Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 16. Сфера і куля

ВІДЕОУРОК

Кулею називається тіло, що складається із всіх точок простору, що знаходиться на відстані, не більшій даної, від даної точки. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань радіусом кулі.

Границя кулі називається кульовою поверхнею, або сферою. Таким чином точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центра на відстань, яка рівна радіусу. Будь-який відрізок, що з’єднує центр кулі із точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Кульовою поверхнею або сферою називається геометричне місце точок простору, рівновіддалених від однієї точки, що зветься центром сфері.

Радіусом сфери називається відрізок прямої, що сполучає центр сфери з будь-якою її точкою, наприклад

АО = ОВ = R.

Хордою сфери називається відрізок прямої, який сполучає дві її будь-яки точки.

Діаметром сфери називається хорда, що проходить через її центр, наприклад АС або ВD. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Кулею називається тіло, обмежене сферою.

Сферу можна одержати обертанням півкола навколо діаметра.

Переріз сфери і кулі площиною.

Переріз сфери будь-якою площиною є коло.

Переріз кулі будь-якою площиною є круг.

Круг, утворений перерізом кулі площиною, яка проходить через центр, називається великим кругом кулі, а круг, утворений перерізом кулі площиною, яка не проходить через центр, називається малим кругом кулі. Перерізи рівновіддалені від центра кулі, рівні між собою.

З двох перерізів, не однаково віддалених від центра кулі, більший радіус має той, що лежить ближче до центра.

Будь-яка площина, що проходить через центр кулі, ділить його поверхню на дві симетричні і рівні частини.

Через дві точки сфери, які не лежать на кінцях одного діаметра, можна провести коло великого круга, і до того ж тільки одне.

Кола двох великих кругів при перетині діляться пополам.

Площина, дотична до кулі.

Дотичною площиною до кульової поверхні називається площина, що має з нею поверхнею тільки одну спільну точку.

Площина, що проходить через точку А кульової поверхні й перпендикулярна радіусу, проведеному в точку А, називається дотичною площиною. Точка А називається точкою дотику.

Дотична площина має з кулею тільки одну загальну точку – точку дотику. Пряма в дотичній площини кулі, що проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цієї точці. Так як дотична площина має з кулею тільки одну загальну точку, то дотична пряма теж має з кулею тільки одну загальну точку – точку дотику.

Площина, перпендикулярна до радіуса кульової поверхні в його кінці, що лежить на цієї поверхні, є дотичною площиною.

Обернено:

Дотична площина перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

ЗАДАЧА:

Через середину радіусу кулі проведено перпендикулярну радіусу площину. Як відноситься площа отриманого перерізу до площі великого кола ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Якщо радіус кулі R, то радіус кола в перерізі буде:

Відношення площі цього кола до площі більшого кола дорівнює:

Поверхня кулі та її частин.

Частини на кульової поверхні, що відтинається від неї якою-небудь площиною, називається сегментною поверхнею.

Коло перетину СD площини з кульовою поверхнею називається основою, а відрізок АВ = Н радіуса, перпендикулярного до площини перерізу, – висотою сегментної поверхні.

Частина кульової поверхні, що лежить між двома паралельними січними площинами, називається кульовим поясом.

Круги перерізу С₁D₁ і С₂D₂ називаються основами кульового пояса, авіддаль АВ= Н між паралельними площинами – висотою пояса.

Поверхня кульового сегмента, пояса і кулі.

За величину поверхні кульового сегмента, пояса і кулі, утвореної обертанням якої-небудь частини півкола або всього півкола навколо діаметра, приймають границю, до якої наближається поверхня, утворена обертанням навколо того самого діаметра правильної вписаної ламаної лінії у відповідну частину дуги кола при необмеженому збільшенні числа її сторін.

Сегментна поверхня дорівнює добуткові її висоти на довжину кола великого круга:

Де R – радіус великого круга кулі, а Н – висота сегментної поверхні.

ЗАДАЧА:

Визначте вагу котла, поверхня якого складається з циліндричної поверхні та сферичної поверхні двох кульових сегментів.
Відомо, що радіус циліндричної поверхні r = 60 см, довжина твірної поверхні h = 2 м, висота сегмента h₁ = 20 см. Котел зроблений з листового заліза, вага 1 м² якого дорівнює 12 кг.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для знаходження площі поверхні котла потрібно знайти площі поверхонь двох сферичних сегментів та площу поверхні циліндричної частини котла.

Визначимо радіус сфери, частинами якої є поверхні сегментів, навіщо побудуємо центр сфери – точку О.

З прямокутного трикутника MON маємо:

R² = r² + (R – h₁)², або

R² = r² + R² – 2Rh₁ + (h₁)², звідки
Підставимо в цю рівність замість r і h₁ дані значення, отримаємо:

Площа поверхні S всього котла буде:

S = 2πrh + 4πRh₁ = 2π(rh + 2Rh₁).

Замінивши в цій рівності R, r, h та h₁ їх даними значеннями, отримаємо:

S = 6,28(0,6 ∙ 2 + 2 ∙ 1 ∙ 0,2) ≈ 10,05 м².

Помноживши вагу 1 м² листового заліза на число квадратних метрів поверхні котла, отримуємо його вагу:

Р = 12 ∙ 10,05 = 120,6 ≈ 121 (кг).

ВІДПОВІДЬ: 121 кг

Поверхня кульового пояса дорівнює добуткові висоти пояса на довжину кола великого круга:

Де R – радіус кола великого круга, а Н – висота пояса.

Площа поверхні кули.

Нехай дана півколо АF з центром у точці О.

При обертанні цієї півкола навколо діаметра АF ми отримаємо поверхню кулі (сферу з центром в точці О і діаметром АF).

Дамо наступне визначення площі поверхні кулі:

За площу поверхні кулі, отриманого обертанням півкола навколо діаметра, приймається межа, якого прагне поверхня, одержувана обертанням біля того ж діаметра правильної вписаної в півколо ламаної лінії при необмеженому збільшенні числа її ланок.

Формула поверхні кулі така:

Де R – радіус кулі.

Поверхні куль відносяться, як квадрати їх радіусів або діаметрів.

Кульовий сегмент, шар і сектор.

Кульовим сегментом називається тіло, яке відтинає площина від кулі.

Кульовим шаром називається тіло, яке відтинається від кулі двома паралельними січними площинами.

Кульовим сектором називається тіло, одержане від обертання кругового сектора навколо осі, що лежить в його площині, яка проходить через його центр і не перетинає сектора.

Дотична площина до кулі.

Лінія перетинання двох сфер є окружність.

Якщо вісь обертання збігається з радіусом, який обмежує круговий сектор АОС, то одержаний від обертання кульовий сектор називається простим, а якщо вісь обертання не збігається з радіусом, що обмежує круговий сектор СОD, то кульовий сектор називається порожнистим.

ЗАДАЧА:

Сторони трикутника дорівнюють

15, 14 і 13 см.

Знайти віддаль від площини трикутника до центра кулі, дотичної до сторін трикутника, якщо радіус кулі дорівнює 5 см.

Дано кулю О радіуса R = 5 см і ∆ АВС, сторони якого дотикаються до поверхні кулі і дорівнюють

АВ = 15 см,
ВС = 14 см,
АС = 13 см.

Знайти віддаль від центра кулі до площини ∆ АВС.

Площина ∆ АВС перетне кулю О по кругу, вписаному в даний трикутник. Основа перпендикуляра ОD, опущеного з центра кулі О на площину ∆ АВС, попадає в центр круга D.