Урок 4. Правильная призма

четверг, 8 марта 2018 г.

Урок 4. Правильная призма

ВИДЕОУРОК

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Свойства правильной призмы.

– боковые ребра перпендикулярны к основанию;

– все боковые грани – равные прямоугольники;

– боковое ребро является высотою призмы.

Поверхность правильной призмы.

Боковою поверхностью правильной призмы называется сумма площадей всех её боковых граней.

Полной поверхностью правильной призмы называется сумма площадей её боковой поверхности и оснований.

Боковая поверхность правильной призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Правильная треугольная призма.

Правильная шестиугольная призма.

ЗАДАЧА:

Найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания равна 8 см, а высота – 9 см.

РЕШЕНИЕ:

S_б = P_осн× H,

P_осн = 6a = 6 × 8 = 48 (см),

H = BB₁ = 9 см.

S_б = 48×9 = 432 (см²).

ОТВЕТ: 432 см².

ЗАДАЧА:

Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь этого сечения и вычислить её при а = 7,6 см.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная призма, все ребра которой

АА₁ = АВ = ВС = СА = а.

Через ребро основания ВС и середину D оси ОО₁ проводим плоскость, которая пересекает основание А₁В₁С₁ по прямой, параллельной В₁С₁. Точки пересечения этой прямой с ребрами А₁В₁ и А₁С₁ соответственно обозначим через М и N. Соединив точки М и В, N и С, получим сечение ВМNС. Поскольку МN ∥ ВС, то ВМNС – трапеция и её высотою будет отрезок

PQ (LP ⊥ BC, поэтому, и QP ⊥ BC).

Тогда площадь сечения ВMNС

По условию задачи

ВС = а,

∆ DОP = ∆ DO₁Q

(OD = DО₁,
∠ РDО = ∠ QDО₁

и эти треугольники прямоугольные).

Тогда

(как радиус вписанной окружности в ∆ АВС). Из прямоугольника LQО₁О получим

Поскольку QL = AA₁ = a, то из прямоугольного ∆ QLP находим

Из подобности

∆ A₁MN и
∆ A₁B₁C₁ (MN ∥ B₁C₁)

получаем

Подставляя найденные значения BC, PQ и MN в формулу площади сечения, найдем

при a = 7,6 см S ≈ 44,46 см².

ОТВЕТ: S ≈ 44,46 см²

ЗАДАЧА:

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона основания равна 8 см, а боковое ребро – 2 см. Через сторону АС нижнего основания и середину стороны А₁В₁ верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

РЕШЕНИЕ:

АВСА₁В₁С₁ – правильная треугольная призма,
АВ = 8 см, АА₁ = 2 см.

Если М – середина А₁В₁, то А₁М = 4 см. Сечение АМNС проходит через сторону АС и точку М – середину А₁В₁. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку МN ∥ А₁С₁. Тогда МN – средняя линия треугольника А₁В₁С₁. АМNС – трапеция.

МN = ¹/₂ А₁С₁ = 4 (см).

В трапеции АМNС проведем высоты МК и NF, тогда KF = 4 см.
Из ∆ AA₁M (∠ A₁ = 90°),

Из ∆ AKM (∠ K = 90°),

ОТВЕТ: 24 см²

ЗАДАЧА:

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 15 см, а диагональ боковой грани – 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ – заданная правильная призма,
АС₁ = 15 см, DС₁ = 12 см.

Поскольку АD ⊥ (DCС₁), то АD ⊥ DC₁.

Из ∆ DD₁C (∠ D₁ = 90°),
Поэтому,

S_б.п_. = 4 ∙ AD ∙ DD₁ =

= 4 ∙ 9 ∙ 3√͞͞͞͞͞7 = 108√͞͞͞͞͞7 (см²).

ОТВЕТ: 108√͞͞͞͞͞7 (см²)

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона основания равна 8√͞͞͞͞͞2 см, а боковое ребро – 3 см. Через диагональ ВD нижнего основания и середину стороны В₁С₁ верхней проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ – правильная четырёхугольная призма,
АВСD – квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС₁ = 3 см. Сечение проходит через диагональ BD и точку М – середину В₁С₁. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку МN ∥ BD. Тогда МN ∥ B₁D₁ и MN – средняя линия треугольника В₁С₁D₁.

MN = ¹/₂ B₁D₁ = ¹/₂BD.

Из ∆ BAD (∠ A = 90°):

BD = AD√͞͞͞͞͞2 = 16 (см). Тоді

MN = 16 : 2 = 8 (см).

Пусть F₁ – точка пересечения A₁C₁ и MN. Проведем

F₁F ⊥ AC, F₁F = C₁C = 3 см.

Точка F – середина ОС.

OF = ¹/₂ OC = ¹/₂AC = 16 : 4 = 4 (см).

Из ∆ OFF₁ (∠ F = 90°):

В равносторонней трапеции ВМND отрезок F₁O, соединяющий середины оснований, является высотой трапеции. Поэтому
ОТВЕТ: 60 см²

ЗАДАЧА:

Боковое ребро правильной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ равно √͞͞͞͞͞161 см, а диагональ призмы – 17 см. Найдите площадь четырехугольника АВ₁С₁D.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана правильная призма,
АС₁ = 17 см, СС₁ = √͞͞͞͞͞161 см.

Поскольку АD ⊥ (DCС₁), то А₁В₁С₁D – прямоугольник.

Из ∆ АС₁С (∠ С = 90°):

Искомая площадь:

ОТВЕТ: 120 см²

Решение стереометрических задач с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁равна 8√͞͞͞͞͞3 см. На ребре ВВ₁ обозначена точка К так, что

ВК : КВ₁ = 3 : 5.

Найти тангенс угла между плоскостями

АВС и АКС,

если расстояние между прямыми ВС и А₁С₁ равно 16 см.

РЕШЕНИЕ:

Прямые ВС и А₁С₁ – непересекающиеся, СС₁ – их общий перпендикуляр, так как правильная призма прямая и её боковое ребро перпендикулярное к плоскости основания, а также, и до сторон основания ВС и А₁С₁. Поэтому, СС₁ = 16 см. Тогда

ВВ₁ = СС₁ = 16 см.

Пусть ВК = 3х см, тогда

КВ₁ = 5х см.

Откуда 3х + 5х = 16, тогда

х = 2. ВК = 3х = 6 (см).

Обозначим точку D – середину стороны АС. Очевидно, что ВD ⊥ АС, а значит, КD ⊥ АС согласно теореме про три перпендикуляра. Поскольку

КD ⊥ АС и ВD ⊥ АС,

то угол КDВ – линейный угол двугранного угла образованного плоскостями АВС и АКС.

Из равностороннего треугольника АВС:

Из прямоугольного треугольника КВD:

Поэтому, тангенс кута между плоскостями

АВС и АКС

равен 0,5.

ОТВЕТ: 0,5.

Задания к уроку 4

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 8 марта 2018 г.