Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 9 декабря 2021 г.

Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии

ВИДЕО УРОК

Площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Проведём в треугольнике  АВС  высоту  h  на основание  АС, если угол  С – острый,
или на продолжение основания, если угол  С – тупой.
Площадь треугольника  АВС  в обоих случаях выразится так:

S = 1/2 bh.

Из прямоугольного треугольника  АВD
имеем:

h = a sin C.

Из прямоугольного треугольника  АВD
имеем:

h = a sin BCD.

но угол  BCD – смежный по отношению к углу  С  треугольника  АВС, а потому

BCD = 180°С,

Тогда

h = a sin (180°С) = a sin С.

Итак, высота  h  выражается одинаково как и в случае острого, так и в случае тупого угла  С.

Заменяем в формуле

S = 1/2 bh

h  через  a sin С. Получим:

S = 1/2 ba sin С

или

S = 1/2 ab sin С,

что и требовалось доказать. По аналогии

S = 1/2 bс sin А,

S = 1/2 aс sin В.

ЗАДАЧА:

Найти площадь треугольника, если его стороны  20  и  30 см, а угол между ними  79°6'.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

S = 1/2 ab sin С,

S = 1/2 ∙ 20 ∙ 30 sin 79°6'

≈ 350 0,9820 ≈ 344 см2.

Если в формуле

S = 1/2 ab sin С

вместо  b  подставим его значение
(по теореме синусов), то получим:
Подобным же образом находим и два других выражения для площади треугольника в зависимости от сторон его  b  или  с  и углов:
ЗАДАЧА:

Вычислить сторону правильного десятиугольника, вписанного в круг радиуса  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВ – искомая сторона правильного десятиугольника:
Тогда
Из центра круга  О  опустим перпендикуляр  ОС  на сторону  АВ:

ОС АВ,

СОВ = 18°.

Из треугольника  ОСВ  имеем:

СВ = ОВ sin СОВ,

или

СВ = 20 ∙ sin 18° ≈ 20 ∙ 0,3090,

АВ 2 ∙ 20 ∙ 0,3090 12,4 см.

ЗАДАЧА:

Две стороны треугольника равны  23 см  и  30 см, а медиана, проведённая к большей из известных сторон – 10 см. Найдите третью сторону треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в треугольнике  АВС  известно, что 

АС = 23 см, ВС = 30 см,

отрезок  АМ – медиана, АМ = 10 см.
На продолжении отрезка  АМ  за точку  М  отложим отрезок  МD, равный медиане  АМ. Тогда  АD = 20 см.

В четырёхугольнике  АВDС  диагонали  АD  и  ВС  точкой пересечения  М  делятся пополам  (ВС = МС  по условию, АМ = МD  по построению). Следовательно, четырёхугольник  АВDС – параллелограмм.

Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон, то

АD2 + ВС2 = 2(АВ2 + АС2).

Тогда

202 + 302 = 2(АВ2 + 232),

400 + 900 = 2(АВ2 + 529),

АВ2 = 121,

АВ = 11 см.

ОТВЕТ:  11 см

ЗАДАЧА:

Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна к боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно  а.

РЕШЕНИЕ:

В трапеции  АВСD: 

ВС АD, ВС = а,

АВ = СD, АС СD,

ВАС = САD.
САD  и  ВСА  равны как внутренние разносторонние при  ВС АD  и секущей  АС.

Поэтому, ВАС = ВСА. Тогда  АВС – равнобедренный. Откуда 

СD = АВ = ВС = а.

Пусть   САD = α. Тогда

СDА = ВАD = 2α.

З  АСD ( АСD = 90°):

САD + СDА = 90°,

α + 2α = 90°,

α = 30°.

Поэтому, АСD – прямоугольный с острым углом  30°. Тогда

АD = 2СD = 2а.

Отрезок  СМ – высота трапеции.

З  СМD (СМD = 90°):
Площадь трапеции:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна к боковой стороне и образует с основанием трапеции угол  30°. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной вокруг её, равен  R

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (ВС АD) – равнобедренная трапеция,

АС СD, САD = 30°.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана вокруг прямоугольного треугольника  АСD, а потому АD – диаметр этой окружности. АD = 2R. Построим высоту  СК  трапеции. Из прямоугольного треугольника  АСD  получим:
Найдём второе основание трапеции:

ВС = АD – 2КD =

2R – 2 1/2 R = R.

Получим:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  проведена медиана  АМ. Найдите площадь треугольника  АВС, если 

АС = 3√͞͞͞͞͞2,

ВС = 10,

МАС = 45°.

РЕШЕНИЕ:

Из треугольника  АСМ  по теореме косинусов найдём  АМ:

СМ2 = АС2 + АМ22 АС АМ соs 45°.

Подставляем известные значения в данную формулу:
25 = 18 + АМ26 АМ,

АМ26АМ – 7 = 0.

Обозначим  АМ  через  х  и решаем квадратное уравнение:
Второй корень является отрицательным числом и не имеет смысла в рамках решения задачи.

АМ = 7.

Так как  АМ – медиана, то она делит треугольник  АВС  на два равновеликих треугольника:
ОТВЕТ:  21 кв. ед.

ЗАДАЧА:

Стороны параллелограмма равны  5 см  и  2√͞͞͞͞͞2 см, а один из углов равен  45°. Найдите меньшую диагональ параллелограмма.

РЕШЕНИЕ:

По теореме косинусов
= 8 + 25 – 4 5 = 13 (2).
BD = √͞͞͞͞͞13 (cм)
ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞13 ()

ЗАДАЧА:

Дан выпуклый четырехугольник  АВСD  и его диагонали 

АС = d1  и  ВD =  d2.
Причём  COD = α.

Определить площадь четырехугольника.

РЕШЕНИЕ:

Находим, согласно формуле, площади треугольников,
Прибавив эти равенства, получаем:

S = 1/2 sin α (AO×OB + BO×OC + CO×OD + DO×OA)

= 1/2 sin α (AO + OC) (BO + OD) = 1/2 AC×BD sin α

Таким образом, площадь четырехугольника:

S = 1/2 d1d2 sinα.

ОТВЕТ:  S = 1/2 d1d2 sin α

Задания к уроку 17

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий