Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 10 июня 2015 г.

Урок 9. Ділення с остачею

ВИДЕО УРОК
Ви знаєте, що не завжди одне натуральне число можна поділити на інше націло.

ПРИКЛАД:

Якщо двом друзям треба поділити між собою  7 цукерок, то кожен отримає по  3  цукерки і  1  цукерка залишиться в остачі. Коротко записують:

7 : 2 = 3  (ост. 1).

Тут число 

7 – ділене, 2 – дільник, 3 – неповна частка, 1 – остача.

Ділення із залишком – це ділення одного натурального числа на інше, при якому залишок не дорівнює нулю.
Шукане число називається неповною часткою. Різниця між ділимим і добутком дільника на неповну частку називається залишком, він завжди менше дільника.
Ділення із залишком записується так:


ПРИКЛАД:

Читається приклад таким чином:
<<17>>  розділити на  <<3>>  вийде  <<5>>  і залишок  <<2>>.

Порядок рішення прикладів на ділення із залишком.

1.  Знаходимо найбільше число до  <<17>>, яке ділиться на  <<3>>  без залишку. Це  <<15>>.

15 : 3 = 5.

2.  Віднімаємо з ділимого знайдене число з пункту  1.

17 – 15 – 2.


3.  Порівнюємо залишок з дільником.
При діленні із залишком залишок завжди має бути менше дільника. Якщо вийшло, що залишок більше дільника, значить, невірно знайдений найбільше число, яке ділиться на дільника без залишку.

4.  Записуємо відповідь.

17 : 3 = 5  залишок (2)

При рішенні складніших прикладів не завжди можна легко знайти найбільше число, яке ділиться без залишку. Іноді для цього необхідно зробити додаткові розрахунки в стовпчик.

ПРИКЛАД:

Розділити:

190 : 27.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Методом підбору знайдемо на скільки потрібно помножити  <<27>>, щоб отримати найближче число до  <<190>>.
Спробуємо помножити на  <<6>>.
Розрахуємо залишок і порівняємо його з дільником.

190 – 162 = 28,
28 ˃ 27.

Залишок більше дільника. Це означає, що  <<6>>  як множник не підходить. Спробуємо помножити дільника на  <<7>>.
Знову розрахуємо і порівняємо залишок з дільником.

190 – 189 = 1,
1 < 27.

Залишок менше дільника. Означає приклад вирішений вірно.

ВІДПОВІДЬ:

190 : 27 = 7  залишок  (1)

Як перевірити ділення із залишком.
1.  Помножити неповну частку на дільника.
2.  Додати до отриманого результату залишок.
3.  Порівняти отриманий результат з ділимим.

Перевіримо відповідь нашого прикладу:

190 : 27 = 7  залишок  (1)

1.  27 × 7 = 189.
2.  189 + 1 – 190.
3.  190 = 190.

Ділення із залишком виконане вірно.

Якщо при діленні із залишком ділиме менше дільника, то їх неповна частка дорівнює нулю, залишок дорівнює ділимому.

ПРИКЛАД:

6 : 10 = 0  залишок  (6),
14 : 112 = 0  залишок  (14),
31 : 45 = 0  залишок  (31).

Іншими словами, якщо Ви ділите менше число на більшу, неповну частку завжди дорівнюватиме нулю.

 Чи завжди остача менша від дільника ? Так, оскільки коли остача більша за дільник, то ділення можна продовжувати далі.
Чи може остача дорівнювати  0 ? Так, коли ділене ділиться на дільник націло.

ПРИКЛАД:

15 : 5 = 3  (зал. 0).

При діленні націло ділене можна виразити через дільник і частку.

ПРИКЛАД:

15 : 5 = 3, то  15 = 5 × 3.   

Міркуючи аналогічно, можна скласти вираз для знаходження діленого і при діленні з остачею.

ПРИКЛАД:

15 : 6 = 2,  (ост. 3),   то 
15 = 6 × 2 + 3.   

Справді, на  6  націло ділиться число  12, яке менше від діленого 15  якраз на остачу  3. Тому, якщо до добутку дільника  6  і  неповної частки  2  додати остачу  3, то дістанемо ділене  15.

Узагалі, якщо при діленні числа  а  на число  b  отримують неповну частку  q  і остачу  r, тобто

a : b = q  (ост. r), то: 
a = bq + r, де  r < b.

Якщо  a – ділене,  b – дільник і 

a = b × c + r, 
де  r < b, то  c – неповна частка і  r – остача від ділення  а  на  b.

ПРИКЛАД:

Потрібно  17  горіхів розділити порівну між трьома дітьми, то кожній дитині дістанеться по  5  горіхів, а  2  горіхи залишиться. Число  17  на  5  не ділиться. Можна записати, що 

17 = 3 × 5 + 2.

Тут число 

17 – ділене,
3 – дільник,
5 – неповна частка і 
2 – остача.

Остача завжди менша від дільника.

Щоб знайти ділене при діленні з остачею, досить дільник помножити на частку і додати остачу.

В загальному вигляду, якщо при діленні  а  на  b  одержали частку q   і остачу  r, то

a = bq + r.

ПРИКЛАД:

Якщо

30 : 4 = 7 (ост. 2), то
30 = 4 × 7 + 2.

Щоб знайти дільник при діленні з остачею, досить від діленого відняти остачу і різницю поділити на частку, тобто

b = (а – r) : q.

Зміна остачі.

Якщо ділене і дільник збільшити або зменшити в те саме число разів, то частка не зміниться, але остача збіль­шиться (або зменшиться) у те саме число разів.
За допомогою букв це записується так:
Нехай  а – ділене, b – дільник, q – частка, r – остача.
Тоді

a = bq + r  (r < b),
am = (bm)q + rm,
a : m = (b : m)q + (r : m).

Про це не можна забувати при діленні чисел, що закінчуються нулями.

ПРИКЛАД:

Ділення 

84100 : 400 

іноді виконують так:
У дійсності же для чисел  84100  :  400  залишок буде не  1, а  100, бо мі ділили  841  сотню на  4  сотні і одержали  210  і в остачі  1  сотню.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення частки чисел

11 986  і  342.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ділення робитимемо в стовпчик.
Перше неповне ділиме – це  1198, значить, в записі частки будуть дві цифри.
Розділимо  1198  на  342. Методом підбору знайдемо, на скільки потрібно помножити  <<342>>, щоб отримати найближче число до  <<1198>>.
Спробуємо помножити на  <<3>>.

342 ∙ 3 = 1026.
1198 – 1026 = 172.

Отримали залишок  172 < 342. Значить, цифра  3  підходить, її можна записати в частці замість розряду десятків.
Приписуємо до залишку  172  цифру  6  справа, отримуємо число  1726.
Розділимо  1726  на  342. Методом підбору знайдемо, на скільки потрібно помножити  <<342>>, щоб отримати найближче число до  <<1726>>.
Спробуємо помножити на  <<5>>.

342 ∙ 5 = 1710.
1726 – 1710 = 16.

Отримали залишок  16 < 342. Значить, цифра  5  підходить, її можна записати в частці замість розряду одиниць.
Отримали наступний результат.
Значення частки – 35, залишок – 16.
Тепер необхідно перевірити, чи вірно виконано рішення. Якщо дільника помножити на значення частки і додати залишок, то вийде ділимо.

342 ∙ 35 + 16.

Виконаємо множення в стовпчик.
Після цього додамо  16  і отримаємо

342 ∙ 35 + 16 – 11970 + 16 = 11986.

Порівнянний отриманий результат з ділимім. Числа співпадають, значить, ділення було виконане вірно.

ВІДПОВІДЬ:

Значення частки – 35, залишок – 16.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення частки чисел

423 492  і  683.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ділення робитимемо в стовпчик.
Перше неповне діліме – це  4234, значить, в записі частки будуть три цифри.
Розділимо  4234  на  683. Методом підбору знайдемо, на скільки потрібно помножити  <<683>>, щоб отримати найближче число до  <<4234>>.
Спробуємо помножити на  <<7>>.

683 ∙ 7 = 4781.

Але число  4781  більше ніж  4234. Значить, 7  не підходить, а частка буде менше  7.
Перевіримо, чи  підійде  6.

683 ∙ 6 = 4098,
4234 – 4098 = 136.

Отримали залишок

136 < 683.

Значить, цифра  6  підходить, її можна записати в частці замість розряду сотень.
Утворюємо друге неповне діліме  1369.
Розділимо  1369  на  683. Методом підбору знайдемо, на скільки потрібно помножити  <<683>>, щоб отримати найближче число до  <<1369>>.
Спробуємо помножити на  <<2>>.

683 ∙ 2 = 1366.
1369 – 1366 = 3.

Отримали залишок  3 < 683. Значить, цифра  2  підходить, її можна записати в частці замість розряду десятків. Утворюємо наступне неповне діліме  32.
Розділимо  32  на  683. Вийде  0, означає  32 – це і є залишок.
Значення частки – 620, залишок – 32.
Тепер необхідно перевірити, чи вірно виконано рішення. Якщо дільника помножити на значення частки і додати залишок, то вийде ділімо.

683 ∙ 620 + 32.

Виконаємо множення в стовпчик.
Після цього додамо  32  і отримаємо

683 ∙ 620 + 32 = 423 460 + 32 = 423 492.

Порівнянний отриманий результат з ділимим. Числа співпадають, значить, ділення було виконане вірно.

ВІДПОВІДЬ:

Значення частки – 620, залишок – 32.

 Завдання до уроку 9
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий