Урок 21. Формулы сложенияи вычитания аргументов тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Формулы позволяют определить по известным тригонометрическим функциям аргументов  α  и  β  значения этих функций для сумм или разностей заданных аргументов.

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Пусть к углу  α < 90°  приложен угол  β < 90°, причём  
α + β < 90°.

Из общей вершины  О  этих углов описана единичная окружность. Из точки  F  опустим перпендикуляры

FA ⊥ OE₁  и  FC ⊥ OC

на стороны углов  α  и  β. Проведём

CD ⊥ AF  и  CB ⊥ OE₁.

Из чертежа имеем:

Так как  AD = BC, а 

BC = OC sin α  (из треугольника  ОВС) и

OC = OF cos α = 1 ∙ cos β

(из треугольника  ОСF), то

AD = sin α ∙ cos β.

Из треугольника  CDF  имеем:

DF = CF соs α,

а из треугольника  OCF  имеем:

CF = OF sin β = 1 ∙ sin β.

На основании этого равенства

CF = OF sin β = 1 ∙ sin β

равенство

DF = CF соs α

примет вид:

DF = соs α sin β.

Заменяя в равенстве

sin (α + β) = AD + DF

AD  и  DF  их значениями

AD = sin α cos β

DF = соs α sin β,

получим:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

ПРИМЕР:

Вычислить:

sin 75°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 75° = sin (30° + 45°).

Воспользуемся следующей формулой:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

при  α = 30°, β = 45°, получим

sin (30° + 45°) =

sin 30° cos 45° + sin 45° cos 30°.

Известно, что

Значит,

ОТВЕТ:

Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.

Из чертежа

имеем:

Но 

OB = OC соs α = OF ∙ cos α cos β,

так как  OC = OF cos β  (из треугольника  OCF).

Итак,

OB = cos α cos β,

AB = DC = CF sin α,

CF = OF sin β  (из треугольника  OCF),

следовательно,

AB = sin α sin β.

На основании равенств

OB = cos α cos β,

AB = sin α sin β

равенство

cos (α + β) = OB – AB

примет вид:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

ПРИМЕР:

Вычислить:

соs 75°

как косинус суммы углов  30°  и  45°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

соs 75° = соs (30° + 45°).

Воспользуемся следующей формулой:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

при  α = 30°, β = 45°, получим

соs (30° + 45°) =

соs 30° cos 45° – sin 45° sin 30°.

Известно, что

Значит,

что совпадает со значением  соs 75°, взятым из таблиц.

ОТВЕТ:  ≈ 0,2588

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся для

следующими формулами:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α,

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

и учитывая, что

Получим:

ОТВЕТ:  tg α

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Чтобы вывести формулу синуса разности углов  α  и  β, то есть формулу, выражающую  sin (α – β)  через синус и косинус углов  α  и  β, представим разность  α – β  в виде суммы  α + (–β)  и применим к этой сумме формулу

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Имеем:

sin (α – β) = sin (α + (–β)) =

= sin α cos (–β) + cos α sin (–β).

Но  cos (–β) = cos β  и 

sin (–β) = –sin β,

а потому

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

ПРИМЕР:

Вычислить

sin 15°

как синус разности

45°  и  30°.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что

Тогда по формуле

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α

получаем

sin 15° = sin (45° – 30°) =

sin 45° cos 30° – sin 30° cos 45°,

или

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Вычислить

sin 15°

как синус разности

60°  и  45°.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что

Тогда по формуле

sin(α – β) = sin α cos β – sin β cos α

получаем

sin 15° = sin (60° – 45°) =

sin 60° cos 45° – sin 45° cos 60°,

или

ОТВЕТ:

Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.

Чтобы вывести формулу косинуса разности углов  α  и  β, то есть формулу, выражающую  соs (α – β)  через синус и косинус углов  α  и  β, представим разность  α – β  в виде суммы  α + (–β)  и применим к этой сумме формулу

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Имеем:

соs (α – β) = соs (α + (–β)) =

= соs α cos (–β) – sin α sin (–β).

Но  cos (–β) = cos β  и 

sin (–β) = –sin β,

а потому

соs (α – β) = соs α cos β + sin α sin β.

ПРИМЕР:

Вычислить:

cos 15°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

cos 15° = cos (45° – 30°).

Воспользуемся следующей формулой:

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

при  α = 45°, β = 30°, получим

cos 15° = cos (45° – 30°) =

cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.

Известно, что

Значит,

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Вычислить:

cos 15°

как косинус разности углов

60°  и  45°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

cos 15° = cos (60° – 45°).

Воспользуемся следующей формулой:

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

при  α = 60°, β = 45°, получим

cos 15° = cos (60° – 45°) =

cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°.

Известно, что

Значит,

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

cos (α + β) + cos (α – β).

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса разности, получим:

cos (α + β) + cos (α – β) =

cos α cos β – sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β =

= 2cos α cos β.

Вышеперечисленные формулы справедливы для любых  α, β.

Тангенс суммы двух углов равен дроби, числитель которой есть сумма тангенсов этих углов, а знаменатель есть разность между единицей и произведением тангенсов тех же углов.

Эта формула верна при  α, β, α + β, отличных от

^π/₂ + πk, k ∈ Z.

Пользуясь формулой, выражающей зависимость между тангенсом, синусом и косинусом любого угла, имеем:

На основании формул

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

получим:

Разделив числитель и знаменатель правой части на  cos α соs β, получим:

Итак,

ПРИМЕР:

Найти  tg 75°, зная, что

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Найти

tg (^π/₄ + α),

если

tg α = ³/₄.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся следующей формулой

и учитывая, что

tg ^π/₄ = 1,

получим:

ПРИМЕР:

Доказать тождество:

tg(α + β) – tg α – tg β = tg α tg β tg(α + β).

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим левую часть тождества. Вынесем за скобки

tg(α + β),

воспользовавшись формулой

имеем

tg(α + β) – tg α – tg β =

tg(α + β) – (tg α + tg β) =

tg(α + β) – tg(α + β)(1 – tg α tg β)

= tg(α + β)(1 – 1 + tg α tg β) =

tg(α + β) tg α tg β.

Тангенс разности двух углов равен дроби, числитель которой есть разность тангенсов этих углов, а знаменатель – сумма единицы и произведения тангенсов тех же углов.

Эта формула верна при  α, β, α – β, отличных от

^π/₂ + πk, k ∈ Z.

Пользуясь формулой, выражающей зависимость между тангенсом, синусом и косинусом любого угла, имеем:

На основании формул

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β,

соs (α – β) = соs α cos β + sin α sin β

получим:

Разделив числитель и знаменатель правой части на  cos α соs β, получим:

Итак,

Полученная формула могла быть получена из формулы

заменой в ней угла  β  на  –β.

Так как котангенс есть величина, обратная тангенсу, то формулы для выражения

сtg (α + β),

сtg (α – β)

через  tg α  и  tg β  можно получить из формул

поменяв в каждой из них местами числитель и знаменатель.

Формулы для выражения

сtg (α + β),

сtg (α – β)

через  сtg α  и  сtg β  можно получить воспользовавшись формулами:

Получим следующие формулы:

Котангенс суммы двух углов равен дроби, числитель которой есть разность произведения котангенсов этих углов и единицы, а знаменатель – сумма котангенсов этих углов.

Котангенс разности двух углов равен дроби, числитель которой есть сумма произведения котангенсов этих углов и единицы, а знаменатель – разность котангенсов этих углов.

Задания к уроку 21

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований