циліндрі  

АМ = 6 дм, АО = 5 дм  

і  відрізок  

МN = 10 см.
Знайти віддаль між відрізком  МN  і віссю циліндра  ОО1.
МN  і  ОО1мимобіжні прямі. Проведемо площину  МАN  через пряму  МN  паралельно до осі  ОО1; тоді віддаль від будь-якої точки осі  ОО1  до проведеної площини буде шуканою. З прямокутного  МАN   дістанемо:
З прямокутного  ABO
У цьому випадку  

CD = BO = 3 дм.

ВІДПОВІДЬ:  3 дм.

ЗАДАЧА:

В циліндрі площа основи дорівнює  Q, а площа осьового перерізу  S. Визначити повну поверхню циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В циліндрі  

Sосн = Q  і  SАВСD = S.
Знайти  Sповн  циліндра.
Позначимо  

AO = R  і  AD = H, тоді

Sповн = 2πR(H + R).

За умовою задачі

2RH = S,  πR2 = Q,

звідки
Тоді
ВІДПОВІДЬ:  πS + 2Q

ЗАДАЧА:

Бічна поверхня циліндра вдвічі більша за суму площ його основ. Знайти кут між діагоналлю осьового перерізу і площиною основи циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За умовою задачі  

Sбічн = 4Sосн.

Знайти   AСD = α.
Відомо, що  

Sбічн = 2πRH, а 
Sосн = πR2, тоді
2πRH  = 4πR2

і, отже,

H = 2R,

Тобто прямокутний  ADC – рівнобедрений,

AD = DC = 2R.

Шуканий кут  α = 45°.

ВІДПОВІДЬ:  45° 

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом  α. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом  β. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює  S.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай циліндр з віссю  ОО1  перетнуто площиною  АВС, яка паралельна осі.
У перерізі утвориться прямокутник  АВСD. Ця площина перетинає нижню основу циліндра по хорді  АВ. Тоді  AОВ = α. АВ  є проекцією діагоналі  АС  прямокутника на площину основи. Тому – кут нахилу діагоналі  АС  до площини основи. Тому  САВ – кут нахилу діагоналі  АС  до площини основи. За умовою, САВ = β.
Одержимо  πR2 = S. Звідси
АОВ – центральний кут, а будь-який вписаний у це коло кут, який спирається на дугу  АВ, дорівнює  𝛼/2. Тоді за наслідком з теореми синусів
З  ∆ CAB (В = 90°):
ВІДПОВІДЬ:  4S sin 𝛼/2 tg β

ЗАДАЧА:

У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу циліндра по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом  α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа утвореного перерізу дорівнює  S.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Заданий циліндр з віссю  ОО1, перетнуто площиною  АВС, яка паралельна осі. У перерізі утвориться прямокутник  АВСD, площа якого дорівнює  S. Ця площина перетинає нижню основу циліндра по хорді  АВ. Тоді  АОВ = α. Проведемо  ОК АВ. Тоді

АВ = 2АК = 2АО sin 𝛼/2 = 2R sin 𝛼/2.
Тоді
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 11
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий