Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 22 августа 2021 г.

Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин

ВІДЕО УРОК

Крім градусної міри кутів існує так звана радіанна міра. Цей захід широко використовується в тригонометрії, в математичному аналізі і в його додатках.

Розглянемо довільний позитивний кут  α. Візьмемо на стороні  ОА  цього кута
довільну точку  М, що не збігається з вершиною  О  кута. нехай
– шлях, який пройде точка  М, якщо провести вказаний поворот  α  від  ОА  до  ОВ.
 Радіанної мірою кута  α  називається відношення цього шляху до радіусу  ОМ. Радіан міру кута домовимося позначати тієї ж буквою, що і сам кут:
Якщо α – негативний кут,
то радіанної мірою назвемо негативне число:
Радіанна міра кута визначається тільки кутом.

Одиницею при радіанним виміром кутів служить радіан.

Радіаном називається центральний кут, що спирається на дугу окружності, довжина якої дорівнює довжині радіуса тієї ж кола.
У основі визначення радіану – все одно коло. Кут в  1  радіан, це кут, який вирізує з кола дугу, довжина якої (L) дорівнює довжині радіусу (R).

Співвідношення між радіаном і градусом.

Цей малюсінький кут має величину  1 градус:
Один радіан багато більше одного градуса. А в скільки разів ?
Дивимося наступну картинку. Розгорнутий кут розміром в  180°.
А тепер наріжемо це півколо радіанами.
Бачимо, що в  180°  укладається  3  з хвостиком радіану. Цей хвостик – 0,1415926....

Дійсно, в  180°  укладається  3,1415926... радіан. Увесь час писати 3,1415926... незручно. Тому замість цього нескінченного числа завжди пишуть просто:

π

Ось тепер можна записати наближену рівність:
Або точна рівність:
Визначимо, скільки градусів в одному радіані. Якщо в  3,14  радіанах  180°  градусів, то в  1  радіані в  3,14  рази менше! Тобто, ми ділимо перше рівняння (формула – це теж рівняння!) на 3,14:
У одному радіані приблизно  60°.

Людина бачить "Пі" і вважає, що це  180°. Але "Пі" – це число! Число  3,14, а ніякі не градуси! Це "Пі" радіан = 180° !

Ще раз: "Пі" – це число! 3,14. Ірраціональне, але число. Таке ж, як  5  або  8. Можна, приміром, зробити приблизно "Пі" кроків. Три кроки і ще трішки. Або купити "Пі" кілограмів цукерок. Якщо продавець утворений попадеться...

Переклад градусів в радіани і назад.

Якщо кут заданий в радіанах з числом  "Пі", все дуже просто. Ми знаємо, що

"Пі" радіан = 180°.

Ось і підставляємо замість "Пі" радіан – 180°. Отримуємо кут в градусах. Скорочуємо, що скорочується, і відповідь готова.

ПРИКЛАД:

Треба з'ясувати, скільки градусів у вугіллі "Пі"/2 радіан.
Або:
Зворотний переклад трохи складніший. Якщо кут дан в градусах, ми повинні знати, чому дорівнює один градус в радіанах, і помножити це число на кількість градусів.

ПРИКЛАД:

Чому дорівнює  1°  в радіанах ?

Дивимося на формулу і бачимо, що якщо  180° = "Пі" радіан, то  1°  в  180  разів менше. Або, іншими словами, ділимо рівняння (формула – це теж рівняння!) на  180:
Множимо число градусів на це значення і отримуємо кут в радіанах.
Або, аналогічно:
Щоб знайти міру радіану будь-якого кута по його цій градусній мірі, потрібно помножити число градусів на
число хвилин – на
число секунд – на
і скласти знайдені числа.

ПРИКЛАД:

Висловити в радіанах кут, рівний  22°30'.

ПРИКЛАД:

Знайти міру радіану кута  12°30'  з точністю до четвертого десяткового знаку

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Помножимо  12  на  0,017453  отримаємо ≈ 0,2094.

Помножимо  30  на  0,000291  отримаємо ≈ 0,00873.

12°30' ≈ 0,2094 + 0,00873 ≈ 0,2181 рад.

Щоб знайти градусну міру будь-якого кута по його цій мірі  радіану, потрібно помножити число радіан на
(відносна погрішність результату складе  0,0004%, що складає абсолютній погрішності  5'' для повного оберту  360°).

ПРИКЛАД:

Знайти в градусах кут, рівний  𝜋/12  радіанові.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо:
ПРИКЛАД:

Знайти градусну міру кута  1,4 рад  з точністю до  1'.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Послідовно знайдемо

1 рад ≈ 57°17'45'',

0,4 рад ≈ 0,4×57°.296 = 22°.9184,

0°.9184×60 ≈ 55'.104,

0'.104×60 ≈ 6''.

Таким чином

0,4 рад ≈ 22°55'6''.

І тоді:

1 рад ≈ 57°17'45''  +  0,4 рад ≈ 22°55'6''

 = 1,4 рад ≈ 80°12'51''.

Після округлення цього результату до необхідної точності в  1'  остаточно отримаємо

1,4 рад ≈ 80°13'.

В позначенні заходи кута в радіанах майже завжди опускають слово << радіан >>. Таким чином, записи

α = 2, α = 1/2, α = 7/9

треба розуміти як

α = 2 радіана,

α = 1/2 радіана,

α = 7/9 радіана.

ПРИКЛАД:

Висловити в градусах кут  α, що дорівнює  2.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо:

α ≈ 57°3 ∙ 2 ≈ 114°6.

Широко поширене угоду, за якою під словом << кут >> увазі не кут як геометричний образ, а число, що вимірює його в радіанах або градусах.

ПРИКЛАД:

Кут  π/2, кут  36°, кут  1.

Зокрема, в виразах типу << кут повороту >> під словом << кут >> розуміється зазвичай міра кута.

Таблиця співвідношень між градусними і радіанними виразами деяких кутів.

Для полегшення обчислювальної роботи при переході від градусної міри кута до радіанної і назад користуються спеціальними таблицями.

Відзначимо, що радіанна міра одного повного обороту
дорівнює:
Якщо кути виміряні в градусах, то один повний позитивний оборот буде дорівнює  360°. Звідси випливають такі співвідношення:

360° = 2π (≈ 6,2832) радіанів,

270° = 3𝜋/2 (≈ 4,7124) радіанів,

180° = π (≈ 3,1416) радіанів,

 90° = 𝜋/2 (≈ 1,5708) радіанів,

 60° = 𝜋/3 (≈ 1,0472) радіанів,

 45° = 𝜋/4 (≈ 0,7854) радіанів,

 30° = 𝜋/6 (≈ 0,5236) радіанів.

ТАБЛИЦЯ ГРАДУСІВ І РАДІАН

Як користуватися таблицями Брадіса?

У книзі В. Брадіса << Чотиризначні математичні таблиці >> під номером XVI поміщена таблиця, яка озаглавлена << Радіанна міра >>.

Позначка в дужках розшифровується так: дуга, яка містить  A°, дорівнює
радіанів.
 У лівому стовпчику таблиці під літерою  А  дані числа градусів, що містяться у вугіллі, а у верхній і найнижчій рядках – числа хвилин, кратних  6.
Покажемо на прикладах як користуватися цією таблицею.

ПРИКЛАД:

Кут  71°24'  перевести в радіани.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

На перетині рядка, що починається з  71°, і стовпчика, поміщеного вгорі  24', читаємо:

1,2462

(число цілих вказується в таблиці на початку рядка і далі даються тільки десяткові знаки).
При перекладі в радіани кута з будь-яким числом хвилин, не кратним 6, користуються відповідними поправками, які поміщені в останніх трьох шпальтах під числами хвилин:

1', 2', 3'.

ПРИКЛАД:

Кут  23°20'  перевести в радіани.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо:
Даний кут  23°20'  дорівнює  0,4073  радіана.
ПРИКЛАД:

Знайти градусне вираз кута, що містить  1,0862 радіана.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо з таблиці:
Даний кут дорівнює  62°14'.
Десь в Стародавньому Єгипті мучилися іншим питанням. У скільки разів довжина кола більше довжини її діаметру? І так вимірювали, і отак... Все виходило трохи більше трьох. Поки остаточно не довели, що як би дрібно не нарізувати коло на рівні шматочки, з таких шматочків скласти рівно довжину діаметру не можна... В принципі не можна. Ну, в скільки разів коло більше діаметру встановило. Приблизно. У  3,1415926... раз.

Це і є число "Пі". Після коми – нескінченне число цифр без жодного порядку... Такі числа називаються ірраціональними. Це і означає, що з рівних шматочків кола діаметр рівно не скласти. Ніколи.

Для практичного застосування прийнято запам'ятовувати всього дві цифри після коми:

π  ≈ 3,14.

Оскільки довжина кола більше діаметру в "Пі" разів, має сенс запам'ятати формулу довжини кола:

L = π d

де  L – довжина кола, а  d – її діаметр.

При радіанному вимірюванні кутів помітно спрощується ряд формул. Так, для кола радіуса  r  довжину  l  його дуги  α  радіан можна знайти за формулою

l = αr,

площу  S  сектора круга радіусом  r, дуга якого містить α  радіан, обчислимо за формулою
Ці формули простіші за аналогічні формули
і
Для обчислення дуги кола і площі сектора, дуги яких (величиною  n°) виміряні за допомогою градусної міри. Ці особливості радіанної міри привели до того, що в тригонометрії віддають перевагу радіанної, а не градусній мірі.

Завдання до уроку 2
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий