Урок 19. Формулы приведения (1)

ВИДЕО УРОК

Под формулами приведения понимают обычно формулы, сводящие значение тригонометрической функции аргумента вида

^πn/₂ ± α,  n ∈ Z,

к функции аргумента  α.

Формулы, при помощи которых тригонометрические функции произвольного угла можно привести к функциям острого угла, называют формулами приведения.

Выясним, как вычислить значение тригонометрической функции любого угла, если известны значения тригонометрических функций острых углов.

Формулы приведения тригонометрических функций отрицательного угла.

Рассмотрим два угла: угол  α, образованный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности,

и угол  –α, по абсолютной величине равный  α, образованный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ'  единичной окружности.

На чертеже

показан случай, когда угол  α  оканчивается в первой четверти и угол  –α  в четвёртой четверти.

На чертеже

показан случай, когда угол  α  оканчивается во второй четверти а угол –α  в третьей четверти.
На чертеже

имеем угол  α, оканчивающийся в третьей четверти, и угол  –α  во второй четверти.
На чертеже

угол  α  оканчивается в четвёртой четверти, а угол  –α  в первой четверти.

Подвижные радиусы  ОМ  и  ОМ'  любых двух углов, равных друг другу по абсолютной величине и противоположных по знаку, расположены симметрично относительно оси  Ох. Концы этих радиусов как точки, симметричные относительно оси  Ох, имеют равные абсциссы, ординаты же их отличаются только знаками, а это означает, что косинусы любых двух углов, равных друг другу по абсолютной величине и противоположных по знаку, между собой равны, а синусы этих углов равны друг другу по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Таким образом, для любого  α  имеют место формулы:

sin (–α) = –sin α,

соs (–α) = соs α.

Эти формулы имеют место также и при

α = 0°, α = 90°,

α = 180°, α = 270°.

ПРИМЕР:

sin (–90°) = –sin 90° = –1,

соs (–90°) = – соs 90° = 0,

соs (–180°) = – соs 180° = –1.

ПРИМЕР:

sin (–60°) = –sin 60° =

ПРИМЕР:

sin (–330°) = –sin 330°.

На чертеже

 видно, что  sin (–330°) – число положительное.

ПРИМЕР:

соs (–120°) = соs 120° – число отрицательное.

В результате деления равенства

sin (–α) = –sin α

на равенство

соs (–α) = соs α

получим:

,

или

tg (–α) = –tg α.

Точно так же в результате деления равенства

соs (–α) = соs α

на равенство

sin (–α) = –sin α

получим:

или

tg (–α) = –tg α.

Точно так же в результате деления равенства

соs (–α) = соs α

на равенство

sin (–α) = –sin α

получим:

или

сtg (–α) = –сtg α.

Далее:

то есть

cosec (–α) = – cosec α.

Точно так же

то есть

sec (–α) = sec α.

Таким образом, имеем следующие формулы приведения тригонометрических функций отрицательного угла:

sin (–α) = –sin α,

cos (–α) = cos α,

tg (–α) = –tg α,

ctg (–α) = –ctg α,

sec (–α) = sec α,

cosec (–α) = –cosec α.

Функции   соs α  и  sec α – чётные,

а  sin α, tg α, сtg α  и  соsec α – нечётные.

Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида  90° + α.

Пусть  α – произвольный угол, а  М(х,у) – точка на единичной окружности такая, что угол, образованный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ, равен  α.

Если точка  М  лежит в первой четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ', образующего с осью  Ох  угол, равный  90° + α, будет во второй четверти.

Если конец  М(х,у)  подвижного радиуса будет находиться во второй четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ'  будет в третьей четверти.

Если конец  М(х,у)  подвижного радиуса  ОМ  расположен в третьей четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ' – в четвёртой четверти.

Наконец, если конец  М(х,у)  подвижного радиуса  ОМ  находится в четвёртой четверти, то конец  М'(х', у')  подвижного радиуса  ОМ'  будет находиться в первой четверти.

Опустим из точек  М  и  М'  перпендикуляры  МР  и  М'Р'  на ось  Ох.

Прямоугольные треугольники  ОРМ  и  ОР'М'  равны (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства этих треугольников следует, что

у' = х,

х' = –у.

а это означает, что

sin (90° + α) = соs α,

то есть синус угла на  90°  большего, чем данный угол  α, равен косинусу данного угла  α. Из равенства треугольников  ОРМ  и  ОР'М'  следует также, что

соs (90° + α) = –sin α,

то есть косинус угла на  90°  большего, чем данный угол  α, равен синусу данного угла  α, взятому с противоположным знаком.

Соотношения

sin (90° + α) = соs α,

соs (90° + α) = –sin α

остаются в силе и в случаях, когда

α = 0°, 90°, 180°, 270°.

Докажем это.

При  α = 0°  имеем:

sin (90° + 0°) = 1 = соs 0°,

соs (90° + 0°) = 0 = –sin 0°.

При  α = 90°  имеем:

sin (90° + 90°) = 0 = соs 90°,

соs (90° + 90°) = –1 = –sin 90°.

При  α = 180°  имеем:

sin (90° + 180°) = –1 = соs 180°,

соs (90° + 180°) = 0 = –sin 180°.

При  α = 270°  имеем:

sin (90° + 270°) = 0 = соs 270°,

соs (90° + 270°) = 1 = –sin 270°.

Таким образом, соотношения

sin (90° + α) = соs α,

соs (90° + α) = –sin α

остаются в силе и для любых значений угла  α.

На основании формул:

получим:

Формулы приведения тригонометрических функций для углов вида

90° – α, 180° – α, 180° + α,

270° – α, 270° + α, 360° – α.

1. Докажем, что формулы

sin (90° – α) = соs α,

соs (90° – α) = sin α,

остаются в силе для любого угла  α.

Пусть  α – любой угол.

На основании формулы

sin (–α) = –sin α

имеем:

sin (90° – α) = –sin (α – 90°).

Но  –sin (α – 90°)  можно заменить через

соs [90° + (α – 90°)]

на основании формулы

соs (90° + α) = –sin α

получим:

–sin (α – 90°) =

соs [90° + (α – 90°)] = соs α.

Итак, для любого   α  имеем:

sin (α – 90°) = соs α.

Точно так же на основании формулы

соs (–α) = соs α

можно  соs (90° – α)  заменить через  соs (α – 90°):

соs (90° – α) = соs (α – 90°).

Правую часть этого равенства на основании формулы

sin (90° + α) = соs α

можно представить в виде

sin [90° + (α – 90°)]

или, короче в виде  sin α.

Тогда получим:

соs (90° – α) = sin α.

Формулы приведения синуса и косинуса углов вида

180° – α, 180° + α,

270° – α, 270° + α,

360° – α

выводятся с помощью формул

sin (90° + α) = соs α

соs (90° + α) = –sin α

и только что выведенных формул

sin (90° – α) = соs α

соs (90° – α) = sin α.

Вывод всех этих формул основан на том, что каждый из перечисленных углов можно представить в виде суммы  90°  и некоторого добавочного угла, на  90°  меньшего, чем данный. Применив формулы

sin (90° + α) = соs α

соs (90° + α) = –sin α

к образованной таким образом сумме углов, будем получать формулы приведения углов упомянутого вида.

2. Формулы приведения

sin (180° – α)  и  соs (180° – α).

Угол  180° – α  можно представить как сумму

90° + (90° – α).

Тогда имеем:

sin (180° – α) = sin [90° + (90° – α)].

На основании формулы

sin (90° + α) = соs α

получим:

sin [90° + (90° – α)] = соs (90° – α).

Но  соs (90° – α) = sin α

по формуле

соs (90° – α) = sin α

следовательно:

sin (180° – α) = sin α.

Точно так же

соs (180° – α) = соs [90° + (90° – α)].

На основании формулы

соs (90° + α) = –sin α

получим:

соs [90° + (90° – α)] = –sin (90° – α).

а так как

sin (90° – α) = соs α

то

соs (180° – α) = –соs α.

Подтверждение формул

sin (180° – α) = sin α,

соs (180° – α) = –соs α

можно видеть на чертеже

ПРИМЕР:

3. Формулы приведения:

sin (180° + α)  и  соs (180° + α).

имеем:

sin (180° + α) = sin [90° + (90° + α)].

На основании формулы

sin (90° + α) = соs α

имеем

sin [90° + (90° + α)] = соs (90° – α).

Но по формуле

соs (90° + α) = –sin α

следовательно,

sin (180° + α) = –sin α.

Точно так же

соs (180° + α) = соs [90° + (90° + α)].

Но по формуле

соs (90° + α) = –sin α

соs [90° + (90° + α)] = –sin (90° + α),

а  sin (90° + α) = соs α,

поэтому

соs (180° + α) = –соs α.

ПРИМЕР:

4. Формулы приведения:

sin (270° – α)  и  соs (270° – α).

имеем:

sin (270° – α) =

sin [90° + (180° – α)] =

= соs (180° – α) = –соs α.

или

sin (270° – α) = –соs α.

соs (270° – α) =

соs [90° + (180° – α)] =

= –sin (180° – α) = –sin α.

или

соs (270° – α) = –sin α.

ПРИМЕР:

5. Формулы приведения:

sin (270° + α)  и  соs (270° + α).

имеем:

sin (270° + α) =

sin [90° + (180° + α)] =

= соs (180° + α).

Но  соs (180° + α) = –соs α.

поэтому

sin (270° + α) = –соs α.

соs (270° + α) =

соs [90° + (180° + α)] =

= –sin (180° + α) = –(–sin α) = sin α.

Итак

соs (270° + α) = sin α.

ПРИМЕР:

6. Формулы приведения:

sin (360° – α)  и  соs (360° – α).

имеем:

sin (360° – α) =

sin [360° + (–α)] =

= sin (–α) = –sin α.

или

sin (360° – α) = –sin α.

соs (360° – α) =

соs [360° + (–α)] =

= соs (–α) = соs α.

или

соs (360° – α) = соs α.

ПРИМЕР:

7. Теперь, воспользовавшись равенством

и уже выведенными формулами, находим:

Аналогично выводятся формулы:

tg (270° – α) = ctg α,

tg (270° + α) = –ctg α,

tg (360° – α) = –tg α.

Наконец, имеем:

и аналогично получаются формулы:

сtg (180° + α) = ctg α,

сtg (270° – α) = tg α,

сtg (270° + α) = –tg α,

сtg (360° – α) = –сtg α,

8. Воспользовавшись формулами

можно получить следующие формулы приведения:

Точно также получаются формулы

sec (270° – α) = –cosec α,

sec (270° + α) = cosec α,

sec (360° – α) = sec α.

Выведем несколько формул приведения для косеканса:

И далее, аналогично получаются формулы:

cosec (270° – α) = –sec α,

cosec (270° + α) = –sec α,

cosec (360° – α) = –cosec α.

Мы получили  48  формул приведения, представленные в следующей таблице:

Получение формул приведения с помощью формул сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.

Пользуясь формулами сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций и полагая в них последовательно

β = ^π/₂,  β = π, 

β = ^3π/₂,  β = 2π,

легко получить следующие формулы приведения:

ПРИМЕР:

Нужно вычислить:

sin(^π/₂ + α).

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся следующей формулой:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

Имеем

sin(^π/₂ + α) =

= sin ^π/₂ cos α + sin α cos ^π/₂ =

= 1 ∙ cos α + 0 ∙ sin α = cos α.

ПРИМЕР:

Нужно вычислить:

sin (π – α).

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся следующей формулой:

sin(α – β) = sin α cos β – sin β cos α

Имеем

sin(π – α) =

= sin π cos α + sin α cos π =

= 0 ∙ cos α – (–1) ∙ sin α = sin α.

Задания к уроку 19

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований