ВИДЕОУРОК
Цилиндрическою поверхностью называется поверхность, полученная
движением прямой линии АВ, сохраняющей одно и то же направление и пересекающей данную
линию СD.
Пряма АВ называется образующей, а линия СD – направляющей.
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической
поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими
образующие.
Прямой круговой цилиндр.
Прямым круговым цилиндром называется тело, ограниченное
круговой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями,
перпендикулярными к образующей.
В элементарной геометрии обыкновенно рассматривают только прямой круговой
цилиндр, который в дальнейшем будем называть просто цилиндром.
Основаниями прямого кругового цилиндра являются круги радиуса R,
а высота равна образующей цилиндра:
Н = АВ = ОО1.
Сторона прямоугольника ОО1, вокруг
которого происходит вращение, называется осью цилиндра,
а перпендикулярная ей сторона
ОА = R – радиусом цилиндра.
ОА = R – радиусом цилиндра.
Радиус цилиндра равен радиусу его оснований.
Боковая и полная поверхность цилиндра.
В качестве боковой поверхности цилиндра принимают границу, к которой приближается
боковая поверхность вписанной в этот цилиндр (или описанной вокруг него)
правильной призмы, когда число боковых граней этой призмы неограниченно увеличивается,
а длина основания каждой из её граней стремится к нулю.
Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности
основания на высоту цилиндра:
Sбок =
2πRH,
где R – радиус основания цилиндра, а H –
его высота.
Полная поверхность цилиндра равна сумме боковой поверхности и площадей его
оснований:
Sполн =
2πR(H + R).
Боковая поверхность цилиндра – равна
произведению высоты тела на длину окружности, радиус которой будет
перпендикуляром, опущенным до образующей из её середины до пересечения с осью.
Боковая поверхность цилиндра равна
Sбок = 2π × ОА × О1О2.
Развёртка цилиндра.
Если поверхность цилиндра разрезать по образующей и окружностям оснований и
развернуть её так, чтобы боковая поверхность вместе с основаниями лежала в одной
плоскости, то на этой плоскости получим фигуру, которая называется развёрткой
цилиндра.
Развёртка цилиндра состоит из прямоугольника АВСD, стороны которого
АВ = Н и СВ = 2πR,
и двух кругов (основания цилиндра) О и О1.
Развёртка цилиндра состоит из прямоугольника АВСD, стороны которого
АВ = Н и СВ = 2πR,
и двух кругов (основания цилиндра) О и О1.
ЗАДАЧА:
Высота цилиндра 6
дм, радиус основания – 5 дм. Концы данного отрезка лежат на окружностях обоих
оснований; длина его равна 10
дм. Найти его кратчайшее расстояние от оси.
РЕШЕНИЕ:
В данном цилиндре
АМ = 6
дм, АО = 5 дм
и отрезок МN = 10 дм.
Найти расстояние между отрезком МN и осью цилиндра ОО1.и отрезок МN = 10 дм.
МN и ОО1 –
скрещивающиеся прямые. Проведем плоскость МАN через
прямую МN параллельно оси ОО1, тогда расстояние от любой точки оси ОО1 до проведённой
плоскости будет искомым. Из прямоугольного
⊿МАN находим:
Из прямоугольного ⊿ABOВ таком случае
CD = BO = 3 дм.
ОТВЕТ: 3 дм.
ЗАДАЧА:
В цилиндре площадь основания равна Q,
а площадь осевого сечения S. Найдите
полную поверхность цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
В цилиндре Sосн = Q и SАВСD = S.
Найти Sполн цилиндра.
Обозначим AO = R и AD
= H, тогда
Sполн = 2πR(H + R).
По условию задачи
2RH = S,
πR2 = Q,
πR2 = Q,
откуда
ТогдаОТВЕТ: πS + 2Q.
ЗАДАЧА:
Боковая поверхность цилиндра
вдвое больше суммы площадей его оснований. Найти угол между диагональю осевого сечения
и плоскостью основания цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
По условию задачи
Sбок = 4Sосн.
Sбок = 4Sосн.
Найти ∠ AСD = α.
Sбок = 2πRH, а
Sосн = πR2,
тогда
2πRH
= 4πR2
и, отсюда,
H = 2R,
То есть прямоугольный ⊿ADC –
равнобедренный,
AD = DC = 2R.
Искомый угол α = 45°.
ОТВЕТ: 45°.
Решение стереометрических задач
с помощью тригонометрии.
ЗАДАЧА:
В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость,
пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, видной из центра этого
основания под углом α. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости
основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
площадь его основания равна S.
РЕШЕНИЕ:
Получим πR2 = S. Отсюда ∠ АОВ – центральный угол, а любой вписанный в этот круг угол, опирающийся на дугу АВ, равен 𝛼/2. Тогда по следствию из теоремы синусов Из ∆ CAB (∠ В = 90°):ОТВЕТ: 4S sin 𝛼/2 tg β
ЗАДАЧА:
В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость,
пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, видной из центра этого
основания под углом α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
площадь образовавшегося сечения равна S.
АВ = 2АК = 2АО sin 𝛼/2 = 2R sin 𝛼/2.
Другие уроки:
- Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
- Урок 2. Прямая призма
- Урок 3. Наклонная призма
- Урок 4. Правильная призма
- Урок 5. Параллелепипед
- Урок 6. Прямругольный параллелепипед
- Урок 7. Куб
- Урок 8. Пирамида
- Урок 9. Правильная пирамида
- Урок 10. Усечённая пирамида
- Урок 12. Вписанная и описанная призмы
- Урок 13. Конус
- Урок 14. Усечённый конус
- Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
- Урок 16. Сфера и шар
- Урок 17. Комбинация тел
Комментариев нет:
Отправить комментарий