Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 5 мая 2018 г.

Урок 13. Конус

ВИДЕОУРОК

Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой  АВ, перемещающейся в пространстве так, что она при этом всё время проходит через неподвижную точку  S  и пересекает данную линию  С.
Прямая  АВ  называется образующей, точка  S – вершиной, а линия  С – направляющей конической поверхности.
Отметим, что коническая поверхность, так же как и её образующая  АВ, простираются в пространстве бесконечно.

 Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхностью с замкнутой направляющей и плоскостью  Р, не проходящей через вершину  S  и пересекающей все образующие конической поверхности.
Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и секущей плоскостью – боковой поверхностью конуса, а часть секущей плоскости, выделенная конической поверхностью, – основанием конуса. Высотой конуса называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на плоскость основания.
Прямым круговым конусом называется конус, основанием которого является круг  CD  и  высота которого  SO  проходит через центр окружности основания.
В дальнейшем прямой круговой конус будем называть просто конусом. Сечение конуса плоскостью, которая проходит через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.
Также равнобедренным треугольником будет осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса.
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по окружности, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

 Боковая и полная поверхность конуса.

 В качестве боковой поверхности конуса принимается граница, к которой приближается боковая поверхность правильной вписанной (или описанной) в него пирамиды при неограниченном увеличении числа её боковых граней. При этом длина ребра основания правильной пирамиды стремится к нулю.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа  π  на радиус окружности основания и на длину образующей конуса.

Полная поверхность конуса равна сумме боковой поверхности и площади основания:
где  R = OD – радиус основания конуса, 
L = SD – образующая конуса,

 Боковая  поверхность конуса равна произведению высоты тела на длину окружности, радиусом которой является перпендикуляр, опущенным из середины образующей на высоту тела.
Боковая поверхность конуса равна

 Sбок = 2π × ОА × О1О2.

 Развёртка конуса.

 Если поверхность конуса разрезать по образующей и окружности основания и развернуть её так, чтобы боковая поверхность с основанием лежала в одной плоскости, то на плоскости получим фигуру, называемую развёрткой конуса.
Развёртка конуса состоит из сектора  SADA', радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса, и круга основания.

 ЗАДАЧА:

 Угол между высотою и образующей конуса  60°, высота конуса – Н. Найти площадь сечения, проведённого через две взаимно перпендикулярные образующие.
Пусть угол между высотой и образующей конуса  OSB = 60°, высота  SO = Н. Пусть существуют две взаимно перпендикулярные образующие, тогда площдь этого сечения будет находится как полупроизведение образующих.
ОТВЕТ:  2Н2.

 ЗАДАЧА:

 В конусе проведено два сечения, параллельно основанию, которые делят высоту конуса на три равные части. Найдите отношение их площадей.
Проведём два сечения в конусе, параллельно основанию, причём так, что центры этих окружностей  О2  и  О3  делят высоту конуса на три равные части.
Тогда радиус круга с центром  О2  равен
а радиус круга с центром  О3
это выходит из подобия треугольников

A1SO1,  A2SO2,  A3SO3.

 Тогда, обозначив площади сечений  S2  и  S3, получим:
ОТВЕТ:  1 : 4

 Задания к уроку 13
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий