Призма, вписанная в цилиндр.
Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания
вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.
При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно,
что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма,
вписанная в цилиндр, будет прямою.
Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её
свойства:
– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её
основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра R равен радиусу этой
окружности;
– высота Н призмы, которая
соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.
Формулы вычисления радиуса R описанной окружности.
Где a, b, с – стороны, h – высота, d – диагональ.
ПРИМЕР:
Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?
РЕШЕНИЕ:
Да, так как вокруг любого треугольника
можно описать окружность.
ПРИМЕР:
Можно или нет описать цилиндр вокруг
прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?
РЕШЕНИЕ:
Нет, так как вокруг ромба, который
не является квадратом, нельзя описать окружность.
Призма, описанная вокруг цилиндра.
Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая
проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения,
в котором находится касательная цилиндра.
Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её
основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям,
которые касаются цилиндра.
При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные
цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в
которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то
есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.
По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим
её свойства:
– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания
будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра r равен радиусу этой
окружности;
– высота Н призмы, которая
соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.
Формулы вычисления радиуса r описанной окружности.
Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.
ЗАДАЧА:
Вокруг цилиндра, высота которого равна 5 см, описали четырёхугольную
призму, три стороны которой в порядке следования равны
3 см, 4 см и 7 см.
Найти площадь
боковой поверхности призмы.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника
основания х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то
3 + 7 = 4 + х,
откуда х = 6 см.
Площадь боковой поверхности призмы
Sбок = P × l
где, Р – периметр
основания,
l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.
Имеем:
Р = 3 + 7 + 4 +
6 = 20 (см).
Sбок = 20 × 5 = 100 (см2).
ОТВЕТ: 100 см2.
ЗАДАЧА:
В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Из условия задачи имеем:
В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы АО = АА1.
Боковые грани – квадраты, так как сторона правильного шестиугольника,
вписанного в окружность, равна радиусу. Рёбра призмы параллельны оси цилиндра,
поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю
и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани – квадраты. ЗАДАЧА:
Правильная
четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого
равен 0,5. Площадь боковой
поверхности призмы равна 8. Найдите высоту цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Так как четырёхугольная призма правильная, то в
основании лежит квадрат.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 0,5.
Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть2 ∙ 0,5 = 1.
Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной
грани равна
8 : 4 = 2.
Каждая грань представляет собой прямоугольник,
следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону
основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:
2 : 1 = 2.
Высота цилиндра равна боковому ребру призмы,
следовательно, она равна 2.
ЗАДАЧА:
В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите
площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра 10
см, а высота 20
см.
РЕШЕНИЕ:
Пусть О и О1 – центры основ данного цилиндра,ОО1 – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед
вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD и А1В1С1D1, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или
квадраты, причем точки О и О1 – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. ТогдаАА1 ∥ ВВ1 ∥ СС1 ∥ DD1 ∥ ОО1.
ОО1 ⊥ (АВС),
ОО1 ⊥ (А1В1С1),
следовательно, параллелепипед является
прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра,
боковые ребра – образующие цилиндра,Поскольку параллелепипед
правильный, то АВСD – квадрат,
АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,
тоді АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.
Sп
= Sб
+ 2Sосн = P∙
H + 2SABCD
=
= 4
∙ 10√͞͞͞͞͞2 ∙
20 +
2(10√͞͞͞͞͞2)2 =
= 800√͞͞͞͞͞2 +
400 = 400(2√͞͞͞͞͞2 +
1)
(см2).
ОТВЕТ: 400(2√͞͞͞͞͞2 +
1) см2
ЗАДАЧА:
Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная
призма, площадь боковой поверхности которой равна Q. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Если правильная четырехугольная призма описана вокруг
цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, –
квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов,
боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и
цилиндра. Отметим сторону квадрата а, радиус цилиндра r, высоту призмы и цилиндра Н.
По условиюSб.пр. = Q,
Sб.пр. = P∙ H = 4a ∙ H = Q,
Sб.ц. = 2πrH, а = 2r.
Маємо:
4a ∙ H = Q, 4∙ 2rH = Q,
2rН = Q/4,
тоді
Sб.ц. = π ∙ 2RH = π∙ Q/4
ОТВЕТ: π∙ Q/4
Решение задач с применением
тригонометрии.
ЗАДАЧА:
В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой
является прямоугольный треугольник с катетом
а и прилежащим к нему острым углом α.
Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена
к плоскости основания под углом β.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
РЕШЕНИЕ:
Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,О и О1 – центры оснований, ОО1 –
отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная
призма (прямая).АВСА1В1С1, ∠ С = ∠ С1 = 90°.
Тогда ∆ АВС и ∆
А1В1С1 вписаны в круги оснований цилиндра, О и О1 –
середины гипотенуз АВ и А1В1, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,
∠ ВАС = α, АС = а,
АА1 ∥
ВВ1 ∥ СС1 ∥ DD1,
АА1 ⊥ (АВС),
А1С –
наклонная, АС – проекция,
поэтому ∠ АСА1 = β – угол между
А1С и (АВС).ОТВЕТ:Задания к уроку 12
