Урок 15. Вписана і описана піраміда

ВІДЕОУРОК

Піраміда, вписана у конус.

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є багатокутник, що вписаний в окружність основи конуса, а вершиною є вершина конуса.

При цьому конус називають описаним навколо піраміди. Бокові ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Для того, щоб навколо піраміди можна було описати конус, необхідно і достатньо, щоб бічні ребра піраміди мали однакову довжину.

Властивості піраміди, вписаної у конус, такі:

– конус можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола;

– радіус основи конуса дорівнює радіусу кола  R, описаного навколо основи піраміди, а висота конуса  Н  дорівнює висоті піраміди.

Піраміда, описана навколо конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса й перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю твірну.

Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, у якої основою служить багатогранник, описаний біля основи конуса, а вершина спів падає з вершиною конуса.

При цьому конус називають вписаним у піраміду. Площини бокових граней описаної піраміди є дотичними площинами конуса.

Для того, щоб в піраміду можна було вписати конус, необхідно і достатньо, щоб в піраміди можна було вписати коло, а основа висоти піраміди була центром цього кола.

Виходячи з означення, маємо властивості піраміди, описаної навколо конуса:

– конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола;

– радіус основи конуса дорівнює радіусу кола   r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса  Н  дорівнює висоті піраміди.

ЗАДАЧА:

В трикутної піраміди сторони основи дорівнюють  13, 20  і  21, а кожне бічне ребро дорівнює  36. Знайти бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди.

Бічна поверхня конуса

S_бічн = πRL.

Твірна конуса дорівнює бічному ребру вписаної в нього піраміди, тобто  L = 36. Радіус основи конуса  R  дорівнює  радіусу кола, описаного навколо основи піраміди.

За відомою з планіметрії формулою знаходимо

Тоді

S_бічн = πRL = 390π.

ВІДПОВІДЬ:

S_бічн = 390π ≈ 1225,22 (кв. од.)

ЗАДАЧА:

Навколо конуса, висота якого дорівнює  10 см, описано піраміду, основою якої є ромб є висотою  20 см  і гострим кутом  30°. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи и площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки піраміду описано навколо конуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахилені до основи під однаковими кутами.

Проведемо  МN  (твірну конуса, або висоту бічної грані піраміди):  МN ⊥ АВ, ОN – її проекція, отже  ОN ⊥ АВ  (за теоремою про три перпендикуляри). ОN – радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба. ОN = 10 см.
∠ MNO – кут між твірною і основою,

∠ MNO = 60°, ∠ NМO = 30°,

MN = 20 cм, АD = 2 ∙ 2r = 40 (cм).

Площа бічної поверхні піраміди:

S_б = 4S_АМВ = 2 ∙ AB ∙ MN =

= 2 ∙ 40 ∙ 20 = 1600 (см²).

ЗАДАЧА:

Навколо піраміди, сторони основи якої дорівнюють  10 см, 10 см, 12 см, а висота  8 см, описано конус. Знайти площу осьового перерізу конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай радіус основи дорівнює  R, а висота – Н. Тоді площа осьового перерізу конуса

S_п = ¹/₂ ∙ 2R ∙ H = RH.

Висота конуса дорівнює висоті піраміди, тому  Н = 8 см.

Радіус конуса знайдемо як радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами  10 см, 10 см, 12 см. Використаємо формулу:

де  а, b, с – сторони трикутника, S – його площа.
За формулою Герона.

Маємо

Тоді

Тоді

S_пер = 6,25 ∙ 8 = 50 (см²).

ЗАДАЧА:

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами  6 см  і  8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють  60°. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у трикутну піраміду з основою  АВС  і вершиною  S  вписано конус. Основа висоти конуса точка  О – центр кола, вписаного в  ∆ АВС.

Нехай точка  М – точка дотику кола, вписаного в  ∆АВС, до сторони  АВ. Позначимо  ОМ = R – радіус кола, вписаного в  ∆ АВС, і також радіус  основи конуса.

ОМ ⊥ АВ, за теоремою про три перпендикуляри  SМ ⊥ АВ, тому  ∠ SМО  лінійній кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою  ∠ SМО = 60°.

За відомою формулою радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знаходиться за формулою

де  а, b – катети, с – гіпотенуза.
За умовою  АВ = 6 см, ВС = 8 см – катети. Тоді гіпотенуза:

SО – висота піраміди і конуса.

В  ∆OSM (∠O = 90°):

тоді

ОS = 2tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює  α. Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює  Q.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У правильній чотирикутній піраміді  SАВСD  плоский кут при вершині дорівнює  α, тобто ∠ DSС = α.

В її основі лежить квадрат  АВСD, площа якого, за умовою, дорівнює  Q. З формули для обчислення площі квадрата знайдемо його сторону

СD = √͞͞͞͞͞Q.

Точка  О – центр основи конуса, вписаного в дану піраміду, тоді  ОМ – радіус конуса, тому  ОМ ⊥ СD, звідси за теоремою про три перпендикуляри  SМ ⊥ СD. Виходячи з цього, в  ∆ SDС  висота  SМ  є його бісектрисою і медіаною, звідси  DМ = МС, ∠ СSМ = ^α/₂. За властивістю правильних чотирикутників, описаних навколо кола, маємо, що

тоді

З  ∆ SMC (∠ SMC = 90°):

Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою:

S_{пов. кон.} = S_осн. + S_{бічн. кон.},

S _{пов. кон.} = π ∙ OM² + π ∙ OM ∙ SM,

ВІДПОВІДЬ:  ^πQ/₄ (ctg ^α/₂ + 1)

ЗАДАЧА:

Навколо конуса з радіусом основи  6 см  і висотою  8 см  описано правильну трикутну піраміду. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай на малюнку зображено даний конус,

SО – відрізок осі, S – вершина, О – центр основи, r = 6 см, SО = 8 см. Навколо конуса описано правильну трикутну піраміду  SАВС, ∆ АВС – правильний, описаний навколо кола основи конуса, О – центр трикутника, SО  є висотою піраміди, а всі грані конуса є дотичними до поверхні конуса. Позначимо сторону трикутника  а. Проведемо апофему бічної грани  SАС:
SN – висота і медіана  ∆ АSС, N – середина  АС, ON – радіус кола, вписаного в трикутник, – радіус конуса.

a = 12√͞͞͞͞͞3 см, AC = 12√͞͞͞͞͞3 см.

SN² = SO² + ON²,

SN² = 8² + 6² = 100,

SN = 10 см.

S_б = 3∙ ¹/₂ AC∙ SN =

= ³/₂∙12√͞͞͞͞͞3 ∙10 = 180√͞͞͞͞͞3 см².

ВІДПОВІДЬ:  180√͞͞͞͞͞3 см²

Завдання до уроку 15

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл