Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 26 августа 2021 г.

Урок 2. Радианное измерение угловых величин

ВИДЕО УРОК

Помимо градусной меры углов существует так называемая радианная мера. Эта мера широко используется в тригонометрии, в математическом анализе и в его приложениях.

Рассмотрим произвольный положительный угол  α. Возьмём на стороне  ОА  этого угла
 произвольную точку  М, не совпадающую с вершиной  О  угла. Пусть 
– путь, который пройдёт точка  М, если произвести указанный поворот  α  от  ОА  к  ОВ.
 Радианной мерой угла  α  называется отношение этого пути к радиусу  ОМ. Радианную меру угла условимся обозначать той же буквой, что и сам угол:
Если  α – отрицательный угол,
то радианной мерой назовём отрицательное число:
Радианная мера угла определяется только углом.

Единицей при радианном измерении углов служит радиан.

Радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна длине радиуса той же окружности.
В основе определения радиана – всё равно окружность. Угол в  1  радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L) равна длине радиуса (R).

Соотношение между радианом и градусом.

На рисунке этот малюсенький угол имеет величину  1 градус:
Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз ?
 Смотрим следующую картинку. Развёрнутый угол размером в  180°.
А теперь нарежем этот полукруг радианами.
 Видим, что в  180°  укладывается  3  с хвостиком радиана. Этот хвостик – 0,1415926 ... .

Действительно, в  180°  укладывается  3,1415926... радиан. Всё время писать 3,1415926... неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

π

Вот теперь можно записать приближённое равенство:

180° ≈ 3,14 радиан

Или точное равенство:

180° = π радиан

Определим, сколько градусов в одном радиане. Если в  3,14  радианах  180°  градусов, то в  1  радиане в  3,14  раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула – это тоже уравнение!) на 3,14:
В одном радиане примерно  60°.

Человек видит "Пи" и считает, что это  180°. Но "Пи" – это число! Число  3,14, а никакие не градусы! Это "Пи" радиан = 180°!

Ещё раз: "Пи" – это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как  5  или  8. Можно, к примеру, сделать примерно "Пи" шагов. Три шага и ещё немножко. Или купить "Пи" килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся...

Перевод градусов в радианы и обратно.

Если угол задан в радианах с числом "Пи", всё очень просто. Мы знаем, что

"Пи" радиан = 180°.

Вот и подставляем вместо "Пи" радиан – 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов.

ПРИМЕР:

Нужно выяснить, сколько градусов в угле "Пи"/2 радиан.
Или:
Обратный перевод чуть сложнее. Если угол дан в градусах, мы должны знать, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов.

ПРИМЕР:

Чему равен  1°  в радианах ?

Смотрим на формулу и видим, что если  180° = "Пи" радиан, то  1°  в  180  раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула – это тоже уравнение!) на  180:
Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах.
ПРИМЕР:
 Или, аналогично:
Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на
число минут – на
число секунд – на
и сложить найденные произведения.

ПРИМЕР:

Выразить в радианах угол, равный  22°30'.

РЕШЕНИЕ:

Искомое число радианов получим, умножив
ПРИМЕР:

Найти радианную меру угла  12°30'  с точностью до четвёртого десятичного знака.

РЕШЕНИЕ:

Умножим  12  на  0,017453 

получим  ≈ 0,2094.

Умножим  30  на  0,000291 

получим  ≈ 0,00873.

12°30' ≈ 0,2094 + 0,00873 ≈ 0,2181 рад.

Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной  мере, надо умножить число радиан на
(относительная погрешность результата составит 0,0004%, что составляет абсолютной погрешности  5''  для полного оборота  360°).

ПРИМЕР:

Выразить в градусах угол, равный  𝜋/12 радианов.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:
ПРИМЕР:

Найти градусную меру угла  1,4 рад  с точностью до  1'.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно найдём

1 рад ≈ 57°17'45'',

0,4 рад ≈ 0,4×57°.296 = 22°.9184,

0°.9184×60 ≈ 55'.104,

0'.104×60 ≈ 6''.

Таким образом

0,4 рад ≈ 22°55'6''.

И тогда:

1 рад ≈ 57°17'45''  +  0,4 рад ≈ 22°55'6''

 = 1,4 рад ≈ 80°12'51''.

После округления этого результата до требуемой точности в  1'  окончательно получим

1,4 рад ≈ 80°13'.

В обозначении меры угла в радианах почти всегда опускают слово <<радиан>>. Таким образом, записи

α = 2, α = 1/2, α = 7/9

надо понимать как

α = 2 радиана,

α = 1/2 радиана,

α = 7/9 радиана.

ПРИМЕР:

Выразить в градусах угол  α, равный  2.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

α ≈ 57°3 ∙ 2 ≈ 114°6.

Широко распространено соглашение, по которому под словом <<угол>> подразумевают не угол как геометрический образ, а число, измеряющее его в радианах или градусах.

ПРИМЕР:

Угол  π/2, угол  36°, угол  1.

 В частности, в выражениях типа  <<угол поворота>> под словом <<угол>>  понимается обычно мера угла.

Таблица соотношений между градусным и радианным выражениями некоторых углов.

Для облегчения вычислительной работы при переходе от градусной меры угла к радианной и обратно пользуются специальными таблицами.

Отметим, что радианная мера одного полного оборота
 равна:
Если углы измерены в градусах, то один полный положительный оборот будет равен  360°. Отсюда вытекают следующие соотношения:

360° = 2π (≈ 6,2832) радианов,

270° = 3𝜋/2 (≈ 4,7124) радианов,

180° = π (≈ 3,1416) радианов,

 90° = 𝜋/2 (≈ 1,5708) радианов,

 60° = 𝜋/3 (≈ 1,0472) радианов,

 45° = 𝜋/4 (≈ 0,7854) радианов,

 30° = 𝜋/6 (≈ 0,5236) радианов.

Как пользоваться таблицами Брадиса ?

В книге В. Брадиса <<Четырёхзначные математические таблицы>> под номером  XVI  помещена таблица, которая озаглавлена <<Радианная мера>>.

Пометка в скобках расшифровывается так: дуга, содержащая  A°, равна
радианов.
 В левом столбце таблицы под буквой  А  даны числа градусов, содержащихся в угле, а в верхней и самой нижней строках – числа минут, кратных  6.
Покажем на примерах как пользоваться этой таблицей.

ПРИМЕР:

Угол  71°24'  перевести в радианы.

РЕШЕНИЕ:

На пересечении строки, начинающейся с  71°, и столбца, помещённого вверху  24', читаем:

1,2462

(число целых указывается в таблице в начале строки и дальше даются только десятичные знаки).
При переводе в радианы угла с любым числом минут, не кратным  6, пользуются соответствующими поправками, которые помещены в последних трёх столбцах под числами минут:

1', 2', 3'.

ПРИМЕР:

Угол  23°20'  перевести в радианы.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:
Данный угол  23°20'  равен  0,4073  радиана.
 ПРИМЕР:

Найти градусное выражение угла, содержащего  1,0862 радиана.

РЕШЕНИЕ:

Имеем из таблицы:
Данный угол равен  62°14'.
Когда то в Древнем Египте мучились следующим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак... Всё получалось немного больше трёх. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя... В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили. Примерно. В  3,1415926... раз.

Это и есть число "Пи". После запятой – бесконечное число цифр без всякого порядка... Такие числа называются иррациональными. Это и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой:

π = 3,14.

Так как длина окружности больше диаметра в "Пи" раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

L = π d

где  L – длина окружности, а  d – её диаметр. 

При радианном измерении углов заметно упрощается ряд формул. Так, для окружности радиуса  r  длина  l  его дуги  α  радиан можно найти по формуле

l = αr,

площадь S  сектора круга радиусом  r, в дуге которого находится  α  радиан, вычислим по формуле
Эти формулы проще, чем аналогичные формулы
и
Для вычисления дуги окружности и площади сектора, дуги которых (величиной  n°) измеряются с помощью градусной меры. Эти особенности радианной меры привели к тому, что в тригонометрии отдают преимущество радианному, а не градусному измерении.

Задания к уроку 2

ДРУГИЕ УРОКИ

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий