Урок 10. Усечённая пирамида

пятница, 30 марта 2018 г.

Урок 10. Усечённая пирамида

ВИДЕОУРОК

Усечённой пирамидой ABCDA₁B₁C₁D₁ называется часть пирамиды SABCD, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями усечённой пирамиды называются параллельные грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ (ABCD – нижнее основание, A₁B₁C₁D₁– верхнее основание).

Высотой усечённой пирамиды называется отрезок прямой, перпендикулярный её основаниям и заключённый между их плоскостями.

Усечённая пирамида называется правильной, если её основания – правильные многоугольники и прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемою правильной усечённой пирамиды называют высоту её боковой грани.

Свойства усечённой пирамиды.

Основания – подобные многоугольники.

Боковые грани – трапеции.

Отношение высоты к высоте пирамиды, из которой она получена, равно отношению разности сторон одной грани к длине нижнего основания этой самой грани.

Поверхность усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Полная поверхность усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

где Р и Р₁ – периметры оснований, m – апофема усечённой пирамиды.

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида.

Правильная треугольная усечённая пирамида.

Правильная шестиугольная усечённая пирамида.

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 5 и 11 дм, а диагональ пирамиды – 12 дм. Определите боковую поверхность пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

В усечённой пирамиде  АС₁  имеем
А₁В₁ = В₁С₁ = С₁D₁ = D₁А₁ = 5 дм,
АВ = ВС = СD = DА = 11 дм  и
А₁С = 12 дм.
Найти  боковую поверхность.

Из вершины А₁ проведём А₁N ⊥ AB и А₁M ⊥ AC, тогда А₁N – апофема пирамиды.

Боковая поверхность

S_бок = ¹/₂ (P + P₁) × A₁N.

где P = 4AB = 44 дм, а

P₁ = 4A₁B₁ = 20 дм.
В квадратах АВСD и А₁В₁С₁D₁ по иіх сторонам определяем диагонали

АС = 11√͞͞͞͞͞2 (дм),
A₁С₁ =5√͞͞͞͞͞5 (дм).

Рассмотрев равнобедренную трапецию АА₁С₁С, находим

и соответственно

Тогда из прямоугольного ∆ А₁MC находим высоту пирамиды

Из равнобедренного прямоугольного ∆ AMN (∠ ANM = 90°), гипотенуза которого AM = 3√͞͞͞͞͞2 (дм), находим сторону

Апофему данной пирамиды найдём из прямоугольного

Подставляя найденные значения P, P₁ и A₁N в формулу боковой поверхности пирамиды, получим:

S_бок = ¹/₂ (44 + 20)×5 = 160 (дм²).

ОТВЕТ:

S = 160 дм² = 1,6 м².

ЗАДАЧА:

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площадь диагональных сечений.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Диагональные сечения AA₁C₁D и BB₁D₁D– равные равнобедренные трапеции с высотой ОО₁ = h = 4 см и с основаниями – диагоналями оснований АС и А₁С₁ та ВD и В₁D₁ соответственно. ABCD – квадрат, а поэтому

AC² = AD² + CD² =

= 8² + 8² = 128,

AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 (cм).

A₁B₁C₁D₁ – квадрат, а поэтому

A₁C₁² = A₁D₁² + C₁D₁² = 2² + 2² = 8,

A₁C₁ = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).

ОТВЕТ: 20√͞͞͞͞͞2 (cм²)

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований – 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Диагональным сечением данной пирамиды является равнобедренная трапеция АА₁С₁С.

Так как А₁С₁ и АС – диагонали квадратов, А₁В₁С₁D₁ и ABCD, то

А₁С₁= А₁В₁ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см) и

АС= АВ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).

Проведём А₁К ⊥ АС и С₁Н ⊥ АС. Тогда А₁С₁НК – прямоугольник и А₁С₁ = КН. Так что, прямоугольные треугольники АА₁К и СС₁Н равны по гипотенузе и катету.

Тогда,

АК = СН = ¹/₂ (АС – А₁С₁) =

^= 1/₂ (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞2 (см).

Тогда,

СК = АС – АК = 5√͞͞͞͞͞2 – √͞͞͞͞͞2 = 4√͞͞͞͞͞2 (см),

и по теореме Пифагора в ∆ А₁СК:

ОТВЕТ: 6 см

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде плоскость, проведённая параллельно основанию, делит высоту пирамиды пополам. Найдите сторону основания, если площадь сечения равна 36 см².

РЕШЕНИЕ:

Пусть SABCD – данная правильная пирамида,
основание – квадрат ABCD, SO – высота, O – точка пресечения диагоналей квадрата, φ – плоскость сечения, О₁ – точка пересечения φ и SO, φ ∥ (ABC), S = 36 cм².

Поскольку φ ∥ (ABC), то прямые пересечения 𝜑 и боковых граней параллельны соответственно рёбрам основания:

A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁D₁ ∥ CD,

A₁D₁ ∥ AD, 𝜑 ⊥ SO,

можно рассмотреть гомотетию с центром S и коэффициентом

которая преобразует квадрат ABCD в квадрат А₁В₁С₁D₁, стороны которого в два раза меньше, а

S_ABCD = 4S_А_1В1С1D1 = 4 ∙ 36 (см²).

S_ABCD = a² = 4 ∙ 36,

a = 2 ∙ 6 = 12 (см).

ОТВЕТ: 12 см

Задания к уроку 10

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 30 марта 2018 г.