Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 22 января 2018 г.

Урок 15. Вписана і описана піраміда

ВІДЕОУРОК

Піраміда, вписана у конус.

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є багатокутник, що вписаний в окружність основи конуса, а вершиною є вершина конуса.
При цьому конус називають описаним навколо піраміди. Бокові ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Для того, щоб навколо піраміди можна було описати конус, необхідно і достатньо, щоб бічні ребра піраміди мали однакову довжину.

Властивості піраміди, вписаної у конус, такі:

– конус можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола;
– радіус основи конуса дорівнює радіусу кола  R, описаного навколо основи піраміди, а висота конуса  Н  дорівнює висоті піраміди.

Піраміда, описана навколо конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса й перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю твірну.
Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, у якої основою служить багатогранник, описаний біля основи конуса, а вершина спів падає з вершиною конуса.
При цьому конус називають вписаним у піраміду. Площини бокових граней описаної піраміди є дотичними площинами конуса.

Для того, щоб в піраміду можна було вписати конус, необхідно і достатньо, щоб в піраміди можна було вписати коло, а основа висоти піраміди була центром цього кола.

Виходячи з означення, маємо властивості піраміди, описаної навколо конуса:

– конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола;
– радіус основи конуса дорівнює радіусу кола   r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса  Н  дорівнює висоті піраміди.

ЗАДАЧА:

В трикутної піраміди сторони основи дорівнюють  13, 20  і  21, а кожне бічне ребро дорівнює  36. Знайти бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди.
Бічна поверхня конуса

Sбічн = πRL.

Твірна конуса дорівнює бічному ребру вписаної в нього піраміди, тобто  L = 36. Радіус основи конуса  R  дорівнює  радіусу кола, описаного навколо основи піраміди.
За відомою з планіметрії формулою знаходимо
Тоді

Sбічн = πRL = 390π.

ВІДПОВІДЬ:

Sбічн = 390π 1225,22 (кв. од.)

ЗАДАЧА:

Навколо конуса, висота якого дорівнює  10 см, описано піраміду, основою якої є ромб є висотою  20 см  і гострим кутом  30°. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи и площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки піраміду описано навколо конуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахилені до основи під однаковими кутами.
Проведемо  МN  (твірну конуса, або висоту бічної грані піраміди):  МN АВ, ОN – її проекція, отже  ОN АВ  (за теоремою про три перпендикуляри). ОN – радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба. ОN = 10 см.
MNOкут між твірною і основою,
MNO = 60°, NМO = 30°,

MN = 20 cм, АD = 2 2r = 40 (cм).

Площа бічної поверхні піраміди:

Sб = 4SАМВ = 2 AB MN =

= 2 40 20 = 1600 (см2).

ЗАДАЧА:

Навколо піраміди, сторони основи якої дорівнюють  10 см, 10 см, 12 см, а висота  8 см, описано конус. Знайти площу осьового перерізу конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай радіус основи дорівнює  R, а висота – Н. Тоді площа осьового перерізу конуса

Sп = 1/2 2R H = RH.

Висота конуса дорівнює висоті піраміди, тому  Н = 8 см.

Радіус конуса знайдемо як радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами  10 см, 10 см, 12 см. Використаємо формулу:
де  а, b, с сторони трикутника, Sйого площа.
За формулою Герона.
Маємо
Тоді
Тоді

Sпер = 6,25 8 = 50 (см2).

ЗАДАЧА:

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами  6 см  і  8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють  60°. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у трикутну піраміду з основою  АВС  і вершиною  S  вписано конус. Основа висоти конуса точка  О – центр кола, вписаного в  АВС.
Нехай точка  М – точка дотику кола, вписаного в  ∆АВС, до сторони  АВ. Позначимо  ОМ = R – радіус кола, вписаного в  АВС, і також радіус  основи конуса.

ОМ АВ, за теоремою про три перпендикуляри  SМ АВ, тому  SМО  лінійній кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою  SМО = 60°.

За відомою формулою радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знаходиться за формулою
де  а, b – катети, с – гіпотенуза.
За умовою  АВ = 6 см, ВС = 8 см – катети. Тоді гіпотенуза:

SОвисота піраміди і конуса.

В  OSM (O = 90°):
тоді

ОS = 2tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює  α. Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює  Q.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У правильній чотирикутній піраміді  SАВСD  плоский кут при вершині дорівнює  α, тобто DSС = α.
В її основі лежить квадрат  АВСD, площа якого, за умовою, дорівнює  Q. З формули для обчислення площі квадрата знайдемо його сторону

СD = √͞͞͞͞͞Q.

Точка  О – центр основи конуса, вписаного в дану піраміду, тоді  ОМрадіус конуса, тому  ОМ СD, звідси за теоремою про три перпендикуляри  SМ СD. Виходячи з цього, в  SDС  висота  SМ  є його бісектрисою і медіаною, звідси  DМ = МС, СSМ = α/2. За властивістю правильних чотирикутників, описаних навколо кола, маємо, що
тоді
З  SMC ( SMC = 90°):
Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою:

Sпов. кон. = Sосн. + Sбічн. кон.,

S пов. кон. = π OM2 + π OM SM,
ВІДПОВІДЬ:  πQ/4 (ctg α/2 + 1)

ЗАДАЧА:

Навколо конуса з радіусом основи  6 см  і висотою  8 см  описано правильну трикутну піраміду. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай на малюнку зображено даний конус,
SО – відрізок осі, S – вершина, О – центр основи, r = 6 см, SО = 8 см. Навколо конуса описано правильну трикутну піраміду  SАВС, АВС – правильний, описаний навколо кола основи конуса, О – центр трикутника, SО  є висотою піраміди, а всі грані конуса є дотичними до поверхні конуса. Позначимо сторону трикутника  а. Проведемо апофему бічної грани  SАС:
SN – висота і медіана  ∆ АSС, N – середина  АС, ON – радіус кола, вписаного в трикутник, – радіус конуса.
a = 12√͞͞͞͞͞3 см, AC = 12√͞͞͞͞͞3 см.

SN2 = SO2 + ON2,

SN2 = 82 + 62 = 100,

SN = 10 см.

Sб = 3 1/2 AC SN =

= 3/212√͞͞͞͞͞3 10 = 180√͞͞͞͞͞3 см2.

ВІДПОВІДЬ:  180√͞͞͞͞͞3 см2

Комментариев нет:

Отправить комментарий