Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 23 апреля 2018 г.

Задание 1. Вписанная и описанная призмы

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

 1. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна  8 см, а боковое ребро – 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

 а)  38√͞͞͞͞͞3 см2;     
 б)  32√͞͞͞͞͞3 см2;     
 в)  30√͞͞͞͞͞3 см2;     
 г)  36√͞͞͞͞͞3 см2.

 2. В правильной треугольной призме боковое ребро равно  а, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол  α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.
 3. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

 а)  60°;      
 б)  30°;       
 в)  90°;      
 г)  45°.

 4. В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра  10 см, а высота  20 см.

 а)  400(√͞͞͞͞͞2  + 2) см2;     
 б)  400(√͞͞͞͞͞2  + 1) см2;     
 в)  400(2√͞͞͞͞͞2  + 1) см2;     
 г)  200(2√͞͞͞͞͞2  + 1) см2.              

 5. В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом  а  и прилежащим  к нему острым углом  α. Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена к плоскости основания под углом  β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
 6. Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная призма, площадь боковой поверхности которой равна  Q. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
 7. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом  30°. Диагональ боковой грани этой призмы равна 12 м  и наклонена к плоскости основания под углом  45°. Найдите боковую поверхность цилиндра, вписанного в данную призму.

 а)  34π см2;      
 б)  32π см2;     
 в)  36π см2;      
 г)  38π см2.

 8. Основание прямой призмы, описанной вокруг цилиндра, – трапеция с длинами параллельных сторон  6 см  и  27 см. Длина одной из боковых сторон этой трапеции  13 см. Найдите радиус цилиндра.

 а)  8 см;      
 б)  6 см;     
 в)  2 см;      
 г)  4 см.

 9. Найти боковую поверхность правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, если образующая цилиндра равна  b, а радиус основания  r.

 а)  8√͞͞͞͞͞3 rb;     
 б)  2√͞͞͞͞͞3 rb;     
 в)  6√͞͞͞͞͞3 rb;     
 г)  4√͞͞͞͞͞3 rb.

10. Найдите полную поверхность цилиндра, описанного около правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна  с, а высота равна  h.

 а)  πсh√͞͞͞͞͞2  + πс2;     
 б)  πсh√͞͞͞͞͞2  + 2πс2;     
 в)  πсh√͞͞͞͞͞2  πс2;     
 г)  2πсh + πс2√͞͞͞͞͞2.

11. Боковая поверхность цилиндра, вписанного в правильную четырёхугольную призму, равна  48π, высота цилиндра равна  6. Найдите боковую поверхность призмы.

 а)  42√͞͞͞͞͞2;     
 б)  48√͞͞͞͞͞2;     
 в)  54√͞͞͞͞͞2;     
 г)  50√͞͞͞͞͞2.

12. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равна  1. Найдите площадь поверхности призмы.
 
 а)  12;      
 б)  6;     
 в)  10;      
 г)  8

Задания к уроку 12

Урок 12. Вписанная и описанная призмы

ВИДЕОУРОК

Призма, вписанная в цилиндр.

Призму называют вписанною в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра касательные цилиндра.
При этом цилиндр называют описанным вокруг призмы. Понятно, что если касательные цилиндра перпендикулярны к плоскости основания, то призма, вписанная в цилиндр, будет прямою.
Из определения призмы, вписанной в цилиндр, вытекают её свойства:

– цилиндр можно описать вокруг прямой призмы, если её основанием является многогранник, вокруг которого можно описать окружность; при этом радиус цилиндра  R  равен радиусу этой окружности;
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг основ, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  R  описанной окружности.
Где a, b, с  – стороны, h – высота, d – диагональ.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит треугольник ?

РЕШЕНИЕ:

Да, так как вокруг любого треугольника можно описать окружность.

ПРИМЕР:

Можно или нет описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит ромб, если он не является квадратом ?

РЕШЕНИЕ:

Нет, так как вокруг ромба, который не является квадратом, нельзя описать окружность.

Призма, описанная вокруг цилиндра.

Касательной плоскостью цилиндра называют плоскость, которая проходит через касательную цилиндра и перпендикулярная к плоскости осевого сечения, в котором находится касательная цилиндра.
Призму называют описанной вокруг цилиндра, если её основания описаны вокруг оснований цилиндра, а боковые грани принадлежат плоскостям, которые касаются цилиндра.


При этом цилиндр называют вписанным в призму, так как касательные цилиндра перпендикулярные к плоскости оснований, и боковые грани призмы, в которых находятся касательные, также перпендикулярные к плоскости оснований, то есть призма, описанная вокруг цилиндра, будет прямой.
По определению призмы, описанной вокруг цилиндра, определим её свойства:

– цилиндр можно вписать в прямую призму, если её основания будут многогранники, в которые можно вписать окружности; при этом радиус цилиндра  r  равен радиусу этой окружности
– высота  Н  призмы, которая соединяет центры окружностей, вписанных в основания, принадлежит оси цилиндра.

Формулы вычисления радиуса  r  описанной окружности.
Где h – высота, S – площадь, р – полупериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра, высота которого равна  5 см, описали четырёхугольную призму, три стороны которой в порядке следования равны  

3 см, 4 см  и  7 см. 

Найти площадь боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим неизвестную сторону четырёхугольника основания  х. Так как этот четырёхугольник описан вокруг окружности, то 

3 + 7 = 4 + х,
откуда  х = 6 см.
Площадь боковой поверхности призмы

Sбок = P × l
где,  Р – периметр основания,
l – боковое ребро, которое равно высоте цилиндра.
Имеем:
Р = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).
Sбок = 20 × 5 = 100 (см2).

ОТВЕТ:  100 см2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы  АО = АА1.
Боковые грани – квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу. Рёбра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен  45°, так как грани – квадраты.

ЗАДАЧА:

Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен  0,5. Площадь боковой поверхности призмы равна  8. Найдите высоту цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Так как четырёхугольная призма правильная, то в основании лежит квадрат.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен  0,5. Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности, то есть

2 0,5 = 1.

Так как все боковые грани призмы равны, то площадь одной грани равна

8 : 4 = 2.

Каждая грань представляет собой прямоугольник, следовательно, её площадь равна произведению бокового ребра призмы на сторону основания (квадрата). Следовательно, боковое ребро призмы равно:

2 : 1 = 2.

Высота цилиндра равна боковому ребру призмы, следовательно, она равна  2.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписан правильный параллелепипед. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда, если радиус цилиндра  10 см, а высота  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  О  и  О1 – центры основ данного цилиндра,
ОО1 – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. Поскольку параллелепипед вписан в цилиндр, то его основания – параллелограммы. АВСD  и А1В1С1D1, вписанные в основания цилиндра, следовательно, они прямоугольники или квадраты, причем точки  О  и  О1 – центры этих четырехугольников – точки пересечения диагоналей. Тогда

АА1 ВВ1 СС1 DD1 ОО1.

ОО1 (АВС), ОО1 (А1В1С1),

следовательно, параллелепипед является прямоугольным. Диагонали четырехугольников являются диаметрами цилиндра, боковые ребра – образующие цилиндра,
Поскольку параллелепипед правильный, то  АВСD – квадрат,

АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,

тоді  АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.

Sп = Sб + 2Sосн  = P H + 2SABCD =

= 4 10√͞͞͞͞͞2   20 + 2(10√͞͞͞͞͞2)2 =

= 800√͞͞͞͞͞2 + 400 = 400(2√͞͞͞͞͞+ 1) (см2).

ОТВЕТ:  400(2√͞͞͞͞͞+ 1) см2

ЗАДАЧА:

Вокруг цилиндра описана правильная четырёхугольная призма, площадь боковой поверхности которой равна  Q. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Если правильная четырехугольная призма описана вокруг цилиндра, то круги основания цилиндра, вписанные в основания призмы, – квадраты, центры оснований цилиндра – точки пересечения диагоналей квадратов, боковое ребро призмы равно образующей цилиндра и является высотой призмы и цилиндра. Отметим сторону квадрата  а, радиус цилиндра  r, высоту призмы и цилиндра  Н.

По условию

Sб.пр. = Q,

Sб.пр. = P H = 4a H = Q,

Sб.ц. = 2πrH, а = 2r.

Маємо:

4a H = Q, 4 2rH = Q,

2rН = Q/4,

тоді 

Sб.ц. = π 2RH = π Q/4 

ОТВЕТ: π Q/4

Решение задач с применением тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В цилиндр вписана треугольная призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом  а  и прилежащим  к нему острым углом  α. Диагональ грани призмы, в которой находится эта сторона треугольника, наклонена к плоскости основания под углом  β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображен данный цилиндр,
О  и  О1 – центры оснований, ОО1 – отрезок оси цилиндра, являющийся высотой. В данный цилиндр вписана треугольная призма (прямая).

АВСА1В1С1, С = С1 = 90°.

Тогда  ∆ АВС  и  ∆ А1В1С1  вписаны в круги оснований цилиндра, О  и  О1 – середины гипотенуз  АВ  и  А1В1, боковые ребра призмы являются образующими цилиндра,

ВАС = α, АС = а,

АА1 ВВ1 СС1 DD1,

АА1 (АВС), А1С – наклонная, АС – проекция,

поэтому АСА1 = β – угол между  А1С  и  (АВС).
ОТВЕТ:
Задания к уроку 12
Другие уроки: