Урок 17. Комбинация тел

ВИДЕОУРОК

Нами ранее уже рассмотрены простые геометрические тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Но в природе, техники и геометрии также рассматривают и комбинации указанных геометрических тел.

ПРИМЕР:

Шар называется вписанным в конус, усечённый конус и цилиндр, если поверхность шара касается плоскости основания этих фигур и всех их боковых поверхностей.

Шар называется описанным вокруг конуса, если поверхность шара проходит через вершину конуса, а окружность основания конуса лежит на поверхности шара.

Шар называется описанным вокруг цилиндра и усечённого конуса, если окружности их оснований лежат на поверхности шара.

Обратите внимание, что в конус всегда можно вписать шар, а вокруг цилиндра и усечённого конуса всегда можно описать шар.

Для других объёмных фигур условия вписать в них и описать вокруг них шар должны быть в каждом случае специально определены.

ЗАДАЧА:

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а другие четыре – в плоскости её основания. Найдите ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна  а  и высота  h.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображена пирамида  SABCD  с вписанным в неё кубом  MNPQM₁N₁P₁Q₁, четыре вершины которого лежат на боковых рёбрах пирамиды, а другие – в плоскости основания.

Обозначим ребро куба через  х, то есть  

MN = MM₁ = x. 

Рассмотрим  подобные  ⊿SO₁B  и   

⊿SON (ON ∥ O₁B). 

Из подобия этих треугольников найдём

Учитывая, что  

SO₁ = h, SO = h – x,

получим

откуда

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Вокруг шара описан усечённый конус, образующая которого равна  а. Найти боковую поверхность конуса.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображёно основное сечение усечённого конуса с вписанным в него шаром.

По условию задачи  ВС = а. Обозначим  

О₁В = R, а  О₂C = r. 

Тогда используя свойство касательных к окружности, которые выходят из одной и той же самой точки, 

О₂С = СМ  и  О₁В = МВ, или  
О₁В + О₂С = СВ = а, 

то есть  R + r = а. Поэтому, боковая поверхность усечённого конуса равна

_.
S_бок = π(R + r)а = πа².

Многогранник, описанный вокруг шара.

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным вокруг шара, если плоскости всех граней многогранника касаются шара.

Основные свойства призмы, описанной вокруг шара:

– шар можно вписать в прямую призму, если её основание – многогранник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности;

– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет центр окружностей, вписанных в многоугольники оснований призмы.

ЗАДАЧА:

Известно, что в треугольную призму, стороны основания которой равны  

13 см, 14 см  и  15 см, 

можно вписать шар. Найти радиус этого шара.

РЕШЕНИЕ:

Диаметр вписанного шара равен высоте призмы и в тоже время равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Поэтому радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.

Радиус окружности  r, вписанной в основание призмы, найдём по формуле

где  S – площадь треугольника основания, р – его полупериметр.

По формуле Герона

Поэтому, радиус шара также равен  4 см.

ОТВЕТ:  4 см.

Основные свойства пирамиды, описанной вокруг шара:

– если в пирамиде все двугранные углы при основании равны между собой, то в эту пирамиду можно вписать сферу; центр сферы принадлежит высоте пирамиды, точка касания шара с основанием пирамиды совпадает с центром вписанной в основание окружности, а точки касания с боковыми гранями принадлежат высотам этих граней;

– в любую правильную пирамиду можно вписать шар; центр шара принадлежит высоте пирамиды;

– центр шара, вписанного в правильную пирамиду, совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковою стороною которого будет апофемой правильной пирамиды, а высотою – высота пирамиды; радиус шара равен радиусу этой окружности.

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде центры вписанного и описанного шара совпадают. Определите плоский угол при вершине пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная четырёхугольная пирамида  SАВС  и точка  О – центр вписанного в пирамиду и описанного вокруг неё шара.

Точка  О₁ – центр окружности, описанной вокруг  ∆SВС. Тогда перпендикуляр из центра шара на плоскость  ∆SВС  попадает в точку  О₁,  и  ОО₁  будет радиусом вписанного в пирамиду шара.

ОВ = ОС = SО = R – радиусы описанного шара.

ОО₂ = ОО₁ = r – радиусы вписанного шара.

Тогда прямоугольные

∆ОО₂В, ∆ОО₁В, ∆ОО₂С  и  ∆ОО₁С 

равны между собой. Из их равенства выходит, что 

ВО₂ = СО₂ = ВО₁ = СО₁  и 

∆ВО₂С  и  ∆ВО₁С  равны.

В таком случае 

∠ ВО₂С = ∠ ВО₁С = 90°.

Далее  SО₁ = ВО₁ = СО₁  как радиусы окружности, описанной вокруг  ∆SВС.

Из равнобедренного  ∆ВО₁S  по свойству внешнего угла

∠ BSE = ¹/₂ ∠ BO₁E

Тогда

∠ BSC = ¹/₂ ∠ BO₁C = 45°.

ОТВЕТ:  45°.

Многогранник, вписанный в шар.

Если шар находится в середине многогранника, то он называется вписанным, а если снаружи многогранника – внешне вписанным.

Шар называется описанным вокруг многогранника, а многогранник – вписанным в этот шар, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.

Основные свойства призмы, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг прямой призмы, если её основание будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность;

– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг многоугольников оснований призмы;

– основания призмы вписаны в равные параллельные сечения шара.

ЗАДАЧА:

Вокруг  правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна  5√͞͞͞͞͞3  см, описан шар. Радиус шара равен  13 см. Найти высоту призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть вокруг правильной треугольной призмы  АВСА₁В₁С₁  описан шар.

QВ = R_ABC  – радиус окружности, описанной вокруг  ∆АВС.

где  a = 5√͞͞͞͞͞3  см – сторона основания правильного треугольника  АВС.

Тогда

У  ∆OQB, OB = R = 13 см – радиус шара, ∠ OQB = 90°.

Имеем

Поскольку точка  О – середина высоты призмы  QQ₁ то 

QQ₁ = 2×12 = 24 см.

ОТВЕТ:  24 см.

Основные свойства пирамиды, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг пирамиды, если её основанием будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность; центр шара, описанного вокруг пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённого через центр окружности, описанной вокруг основания;

– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, лежит на прямой, которая совпадает с высотой пирамиды;

– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, совпадает с центром окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, боковою стороной которого будет боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды; радиус шара равен радиусу этой окружности.

Напомним, что центр описанного шара может принадлежать высоте пирамиды, или лежать на её продолжении (то есть находиться либо в середине пирамиды, или за её пределами). Решая задачи способом, предложенным ниже, нет необходимости разглядывать два случая. При выбранном способе решения место размещения центра шара (в середине или вне пирамиды) не учитывается.

ЗАДАЧА:

Докажите, что радиус шара  R, описанного вокруг правильной пирамиды, можно найти по формуле

где  Н – высота пирамиды, r – радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть точка  О – центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды с высотой  ОК.

По условию  QK = R, КА = r  – радиус окружности описанной вокруг основания.

Продолжим  QK  до второго пересечения с шаром в точке  Q₁.

Тогда  QQ₁ = 2R – диаметр окружности, и поэтому 

∠ QAQ₁ = 90°  и  QQ₁ – гипотенуза прямоугольного треугольника  QAQ₁.

∆QKA (∠ K = 90°), 

AQ² = QK² + AK², 

AQ² = H² + r².

По свойству катета прямоугольного треугольника  ∆QAQ₁  имеем 

AQ² = QQ₁× QK, то есть  AQ² = 2R × H.

Поэтому,  

AQ² = H² + r²  и  AQ² = 2RH.

Откуда

H² + r² = 2RH,

что и требовалось доказать.

Применение тригонометрических функций к решению стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равняется  α. Высота  h  пирамиды является диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей и вычислить ее при  

α = 0,46 рад, h = 10,7 см.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная четырехугольная пирамида  SABCD  и шар  O₁, диаметром которой служит высота пирамиды  SO = h, плоский угол при вершине пирамиды  ∠ BCD = α.

Найти длину линии, по которой поверхность шара пересекается с поверхностью пирамиды.

Искомая линия состоит из четырех ровных дуг кругов, по которым пересекаются плоскости боковых граней пирамиды с поверхностью шара.

Найдем длину дуги  B₁C₁, по которой грань пирамиды  BSC  пересекается с поверхностью шара.

Плоскость грани  BSC  пересекается с поверхностью по кругу, центр какого  O₂  получим, опустив из центра шара перпендикуляр  O₁O₂  на плоскость этой грани.

Угол  B₁SC₁ = α  является вписанным в круг  O₂  и опирается на дугу  B₁C₁, потому длина искомой дуги  B₁C₁  определяется по формуле

∪ B₁C₁ = 2α r,

где  α – данный угол в радианах, а  r = O₂S – радиус окружности  O₂.

для определения радиуса  r  рассмотрим подобные прямоугольные

∆ SO₁O₂   и  ∆ SOM.

Из подобия этих треугольников

откуда, учитывая

SO = h  и  SO₁ = ¹/₂ h, находим

Апофему пирамиды  SM  определим так. Обозначим сторону основы пирамиды  ВС = 2х, тогда  ОМ = х. Из  ∆ВSM  имеем

SM = x ctg α/₂.

Дальше из прямоугольного  ∆ SOM  по теореме Пифагора находим

SO² + OM² = SM², или

h² + x² = x²ctg² α/₂.

Откуда

и, поэтому

Тогда

Подставляя найденное значение  r  в формулу для длины дуги  B₁C₁  имеем

Длина искомой линии пересечения поверхности пирамиды с поверхностью пули равняется учетверенной длине дуги  B₁C₁, поэтому окончательно получим

где  α  есть угол при вершине пирамиды, измеренный в радианах.

При  

h = 10,7 см  и  α = 0,46 рад, 

ограничиваясь при вычислении четырьмя значимыми цифрами, имеем

cos α/₂ ≈ 0,9737; 

cos α ≈ 0,8961;

√͞͞͞͞͞cos α ≈ 0,9466;

l ≈ 19,14 cм.

ОТВЕТ:  l ≈ 19,14 cм

Задания к уроку 17

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар