Урок 9. Правильна піраміда

ВІДЕОУРОК

Правильна піраміда.

Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний многокутник і висота піраміди проходить через центр цього многокутника.

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Площа бічної поверхні піраміди  (S_бічн) – це сума площ її бічних граней. Для обчислення площі бічної поверхні правильної піраміди є зручна формула:

де  P – периметр основи, h_бічн – апофема привільної піраміди. Ця формула читається так:

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему піраміди.

ПРИКЛАД:

Розглянемо розгортку чотирикутної піраміди, основою якої є квадрат, а бічними гранями – чотири рівні рівнобедрені трикутники.

Площа бічної поверхні такої піраміди дорівнює сумі площ чотирьох трикутників. Оскільки вони рівні між собою, то, знайшовши площу одного трикутника і помноживши її на  4, матимемо площу бічної поверхні.

Площа повної поверхні піраміди обчисляється за формулою:

S_пір = S_бічн + S_осн

Правильна чотирикутна піраміда.

Правильна трикутна піраміда.

Правильна шестикутна піраміда.

ЗАДАЧА:

Знайдіть бічну поверхню піраміди, у якої площа основи  Q, а двограннім кути при основі  φ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  A₁A₂ … A_n – многокутник в основі піраміди.

Проведемо висоту піраміди  МО. За теоремою

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Аналогічно дістанемо:

і т. д.
Додавши ці рівності почленно, у лівій частині матимемо бічну поверхню піраміди, а в правій – площу основи  Q, поділену на  cos φ. Отже, площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної трикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом  α. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SАВС – задана правильна піраміда,

∠ SСК = α, SО – висота. Позначимо  АВ = а. Проведемо  SК ⊥ АВ, СК ⊥ АВ. Отже  ∠ SСК – шуканий двогранний кут.

З  ∆ SОК (∠О = 90°):

Оскільки  ∆ ABC – рівносторонній, то

тоді

Отже,

Звідки

∠ SKO = arctg(2tgα).

ВІДПОВІДЬ:  arctg(2tgα)

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом  α. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SАВСD – задана правильна чотирикутна піраміда,

SО – її висота, ОА – проекція  SА  на площину основи. Тому  ∠ SАO – кут нахилу бічного ребра  SА  до площини основи, ∠ SАO = α. Проведемо  SК ⊥ DС. За теоремою про три перпендикуляри  ОК ⊥ DС. Тоді  ∠ SКO – кут нахилу бічної грані до площини основи. Позначимо  АD = а. Оскільки  АВСD – квадрат, то

ОК = ¹/₂ АD = ¹/₂ а.

Оскільки  АС  і  ВD – діагоналі квадрата, то  АС ⊥ ВD.

З рівнобедреного  ∆ АОD (∠О = 90°):

Звідки

∠ SKO = arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα).

ВІДПОВІДЬ:  arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα)

ЗАДАЧА:

Висота правильної трикутної піраміди дорівнює  15 см, а апофема – 17 см. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SАВСD – правильна піраміда,

SO ⊥ (ABС), SO = 15 см, SE ⊥ AС,
SE = 17 см, AS = SC, тому AE = EC.

Точка  О – центр рівностороннього трикутника.

Площа бічної поверхні:

ВІДПОВІДЬ:  408√͞͞͞͞͞3  (см²)

ЗАДАЧА:

Сторона основі правильної чотирикутної піраміди дорівнює  2 см, а висота піраміди – 2√͞͞͞͞͞2  см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна чотирикутна піраміда, АВСD – квадрат,

АВ = 2 см, SO ⊥ (ABС), SО = 2√͞͞͞͞͞2  см, SN ⊥ СD,
CN = ND = ON = ¹/₂ AB = ¹/₂∙ 2 = 1 (см).

Площа бічної поверхні:

ВІДПОВІДЬ:  12  (см²)

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює  4 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом  60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна піраміда, SO – висота,

сторона основи дорівнює  4 см. Проведемо  SK ⊥ DC. За теоремою про три перпендикуляри  OK ⊥ DC. Тоді  ∠SKO – кут нахилу бічної грані до площини основи. За умовою,
∠SKO = 60°, OK = ¹/₂ AD = 2 (см).

ВІДПОВІДЬ:  48  (см²)

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює  4 см  і утворює з площиною основи кут  30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна піраміда,

SA = 4 см, SO ⊥ (ABС). ∠SAO = 30°,

З  ∆ AOS (∠О = 90°):

AO = SA cos ∠SAO = 4 cos 30° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

SO = ¹/₂ SA = ¹/₂ ∙ 4 = 2 (см).

SE ⊥ BС, оскільки  SB = SC, то

BE = EC  і  AE ⊥ BС,

AE = AO : 2 ∙ 3 = 2√͞͞͞͞͞3  : 2 ∙ 3 = 3√͞͞͞͞͞3 (см).

Площа бічної поверхні:

S_б = 3 ∙ ¹/₂ BC ∙ SE = ³/₂ ∙ 6 ∙√͞͞͞͞͞7  = 9√͞͞͞͞͞7  (см²).

ВІДПОВІДЬ:  9√͞͞͞͞͞7 см²

Завдання до уроку 9

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл