Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 9 января 2018 г.

Урок 9. Правильна піраміда

ВІДЕОУРОК

Правильна піраміда.

Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний многокутник і висота піраміди проходить через центр цього многокутника.

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.
Площа бічної поверхні піраміди  (Sбічн) – це сума площ її бічних граней. Для обчислення площі бічної поверхні правильної піраміди є зручна формула:
де  P – периметр основи, hбічн – апофема привільної піраміди. Ця формула читається так:

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему піраміди.

ПРИКЛАД:

Розглянемо розгортку чотирикутної піраміди, основою якої є квадрат, а бічними гранями – чотири рівні рівнобедрені трикутники.
Площа бічної поверхні такої піраміди дорівнює сумі площ чотирьох трикутників. Оскільки вони рівні між собою, то, знайшовши площу одного трикутника і помноживши її на  4, матимемо площу бічної поверхні.

Площа повної поверхні піраміди обчисляється за формулою:

Sпір = Sбічн + Sосн

Правильна чотирикутна піраміда.
Правильна трикутна піраміда.
Правильна шестикутна піраміда.
ЗАДАЧА:

Знайдіть бічну поверхню піраміди, у якої площа основи  Q, а двограннім кути при основі  φ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  A1A2An – многокутник в основі піраміди.
Проведемо висоту піраміди  МО. За теоремою

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.
Аналогічно дістанемо:
і т. д.
Додавши ці рівності почленно, у лівій частині матимемо бічну поверхню піраміди, а в правій – площу основи  Q, поділену на  cos φ. Отже, площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної трикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом  α. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SАВС – задана правильна піраміда,
SСК = α, SОвисота. Позначимо  АВ = а. Проведемо  SК АВ, СК АВ. Отже  SСК – шуканий двогранний кут.
З  ∆ SОК (О = 90°):
Оскільки  ABC рівносторонній, то
тоді
Отже,
Звідки

SKO = arctg(2tgα).

ВІДПОВІДЬ:  arctg(2tgα)

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом  α. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SАВСD – задана правильна чотирикутна піраміда,
SО – її висота, ОА – проекція  SА  на площину основи. Тому  SАO – кут нахилу бічного ребра  SА  до площини основи, SАO = α. Проведемо  SК DС. За теоремою про три перпендикуляри  ОК DС. Тоді  SКO – кут нахилу бічної грані до площини основи. Позначимо  АD = а. Оскільки  АВСD – квадрат, то

ОК = 1/2 АD = 1/2 а.

Оскільки  АС  і  ВD – діагоналі квадрата, то  АС ВD.
З рівнобедреного  АОD (О = 90°):
Звідки

SKO = arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα).

ВІДПОВІДЬ:  arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα)

ЗАДАЧА:

Висота правильної трикутної піраміди дорівнює  15 см, а апофема – 17 см. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  SАВСD – правильна піраміда,
SO (ABС), SO = 15 см, SE AС,
SE = 17 см, AS = SC, тому AE = EC.
Точка  О – центр рівностороннього трикутника.
Площа бічної поверхні:
ВІДПОВІДЬ:  408√͞͞͞͞͞3  (см2)

ЗАДАЧА:

Сторона основі правильної чотирикутної піраміди дорівнює  2 см, а висота піраміди2√͞͞͞͞͞2  см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна чотирикутна піраміда, АВСD – квадрат,
АВ = 2 см, SO (ABС), SО = 2√͞͞͞͞͞2  см, SN СD,
CN = ND = ON = 1/2 AB = 1/22 = 1 (см).
Площа бічної поверхні:
ВІДПОВІДЬ:  12  (см2)

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює  4 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом  60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна піраміда, SO – висота,
сторона основи дорівнює  4 см. Проведемо  SK DC. За теоремою про три перпендикуляри  OK DC. Тоді  SKO – кут нахилу бічної грані до площини основи. За умовою,
SKO = 60°, OK = 1/2 AD = 2 (см).
ВІДПОВІДЬ:  48  (см2)

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює  4 см  і утворює з площиною основи кут  30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна піраміда,
SA = 4 см, SO (ABС). SAO = 30°,

З  AOS (О = 90°):

AO = SA cos SAO = 4 cos 30° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

SO = 1/2 SA = 1/2 4 = 2 (см).

SE BС, оскільки  SB = SC, то

BE = EC  і  AE BС,

AE = AO : 2 3 = 2√͞͞͞͞͞3  : 2 
∙ 3 = 3√͞͞͞͞͞3 (см).
Площа бічної поверхні:

Sб = 3 1/2 BC SE = 3/2 6 ∙√͞͞͞͞͞= 9√͞͞͞͞͞7  (см2).

ВІДПОВІДЬ:  9√͞͞͞͞͞7 см2

Завдання до уроку 9

Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий