Урок 12. Вписанная и описанная призмы

ВИДЕОУРОК

Призма, вписанная в цилиндр.

Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.

При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно, что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма, вписанная в цилиндр, будет прямою.

Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её свойства:

– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра  R  равен радиусу этой окружности;
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  R  описанной окружности.

Где a, b, с  – стороны, h – высота, d – диагональ.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?

РЕШЕНИЕ:

Да, так как вокруг любого треугольника можно описать окружность.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?

РЕШЕНИЕ:

Нет, так как вокруг ромба, который не является квадратом, нельзя описать окружность.

Призма, описанная вокруг цилиндра.

Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения, в котором находится касательная цилиндра.

Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям, которые касаются цилиндра.

При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.

По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим её свойства:

– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра  r  равен радиусу этой окружности; 
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  r  описанной окружности.

Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра, высота которого равна  5 см, описали четырёхугольную призму, три стороны которой в порядке следования равны  

3 см, 4 см  и  7 см. 

Найти площадь боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника основания  х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то 

3 + 7 = 4 + х,

откуда  х = 6 см.

Площадь боковой поверхности призмы

S_бок = P × l
где,  Р – периметр основания,

l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.

Имеем:

Р = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).

S_бок = 20 × 5 = 100 (см²).

ОТВЕТ:  100 см².

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы  АО = АА₁.
Боковые грани – квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу. Рёбра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен  45°, так как грани – квадраты.

ЗАДАЧА:

Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен  0,5. Площадь боковой поверхности призмы равна  8. Найдите высоту цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Так как четырёхугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен  0,5. Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть

2 ∙ 0,5 = 1.

Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной грани равна

8 : 4 = 2.

Каждая грань представляет собой прямоугольник, следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:

2 : 1 = 2.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, следовательно, она равна  2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра  10 см, а высота  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  О  и  О₁ – центры основ данного цилиндра,

ОО₁ – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD  и А₁В₁С₁D₁, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или квадраты, причем точки  О  и  О₁ – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. Тогда

АА₁ ∥ ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁ ∥ ОО₁.

ОО₁ ⊥ (АВС), ОО₁ ⊥ (А₁В₁С₁),

следовательно, параллелепипед является прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра, боковые ребра – образующие цилиндра,

Поскольку параллелепипед правильный, то  АВСD – квадрат,

АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,

тоді  АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.

S_п = S_б + 2S_осн  = P∙ H + 2S_ABCD =

= 4 ∙ 10√͞͞͞͞͞2  ∙ 20 + 2(10√͞͞͞͞͞2)² =

= 800√͞͞͞͞͞2 + 400 = 400(2√͞͞͞͞͞2  + 1) (см²).

ОТВЕТ:  400(2√͞͞͞͞͞2  + 1) см²

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная призма, площадь боковой поверхности которой равна  Q. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Если правильная четырехугольная призма описана вокруг цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, – квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов, боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и цилиндра. Отметим сторону квадрата  а, радиус цилиндра  r, высоту призмы и цилиндра  Н.

По условию

S_б.пр. = Q,

S_б.пр. = P∙ H = 4a ∙ H = Q,

S_б.ц. = 2πrH, а = 2r.

Маємо:

4a ∙ H = Q, 4∙ 2rH = Q,

2rН = ^Q/₄,

тоді 

S_б.ц. = π ∙ 2RH = π∙ ^Q/₄ 

ОТВЕТ: π∙ ^Q/₄

Решение задач с применением тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом  а  и прилежащим  к нему острым углом  α. Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена к плоскости основания под углом  β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,

О  и  О₁ – центры оснований, ОО₁ – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная призма (прямая).

АВСА₁В₁С₁, ∠ С = ∠ С₁ = 90°.

Тогда  ∆ АВС  и  ∆ А₁В₁С₁  вписаны в круги оснований цилиндра, О  и  О₁ – середины гипотенуз  АВ  и  А₁В₁, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,

∠ ВАС = α, АС = а,

АА₁ ∥ ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁,

АА₁ ⊥ (АВС), А₁С – наклонная, АС – проекция,

поэтому ∠ АСА₁ = β – угол между  А₁С  и  (АВС).

ОТВЕТ:

Задания к уроку 12

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел