Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 22 февраля 2019 г.

Урок 19. Формулы приведения (1)

ВИДЕО УРОК

Под формулами приведения понимают обычно формулы, сводящие значение тригонометрической функции аргумента вида

πn/2 ± α,  n Z,

к функции аргумента  α.

Формулы, при помощи которых тригонометрические функции произвольного угла можно привести к функциям острого угла, называют формулами приведения.

Выясним, как вычислить значение тригонометрической функции любого угла, если известны значения тригонометрических функций острых углов.

Формулы приведения тригонометрических функций отрицательного угла.

Рассмотрим два угла: угол  α, образованный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности,
и угол  –α, по абсолютной величине равный  α, образованный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ'  единичной окружности.

На чертеже

показан случай, когда угол  α  оканчивается в первой четверти и угол  –α  в четвёртой четверти.

На чертеже
показан случай, когда угол  α  оканчивается во второй четверти а угол –α  в третьей четверти.
На чертеже
имеем угол  α, оканчивающийся в третьей четверти, и угол  –α  во второй четверти.
На чертеже
угол  α  оканчивается в четвёртой четверти, а угол  –α  в первой четверти.

Подвижные радиусы  ОМ  и  ОМ'  любых двух углов, равных друг другу по абсолютной величине и противоположных по знаку, расположены симметрично относительно оси  Ох. Концы этих радиусов как точки, симметричные относительно оси  Ох, имеют равные абсциссы, ординаты же их отличаются только знаками, а это означает, что косинусы любых двух углов, равных друг другу по абсолютной величине и противоположных по знаку, между собой равны, а синусы этих углов равны друг другу по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Таким образом, для любого  α  имеют место формулы:

sin (–α) = –sin α,

соs (–α) = соs α.

Эти формулы имеют место также и при

α = 0°, α = 90°,

α = 180°, α = 270°.

ПРИМЕР:

sin (–90°) = sin 90° = –1,

соs (–90°) = – соs 90° = 0,

соs (–180°) = – соs 180° = –1.

ПРИМЕР:

sin (–60°) = –sin 60° =
ПРИМЕР:

sin (–330°) = –sin 330°.

На чертеже
 
видно, что  sin (–330°) число положительное.

ПРИМЕР:

соs (–120°) = соs 120° число отрицательное.

В результате деления равенства

sin (–α) = –sin α

на равенство

соs (–α) = соs α

получим:

,

или

tg (–α) = tg α.

Точно так же в результате деления равенства

соs (–α) = соs α

на равенство

sin (–α) = –sin α

получим:
или

tg (–α) = tg α.

Точно так же в результате деления равенства

соs (–α) = соs α

на равенство

sin (–α) = –sin α

получим:
или

сtg (–α) = –сtg α.

Далее:
то есть

cosec (–α) = – cosec α.

Точно так же
то есть

sec (–α) = sec α.

Таким образом, имеем следующие формулы приведения тригонометрических функций отрицательного угла:

sin (–α) = –sin α,

cos (–α) = cos α,

tg (–α) = –tg α,

ctg (–α) = –ctg α,

sec (–α) = sec α,

cosec (–α) = –cosec α.

Функции   соs α  и  sec α – чётные,

а  sin α, tg α, сtg α  и  соsec α – нечётные.

Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида  90° + α.

Пусть  α – произвольный угол, а  М(х,у) – точка на единичной окружности такая, что угол, образованный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ, равен  α.

Если точка  М  лежит в первой четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ', образующего с осью  Ох  угол, равный  90° + α, будет во второй четверти.
Если конец  М(х,у)  подвижного радиуса будет находиться во второй четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ'  будет в третьей четверти.
Если конец  М(х,у)  подвижного радиуса  ОМ  расположен в третьей четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ' – в четвёртой четверти.
Наконец, если конец  М(х,у)  подвижного радиуса  ОМ  находится в четвёртой четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ'  будет находиться в первой четверти.
Опустим из точек  М  и  М'  перпендикуляры  МР  и  М'Р'  на ось  Ох.

Прямоугольные треугольники  ОРМ  и  ОР'М'  равны (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства этих треугольников следует, что

у' = х,

х' = –у.

а это означает, что

sin (90° + α) = соs α,

то есть синус угла на  90°  большего, чем данный угол  α, равен косинусу данного угла  α. Из равенства треугольников  ОРМ  и  ОР'М'  следует также, что

соs (90° + α) = –sin α,

то есть косинус угла на  90°  большего, чем данный угол  α, равен синусу данного угла  α, взятому с противоположным знаком.

Соотношения

sin (90° + α) = соs α,

соs (90° + α) = –sin α

остаются в силе и в случаях, когда

α = 0°, 90°, 180°, 270°.

Докажем это.

При  α = 0°  имеем:

sin (90° + 0°) = 1 = соs 0°,

соs (90° + 0°) = 0 = –sin 0°.

При  α = 90°  имеем:

sin (90° + 90°) = 0 = соs 90°,

соs (90° + 90°) = –1 = –sin 90°.

При  α = 180°  имеем:

sin (90° + 180°) = –1 = соs 180°,

соs (90° + 180°) = 0 = –sin 180°.

При  α = 270°  имеем:

sin (90° + 270°) = 0 = соs 270°,

соs (90° + 270°) = 1 = –sin 270°.

Таким образом, соотношения

sin (90° + α) = соs α,

соs (90° + α) = –sin α

остаются в силе и для любых значений угла  α.

На основании формул:
получим:
Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида

90° α, 180° α, 180° + α,

270° α, 270° + α, 360° α.

1. Докажем, что формулы

sin (90° α) = соs α,

соs (90° α) = sin α,

остаются в силе для любого угла  α.

Пусть  α – любой угол.

На основании формулы

sin (α) = sin α

имеем:

sin (90° α) = sin (α – 90°).

Но  sin (α – 90°)  можно заменить через

соs [90° + (α – 90°)]

на основании формулы

соs (90° + α) = sin α

получим:

sin (α – 90°) =

соs [90° + (α – 90°)] = соs α.

Итак, для любого   α  имеем:

sin (α – 90°) = соs α.

Точно так же на основании формулы

соs (–α) = соs α

можно  соs (90° α)  заменить через  соs (α – 90°):

соs (90° α) = соs (α – 90°).

Правую часть этого равенства на основании формулы

sin (90° + α) = соs α

можно представить в виде

sin [90° + (α – 90°)]

или, короче в виде  sin α.

Тогда получим:

соs (90° α) = sin α.

Формулы приведения синуса и косинуса углов вида

180°α, 180° + α,

270°α, 270° + α,

360°α

выводятся с помощью формул

sin (90° + α) = соs α

соs (90° + α) = –sin α

и только что выведенных формул

sin (90° α) = соs α

соs (90° α) = sin α.

Вывод всех этих формул основан на том, что каждый из перечисленных углов можно представить в виде суммы  90°  и некоторого добавочного угла, на  90°  меньшего, чем данный. Применив формулы

sin (90° + α) = соs α

соs (90° + α) = –sin α

к образованной таким образом сумме углов, будем получать формулы приведения углов упомянутого вида.

2. Формулы приведения

sin (180° α)  и  соs (180° α).

Угол  180° α  можно представить как сумму

90° + (90° α).

Тогда имеем:

sin (180° α) = sin [90° + (90°α)].

На основании формулы

sin (90° + α) = соs α

получим:

sin [90° + (90°α)] = соs (90°α).

Но  соs (90° α) = sin α

по формуле

соs (90° α) = sin α

следовательно:

sin (180°α) = sin α.

Точно так же

соs (180° α) = соs [90° + (90°α)].

На основании формулы

соs (90° + α) = –sin α

получим:

соs [90° + (90°α)] = –sin (90°α).

а так как

sin (90°α) = соs α

то

соs (180° α) = соs α.

Подтверждение формул

sin (180°α) = sin α,

соs (180° α) = соs α

можно видеть на чертеже
ПРИМЕР:
3. Формулы приведения:

sin (180° + α)  и  соs (180° + α).

имеем:

sin (180° + α) = sin [90° + (90° + α)].

На основании формулы

sin (90° + α) = соs α

имеем

sin [90° + (90° + α)] = соs (90°α).

Но по формуле

соs (90° + α) = –sin α

следовательно,

sin (180° + α) = sin α.

Точно так же

соs (180° + α) = соs [90° + (90° + α)].

Но по формуле

соs (90° + α) = –sin α

соs [90° + (90° + α)] = sin (90° + α),

а  sin (90° + α) = соs α,

поэтому

соs (180° + α) = –соs α.

ПРИМЕР:
4. Формулы приведения:

sin (270° α)  и  соs (270° α).

имеем:

sin (270° α) =

sin [90° + (180° α)] =

= соs (180° α) = соs α.

или

sin (270° α) = соs α.

соs (270° α) =

соs [90° + (180° α)] =

= sin (180° α) = sin α.

или

соs (270° α) = sin α.
ПРИМЕР:
5. Формулы приведения:

sin (270° + α)  и  соs (270° + α).

имеем:

sin (270° + α) =

sin [90° + (180° + α)] =

= соs (180° + α).

Но  соs (180° + α) = соs α.

поэтому

sin (270° + α) = соs α.

соs (270° + α) =

соs [90° + (180° + α)] =

= sin (180° + α) = –(sin α) = sin α.

Итак

соs (270° + α) = sin α.

ПРИМЕР:
6. Формулы приведения:

sin (360° α)  и  соs (360° α).

имеем:

sin (360° α) =

sin [360° + (α)] =

= sin (α) = sin α.

или

sin (360° α) = sin α.

соs (360° α) =

соs [360° + (α)] =

= соs (α) = соs α.

или

соs (360° α) = соs α.

ПРИМЕР:
7. Теперь, воспользовавшись равенством
и уже выведенными формулами, находим:
Аналогично выводятся формулы:

tg (270°α) = ctg α,

tg (270° + α) = –ctg α,

tg (360°α) = –tg α.

Наконец, имеем:
и аналогично получаются формулы:

сtg (180° + α) = ctg α,

сtg (270°α) = tg α,

сtg (270° + α) = –tg α,

сtg (360°α) = –сtg α,

8. Воспользовавшись формулами
можно получить следующие формулы приведения:
Точно также получаются формулы

sec (270°α) = –cosec α,

sec (270° + α) = cosec α,

sec (360°α) = sec α.

Выведем несколько формул приведения для косеканса:
И далее, аналогично получаются формулы:

cosec (270°α) = –sec α,

cosec (270° + α) = –sec α,

cosec (360°α) = –cosec α.

Мы получили  48  формул приведения, представленные в следующей таблице:
Получение формул приведения с помощью формул сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.

Пользуясь формулами сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций и полагая в них последовательно

β = π/2β = π

β = 3π/2β = 2π,

легко получить следующие формулы приведения:
ПРИМЕР:

Нужно вычислить:

sin(π/2 + α).

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся следующей формулой:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

Имеем

sin(π/2 + α) =

= sin π/2 cos α + sin α cos π/2 =

= 1 cos α + 0 sin α = cos α.
ПРИМЕР:

Нужно вычислить:

sin (πα).

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся следующей формулой:

sin(α – β) = sin α cos β – sin β cos α

Имеем

sin(πα) =

= sin π cos α + sin α cos π =

= 0 cos α – (–1) sin α = sin α.
Задания к уроку 19

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий