Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 27 января 2019 г.

Урок 21. Формулы сложенияи вычитания аргументов тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Формулы позволяют определить по известным тригонометрическим функциям аргументов  α  и  β  значения этих функций для сумм или разностей заданных аргументов.

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.
Пусть к углу  α < 90°  приложен угол  β < 90°, причём  
α + β < 90°.
Из общей вершины  О  этих углов описана единичная окружность. Из точки  F  опустим перпендикуляры

FA OE1  и  FC OC

на стороны углов  α  и  β. Проведём

CD AF  и  CB OE1.

Из чертежа имеем:
Так как  AD = BC, а 

BC = OC sin α  (из треугольника  ОВС) и

OC = OF cos α = 1 ∙ cos β

(из треугольника  ОСF), то

AD = sin α cos β.

Из треугольника  CDF  имеем:

DF = CF соs α,

а из треугольника  OCF  имеем:

CF = OF sin β = 1 ∙ sin β.

На основании этого равенства

CF = OF sin β = 1 ∙ sin β

равенство

DF = CF соs α

примет вид:

DF = соs α sin β.

Заменяя в равенстве

sin (α + β) = AD + DF

AD  и  DF  их значениями

AD = sin α cos β

DF = соs α sin β,

получим:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

ПРИМЕР:

Вычислить:

sin 75°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 75° = sin (30° + 45°).

Воспользуемся следующей формулой:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

при  α = 30°, β = 45°, получим

sin (30° + 45°) =

sin 30° cos 45° + sin 45° cos 30°.

Известно, что
Значит,
ОТВЕТ:
Косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса первого угла на синус второго.
Из чертежа
имеем:
Но 

OB = OC соs α = OFcos α cos β,

так как  OC = OF cos β  (из треугольника  OCF).

Итак,

OB = cos α cos β,

AB = DC = CF sin α,

CF = OF sin β  (из треугольника  OCF),

следовательно,

AB = sin α sin β.

На основании равенств

OB = cos α cos β,

AB = sin α sin β

равенство

cos (α + β) = OB – AB

примет вид:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

ПРИМЕР:

Вычислить:

соs 75°

как косинус суммы углов  30°  и  45°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

соs 75° = соs (30° + 45°).

Воспользуемся следующей формулой:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

при  α = 30°, β = 45°, получим

соs (30° + 45°) =

соs 30° cos 45° – sin 45° sin 30°.

Известно, что
Значит,
что совпадает со значением  соs 75°, взятым из таблиц.

ОТВЕТ:  ≈ 0,2588

ПРИМЕР:

Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся для
следующими формулами:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α,

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

и учитывая, что
Получим:
ОТВЕТ:  tg α

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.
Чтобы вывести формулу синуса разности углов  α  и  β, то есть формулу, выражающую  sin (αβ)  через синус и косинус углов  α  и  β, представим разность  αβ  в виде суммы  α + (–β)  и применим к этой сумме формулу

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Имеем:

sin (αβ) = sin (α + (–β)) =

= sin α cos (–β) + cos α sin (–β).

Но  cos (–β) = cos β  и 

sin (–β) = –sin β,

а потому

sin (αβ) = sin α cos β – cos α sin β.

ПРИМЕР:

Вычислить

sin 15°

как синус разности

45°  и  30°.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что
Тогда по формуле

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α

получаем

sin 15° = sin (45° – 30°) =

sin 45° cos 30° – sin 30° cos 45°,

или
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Вычислить

sin 15°

как синус разности

60°  и  45°.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что
Тогда по формуле

sin(α – β) = sin α cos β – sin β cos α

получаем

sin 15° = sin (60° – 45°) =

sin 60° cos 45° – sin 45° cos 60°,

или
ОТВЕТ:
Косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса первого угла на синус второго.
Чтобы вывести формулу косинуса разности углов  α  и  β, то есть формулу, выражающую  соs (αβ)  через синус и косинус углов  α  и  β, представим разность  αβ  в виде суммы  α + (–β)  и применим к этой сумме формулу

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Имеем:

соs (αβ) = соs (α + (–β)) =

= соs α cos (–β) – sin α sin (–β).

Но  cos (–β) = cos β  и 

sin (–β) = –sin β,

а потому

соs (αβ) = соs α cos β + sin α sin β.

ПРИМЕР:

Вычислить:

cos 15°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

cos 15° = cos (45°30°).

Воспользуемся следующей формулой:

cos (αβ) = cos α cos β + sin α sin β

при  α = 45°, β = 30°, получим

cos 15° = cos (45°30°) =

cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.

Известно, что
Значит,
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Вычислить:

cos 15°

как косинус разности углов

60°  и  45°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

cos 15° = cos (60°45°).

Воспользуемся следующей формулой:

cos (αβ) = cos α cos β + sin α sin β

при  α = 60°, β = 45°, получим

cos 15° = cos (60°45°) =

cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°.

Известно, что
Значит,
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Упростить выражение:

cos (α + β) + cos (αβ).

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса разности, получим:

cos (α + β) + cos (αβ) =

cos α cos β – sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β =

= 2cos α cos β.

Вышеперечисленные формулы справедливы для любых  α, β.

Тангенс суммы двух углов равен дроби, числитель которой есть сумма тангенсов этих углов, а знаменатель есть разность между единицей и произведением тангенсов тех же углов.
Эта формула верна при  α, β, α + β, отличных от

π/2 + πk, k Z.

Пользуясь формулой, выражающей зависимость между тангенсом, синусом и косинусом любого угла, имеем:
На основании формул

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,

cos (α + β) = cos α cos βsin α sin β

получим:
Разделив числитель и знаменатель правой части на  cos α соs β, получим:
Итак,
ПРИМЕР:

Найти  tg 75°, зная, что
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Найти

tg (π/4 + α),

если

tg α = 3/4.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся следующей формулой
и учитывая, что

tg π/4 = 1,

получим:
ПРИМЕР:

Доказать тождество:

tg(α + β) – tg α – tg β = tg α tg β tg(α + β).

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим левую часть тождества. Вынесем за скобки

tg(α + β),

воспользовавшись формулой
имеем

tg(α + β) – tg α – tg β =

tg(α + β) – (tg α + tg β) =

tg(α + β) – tg(α + β)(1 – tg α tg β)

= tg(α + β)(1 – 1 + tg α tg β) =

tg(α + β) tg α tg β.

Тангенс разности двух углов равен дроби, числитель которой есть разность тангенсов этих углов, а знаменатель – сумма единицы и произведения тангенсов тех же углов.
Эта формула верна при  α, β, α – β, отличных от

π/2 + πk, k Z.

Пользуясь формулой, выражающей зависимость между тангенсом, синусом и косинусом любого угла, имеем:
На основании формул

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β,

соs (αβ) = соs α cos β + sin α sin β

получим:
Разделив числитель и знаменатель правой части на  cos α соs β, получим:
Итак,
Полученная формула могла быть получена из формулы
заменой в ней угла  β  на  –β.

Так как котангенс есть величина, обратная тангенсу, то формулы для выражения

сtg (α + β),

сtg (αβ)

через  tg α  и  tg β  можно получить из формул
поменяв в каждой из них местами числитель и знаменатель.
Формулы для выражения

сtg (α + β),

сtg (αβ)

через  сtg α  и  сtg β  можно получить воспользовавшись формулами:
Получим следующие формулы:
Котангенс суммы двух углов равен дроби, числитель которой есть разность произведения котангенсов этих углов и единицы, а знаменатель – сумма котангенсов этих углов.
Котангенс разности двух углов равен дроби, числитель которой есть сумма произведения котангенсов этих углов и единицы, а знаменатель – разность котангенсов этих углов.
Задания к уроку 21

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий