ВИДЕОУРОК
Шаровой поверхностью или сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудалённых от одной точки, которая называется центром сферы.
АО = ОВ = R.
Хордой сферы называется отрезок прямой, который соединяет две её любых точки.
Диаметром сферы называется хорда, которая проходит через её центр, например АС или ВD. Концы любого диаметра называют диаметрально противоположными точками сферы.
Шаром называется тело, ограниченное сферой.
Сферу можно получить вращением полукруга вокруг диаметра.
Сечение сферы и шара плоскостью.
Сечением сферы любой плоскостью будет окружность.
Сечением шара любой плоскостью будет круг.
Круг, полученный пересечением шара плоскостью, которая проходит через центр, называется большим кругом шара, а круг, полученный сечением шара плоскостью, которая не проходит через центр, называется малым кругом шара. Сечения равноудалённые от центра шара, равны между собой.
Любая плоскость, которая проходит через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.
Через две точки сферы, которые не лежат на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга, и до того ж только одну.
Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.
Плоскость, касательная к шару.
Касательной плоскостью к шаровой поверхности называется плоскость, имеющая с этой поверхностью только одну общую точку.
Плоскость, перпендикулярная радиусу шаровой поверхности в его конце, лежащем на этой поверхности, есть касательная плоскость.
Обратно:
Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
ЗАДАЧА:
Через середину радиуса шара
проведена перпендикулярная радиусу плоскость. Как относится площадь полученного
сечения к площади большого круга ?
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.
Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет:Отношение площади этого круга к площади большего круга равно:Поверхность шара и его частей.Поверхность шарового сегмента, пояса и шара.
В качестве величины поверхности шарового сегмента, пояса и шара, образуемого вращением какой-нибудь части полуокружности или всей полуокружности вокруг диаметра, принимают предел, к которому стремится поверхность, образуемая вращением вокруг того же диаметра правильной вписанной ломаной линии в соответствующую часть дуги окружности при неограниченном увеличении числа её звеньев.
где R – радиус большого круга шара, а Н – высота сегментной поверхности.
ЗАДАЧА:
Известно, что радиус цилиндрической поверхности r = 60 см, длина образующей этой поверхности h = 2 м, высота сегмента h1 = 20 см. Котёл сделан из листового железа, вес 1 м2 которого равен 12 кг.
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения площади поверхности
котла нужно найти площади поверхностей двух сферических сегментов и площадь
поверхности цилиндрической части котла.
Определим радиус сферы, частями
которой служат поверхности сегментов, для чего построим центр сферы –
точку О.
Из прямоугольного
треугольника MON имеем:
R2 = r2 + (R – h1)2,
или
S
= 2πrh + 4πRh1 = 2π(rh
+ 2Rh1).
Заменив в этом равенстве R, r, h и h1 их данными значениями, получим:
S = 6,28(0,6 ∙ 2
+ 2 ∙ 1 ∙ 0,2) ≈
10,05 м2.
Умножив вес
1 м2 листового железа
на число квадратных метров прверхности котла, получаем его вес:
Р = 12 ∙
10,05 = 120,6 ≈ 121 (кг).
ОТВЕТ: 121 кг
Площадь поверхности шара.
Пусть дана полуокружность АF с центром в точке О.
При вращении этой полуокружности вокруг диаметра АF мы получим поверхность шара (сферу с центром в точке О и диаметром АF).Дадим следующее определение площади поверхности шара:
За площадь поверхности шара, полученного вращением
полукруга вокруг диаметра, принимается предел, к которому стремится
поверхность, получаемая вращением около того же диаметра правильной вписанной в
полуокружность ломаной линии при неограниченном увеличении числа её звеньев.
Формула поверхности шара такова:
Поверхности шаров относятся, как квадраты их радиусов или диаметров.
Шаровой сегмент, слой и сектор.
Шаровым сегментом называется тело, отсекаемое от шара плоскостью.
Шаровым слоем называется тело, отсекаемое от шара двумя секущими параллельными плоскостями.
Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора вокруг оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его центр и не пересекающей сектора.
Любая диаметральная плоскость шара будет его плоскостью симметрии. Центр шара будет его центром симметрии.
ЗАДАЧА:
Стороны треугольника равны
15, 14 и 13 см.
Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося сторон треугольника, если радиус шара равен 5 см.
РЕШЕНИЕ:
Дан шар О радиуса R = 5 см и ∆ АВС, стороны которого касаются поверхность шара и равны
АВ = 15 см,
ВС = 14 см
АС = 13 см.
Найти расстояние от центра шара до плоскости ∆ АВС.
R = ОМ = 5 см.
Радиус круга D, вписанного в данный треугольник, найдём по формуле
где S – площадь, а р – полупериметр треугольника:
Подставляя найденные значения в формулу для ОD, находим необходимое расстояние
ОТВЕТ: 3 см.
ЗАДАЧА:
Радиусы двух сфер равны 10 см и 17 см, а длина линии их пересечении – 16π см. Найдите расстояние между центрами сфер.
РЕШЕНИЕ:
Дано:
ОА = 10 см,
О1А = 17 см,
Спер = 16π см.
откуда
Подставив эти значения в формулу для S, после очевидных преобразований получим окончательный ответ: ОТВЕТ: Задания к уроку 16
- Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
- Урок 2. Прямая призма
- Урок 3. Наклонная призма
- Урок 4. Правильная призма
- Урок 5. Параллелепипед
- Урок 6. Прямругольный параллелепипед
- Урок 7. Куб
- Урок 8. Пирамида
- Урок 9. Правильная пирамида
- Урок 10. Усечённая пирамида
- Урок 11. Цилиндр
- Урок 12. Вписанная и описанная призмы
- Урок 13. Конус
- Урок 14. Усечённый конус
- Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
- Урок 17. Комбинация тел
Комментариев нет:
Отправить комментарий