Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 23 апреля 2018 г.

Урок 12. Вписанная и описанная призмы

ВИДЕОУРОК

Призма, вписанная в цилиндр.

Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.
При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно, что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма, вписанная в цилиндр, будет прямою.
Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её свойства:

– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра  R  равен радиусу этой окружности;
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  R  описанной окружности.
Где a, b, с  – стороны, h – высота, d – диагональ.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?

РЕШЕНИЕ:

Да, так как вокруг любого треугольника можно описать окружность.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?

РЕШЕНИЕ:

Нет, так как вокруг ромба, который не является квадратом, нельзя описать окружность.

Призма, описанная вокруг цилиндра.

Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения, в котором находится касательная цилиндра.
Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям, которые касаются цилиндра.


При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.
По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим её свойства:

– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра  r  равен радиусу этой окружности
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  r  описанной окружности.
Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра, высота которого равна  5 см, описали четырёхугольную призму, три стороны которой в порядке следования равны  

3 см, 4 см  и  7 см. 

Найти площадь боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника основания  х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то 

3 + 7 = 4 + х,
откуда  х = 6 см.
Площадь боковой поверхности призмы

Sбок = P × l
где,  Р – периметр основания,
l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.
Имеем:
Р = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).
Sбок = 20 × 5 = 100 (см2).

ОТВЕТ:  100 см2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы  АО = АА1.
Боковые грани – квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу. Рёбра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен  45°, так как грани – квадраты.

ЗАДАЧА:

Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен  0,5. Площадь боковой поверхности призмы равна  8. Найдите высоту цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Так как четырёхугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен  0,5. Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть

2 0,5 = 1.

Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной грани равна

8 : 4 = 2.

Каждая грань представляет собой прямоугольник, следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:

2 : 1 = 2.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, следовательно, она равна  2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра  10 см, а высота  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  О  и  О1 – центры основ данного цилиндра,
ОО1 – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD  и А1В1С1D1, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или квадраты, причем точки  О  и  О1 – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. Тогда

АА1 ВВ1 СС1 DD1 ОО1.

ОО1 (АВС), ОО1 (А1В1С1),

следовательно, параллелепипед является прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра, боковые ребра – образующие цилиндра,
Поскольку параллелепипед правильный, то  АВСD – квадрат,

АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,

тоді  АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.

Sп = Sб + 2Sосн  = P H + 2SABCD =

= 4 10√͞͞͞͞͞2   20 + 2(10√͞͞͞͞͞2)2 =

= 800√͞͞͞͞͞2 + 400 = 400(2√͞͞͞͞͞+ 1) (см2).

ОТВЕТ:  400(2√͞͞͞͞͞+ 1) см2

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная призма, площадь боковой поверхности которой равна  Q. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Если правильная четырехугольная призма описана вокруг цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, – квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов, боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и цилиндра. Отметим сторону квадрата  а, радиус цилиндра  r, высоту призмы и цилиндра  Н.

По условию

Sб.пр. = Q,

Sб.пр. = P H = 4a H = Q,

Sб.ц. = 2πrH, а = 2r.

Маємо:

4a H = Q, 4 2rH = Q,

2rН = Q/4,

тоді 

Sб.ц. = π 2RH = π Q/4 

ОТВЕТ: π Q/4

Решение задач с применением тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом  а  и прилежащим  к нему острым углом  α. Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена к плоскости основания под углом  β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,
О  и  О1 – центры оснований, ОО1 – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная призма (прямая).

АВСА1В1С1, С = С1 = 90°.

Тогда  ∆ АВС  и  ∆ А1В1С1  вписаны в круги оснований цилиндра, О  и  О1 – середины гипотенуз  АВ  и  А1В1, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,

ВАС = α, АС = а,

АА1 ВВ1 СС1 DD1,

АА1 (АВС), А1С – наклонная, АС – проекция,

поэтому АСА1 = β – угол между  А1С  и  (АВС).
ОТВЕТ:
Задания к уроку 12
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий