Урок 5. Параллелепипед

суббота, 10 марта 2018 г.

Урок 5. Параллелепипед

ВИДЕОУРОК

Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.

Прямой параллелепипед.

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым.

Свойства прямого параллелепипеда.

– в параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны;

– диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;

– сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер;

– точка пересечения диагоналей параллелепипеда и точка пересечения диагоналей оснований лежат на одной прямой

Поверхность прямого параллелепипеда.

Боковой поверхностью прямого параллелепипеда называется сумма площадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью прямого параллелепипеда называется сумма её боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра оснований на высоту прямого параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами

9 см и 14 см

и углом между ними 30°. Высота призмы – 15 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

S_п = S_б + 2S_осн.

S_осн = 9 × 14 × sin 30° =
9 × 14 × ¹/₂ = 63 (см²).

Р_осн = 2 × (AB + AD) =
2 × (9 + 14) = 46 (см).

S_б = 46 × 15 = 690 (см²).

S_п = 2 × 63 + 690 =
126 + 690 = 816 (см²).

ОТВЕТ: 816 см².

Наклонный параллелепипед.

Параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярные к плоскости основания, называется наклонным.

Свойства наклонного параллелепипеда.

– в наклонном параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны;

– диагонали наклонного параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;

– сумма квадратов всех диагоналей наклонного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер;

Поверхность наклонного параллелепипеда.

Боковою поверхностью наклонного параллелепипеда называется сумма площадей всех его боковых граней.

Полною поверхностью наклонного параллелепипеда будет сумма площадей его боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность наклонного параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

ЗАДАЧА:

Основание наклонного параллелепипеда – квадрат со стороною а. Одна из вершин второго основания проектируется в центр этого квадрата. Высота параллелепипеда равна Н. Найти боковую поверхность параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть основанием наклонного параллелепипеда

ABCDA₁B₁C₁D₁

– квадрат ABCD со стороною

АВ = а,

О – центр этого квадрата,

А₁О = Н – высота параллелепипеда.

Проведём ОК ⊥ АD, ОМ ⊥ АВ. Тогда по теореме про три перпендикуляра

А₁К ⊥ АВ, А₁M ⊥ АВ,

то есть А₁К иА₁M – высоты боковых граней

ADD₁A₁ и ABB₁A₁

соответственно. Прямоугольные треугольники

A₁OK и A₁OM

равны  (A₁O – общий катет и ОК = ОМ = ^a/₂), откуда

A₁K = A₁M.

Поскольку, кроме этого, AD = AB, то

Поэтому

Поэтому,

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник. Боковое ребро образует со смежными сторонами основания углы, каждый из которых равен 60°. Найти угол, который образует это боковое ребро с плоскостью основания параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – заданный наклонный параллелепипед. ABCD – прямоугольник,

∠ A₁AD = ∠ A₁AB = 60°,

A₁K – высота параллелепипеда.

Проведём КN ⊥ АD и KM ⊥ АВ.

∆ A₁NA (∠ N = 90°).

∠ AA₁N = 90° – 60° = 30°.

Поэтому, AN = ¹/₂AA_1. Аналогично в

∆ A₁MA ∠ AA₁M = 30°,

поэтому AM = ¹/₂AA₁. Поскольку

AN = AM = ¹/₂AA₁,

то AMNK – квадрат и прямоугольный треугольник ANK – равнобедренный. Откуда

Поэтому, ∠ A₁АM = 45°.

ОТВЕТ: 45°.

Задания к уроку 5

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 10 марта 2018 г.