Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 10 марта 2018 г.

Урок 5. Параллелепипед

ВИДЕОУРОК

Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.
Прямой параллелепипед.

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым.
Свойства прямого параллелепипеда.

– в параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны;
– диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;
– сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер;
– точка пересечения диагоналей параллелепипеда и точка пересечения диагоналей оснований лежат на одной прямой

Поверхность прямого параллелепипеда.

Боковой поверхностью прямого параллелепипеда называется сумма площадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью прямого параллелепипеда называется сумма её боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра оснований на высоту прямого параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами  

 9 см  и  14 см  

 и углом между ними  30°. Высота призмы – 15 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
РЕШЕНИЕ:

Sп = Sб + 2Sосн.
Sосн = 9 × 14 × sin 30° =
9 × 14 × 1/2 = 63 (см2).
Росн = 2 × (AB + AD) =
2 × (9 + 14) = 46 (см).
Sб = 46 × 15 = 690 (см2).
Sп = 2 × 63 + 690 = 
126 + 690 = 816 (см2).

ОТВЕТ:  816 см2.

Наклонный  параллелепипед.

Параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярные к плоскости основания, называется наклонным.
Свойства наклонного параллелепипеда.

– в наклонном параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны;
– диагонали наклонного параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;
– сумма квадратов всех диагоналей наклонного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер;

Поверхность наклонного параллелепипеда.

Боковою поверхностью наклонного параллелепипеда называется сумма площадей всех его боковых граней.

Полною поверхностью наклонного параллелепипеда будет сумма площадей его боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность наклонного параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

ЗАДАЧА:

Основание наклонного параллелепипеда – квадрат со стороною  а. Одна из вершин второго основания проектируется в центр этого квадрата. Высота параллелепипеда равна  Н. Найти боковую поверхность параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть основанием наклонного параллелепипеда  

 ABCDA1B1C1D1 

 – квадрат  ABCD  со стороною  

 АВ = а, 

 О – центр этого квадрата, 

 А1О = Н – высота параллелепипеда.
Проведём  ОК ⊥ АD, ОМ ⊥ АВ. Тогда по теореме про три перпендикуляра  

 А1К ⊥ АВ, А1M ⊥ АВ, 

 то есть  А1К  и  А1M  – высоты боковых граней  

 ADD1A1  и  ABB1A1  

 соответственно. Прямоугольные треугольники  

 A1OK  и  A1OM  

 равны  (A1O – общий катет и  ОК = ОМ = a/2), откуда  

 A1K = A1M. 

 Поскольку, кроме этого,  AD = AB, то
Поэтому
Поэтому,
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник. Боковое ребро образует со смежными сторонами основания углы, каждый из которых равен  60°. Найти угол, который образует это боковое ребро с плоскостью основания параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCDA1B1C1D1  – заданный наклонный параллелепипед. ABCD  – прямоугольник, 

 ∠ A1AD = ∠ A1AB = 60°, 

 A1K – высота параллелепипеда.
Проведём  КN ⊥ АD  и   KM ⊥ АВ.  

 ∆ A1NA (∠ N = 90°).
 ∠ AA1N = 90° – 60° = 30°. 

 Поэтому, AN = 1/2  AA1.  Аналогично в   

 ∆ A1MA  ∠ AA1M = 30°, 

 поэтому  AM = 1/2  AA1. Поскольку   

 AN = AM = 1/2  AA1, 

 то  AMNK – квадрат и прямоугольный треугольник  ANK –  равнобедренный. Откуда
Поэтому, ∠ A1АM = 45°.

ОТВЕТ:  45°.
  
Задания к уроку 5
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий