Урок 13. Конус

суббота, 5 мая 2018 г.

Урок 13. Конус

ВИДЕОУРОК

Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой АВ, перемещающейся в пространстве так, что она при этом всё время проходит через неподвижную точку S и пересекает данную линию С.

Прямая АВ называется образующей, точка S – вершиной, а линия С – направляющей конической поверхности.

Отметим, что коническая поверхность, так же как и её образующая АВ, простираются в пространстве бесконечно.

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхностью с замкнутой направляющей и плоскостью Р, не проходящей через вершину S и пересекающей все образующие конической поверхности.

Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и секущей плоскостью – боковой поверхностью конуса, а часть секущей плоскости, выделенная конической поверхностью, – основанием конуса. Высотой конуса называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на плоскость основания.

Прямым круговым конусом называется конус, основанием которого является круг CD и высота которого SO проходит через центр окружности основания.

В дальнейшем прямой круговой конус будем называть просто конусом. Сечение конуса плоскостью, которая проходит через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Также равнобедренным треугольником будет осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по окружности, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Боковая и полная поверхность конуса.

В качестве боковой поверхности конуса принимается граница, к которой приближается боковая поверхность правильной вписанной (или описанной) в него пирамиды при неограниченном увеличении числа её боковых граней. При этом длина ребра основания правильной пирамиды стремится к нулю.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующей конуса.

Полная поверхность конуса равна сумме боковой поверхности и площади основания:

где R = OD – радиус основания конуса,

L = SD – образующая конуса,

Боковая поверхность конуса равна произведению высоты тела на длину окружности, радиусом которой является перпендикуляр, опущенным из середины образующей на высоту тела.

Боковая поверхность конуса равна

S_бок = 2π × ОА × О₁О₂.

Развёртка конуса.

Если поверхность конуса разрезать по образующей и окружности основания и развернуть её так, чтобы боковая поверхность с основанием лежала в одной плоскости, то на плоскости получим фигуру, называемую развёрткой конуса.

Развёртка конуса состоит из сектора SADA', радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса, и круга основания.

ЗАДАЧА:

Угол между высотою и образующей конуса 60°, высота конуса – Н. Найти площадь сечения, проведённого через две взаимно перпендикулярные образующие.

Пусть угол между высотой и образующей конуса OSB = 60°, высота SO = Н. Пусть существуют две взаимно перпендикулярные образующие, тогда площдь этого сечения будет находится как полупроизведение образующих.