пятница, 15 августа 2014 г.

Урок 6. Ділення натуральних чисел

ВИДЕО УРОК
Діленням називається дія, за допомогою якої за даним добутком двох співмножників і одним з цих співмножників знаходимо другий співмножник.

ПРИКЛАД:

Поділити  900  на  12  означає знайти таке число  х, при множені якого на  12  одержимо  900.

Взагалі, поділити число  а  на число  b – значить знайти таке число  х, при множенні якого на число  b  одержуємо  а:

x × b  = а

Число, яке ділять, називається діленим; число, на яке ділять , називається дільником; число, яке утворюється в результаті ділення, називається часткою.

ПРИКЛАД

30 : 5 = 6.
30 – ділене,  5 – дільник, а  6 – частка.

Знак ділення  :  (двокрапка) ставиться між діленим і дільником. Порівнявши ділення з множенням, дістанемо такий висновок: при множенні діється два числа, а знаходимо їх добуток; при діленні дається добуток і один із співмножників, а знаходимо другий співмножник. Таким чином, число, яке при множенні є шуканим, при діленні виявляється даним, і навпаки. Тому ділення називають дією, яка обернена множенню. Ділення можливо не завжди.

ПРИКЛАД:

30  не ділиться на  7 – немає такого натурального числа  х, якому   дорівнює  30.

 Якщо ділене дорівнює дільнику, то частка дорівнює одиниці  

9 : 9 = 1.

Якщо дільник дорівнює одиниці, то частка дорівнює діленому  

12 : 1 = 12.

Частка від ділення нуля на будь-яке число, відмінне від нуля, дорівнює нулю

0 : 12 = 0.

Ці властивості за допомогою змінної записуються відповідно так:

а : а = 1;   
а : 1 = а;      
0 : а = 0.

Жодне число не можна ділити на нуль. Адже поділити  6  на  0  означає знайти таке число  х, при якому  0 × х = 6. А при будь-якому значенні  х  добуток  0 × х  дорівнює нулю, а не  6. Таким чином, ділити  6  на  0  не можна. Не можна ділити і  0  на  0. Яке б ми число не взяли, ця рівність буде правильною. Тому не можна знайти певного значення  х. Ділення на нуль  (0)  неможливе. Нуль не може бути дільником.
Числа  0,  2,  4,  6,  8  діляться на  2. Виявляється, що на  2  ділиться і будь – яке багатоцифрове число, у запису якого остання цифра – 0,  2,  4,  6,  або  8. Такі числа називають парними.  

Перша властивість ділення.

Щоб поділити суму на яке-небудь число, досить поділити на це число кожний доданок окремо і знайдені частки додати.

Ця властивість справедлива для будь-яких чисел. За допомогою букв її можна записати так:
ПРИКЛАД:

(8 + 12) : 4 =
8 : 4 + 12 : 4
= 2 + 3 + 5.

Друга властивість ділення.

Щоб поділити різницю на яке-небудь число, досить окремо поділити на це число зменшуване і від’ємник, а потім від першої частки відняти другу.  

(Припускаємо, що і зменшуване і від’ємник діляться на це число без остачі). За допомогою букв цю властивість можна записати так:
ПРИКЛАД:

(18 – 6) : 3 =
18 : 3 – 6 : 3
= 6 – 2 = 4.

Ділення числа на добуток.

Щоб поділити число на добуток, досить поділити це число на перший співмножник, знайдену частку поділити на другий співмножник, знову знайдену частку поділити на третій співмножник і т. д.
ПРИКЛАД:

960  поділити на добуток 
4 × 6 × 8.
960 : 4 = 240; 
240 : 6 = 40; 
40 : 8 = 5.  

Ділення добутку на число.

Щоб поділити добуток на яке-небудь  число, досить поділити на це число один співмножник, залишивши інші без змін.
ПРИКЛАД:

Поділити добуток 

24 × 18 × 10

(що дорівнює  4320)  на  8  можна так:

24 : 8 = 3; 
3 × (18 × 10)
= 3 × 180 = 540.

Однак у прикладі 

(6 × 8) : 16  

треба спочатку обчислити добуток 

(6 × 8).  

Множення числа на частку.

Щоб помножити число на частку, досить помножити це число на ділене і знайдений добуток поділити на дільник.

У загальному вигляді:
Ділення числа на частку.

Щоб поділити число на частку, досить поділити це число на ділене і знайдену частку помножити на дільник.

У загальному вигляді:
Залежність між даними числами і результатами дій з ними.

Щоб знайти невідомий співмножник, досить по­ділити добуток на відомий співмножник (чи на добуток відомих співмножників), тобто якщо

ab = c, то  
a = c : b, 
b = c : a.

Щоб знайти невідоме ділене, досить дільник по­множити на часткуt тобто якщо

а : b = cто  
а = bс.

Щоб знайти невідомий дільник, досить ділене поділити на частку, тобто якщо

а : b = cто  
b = а : с.

Зміна добутку і частки.

Якщо один співмножник збільшити (зменшити) у кілька разів у то й добуток збільшиться (змен­шиться) у стільки ж разів.

У загальному вигляді, якщо

ab = c, то  
(ат)b = ст  і  
(а : т)b = с : т.

ПРИКЛАД:

5 × 6 = 30, тоді
(5 × 4) × 6 = 30 × 4.
4 × 8 = 32, тоді
(4 : 2) × 8 = 30 : 2.

Якщо один співмножник добутку збільшити (зменшити) у кілька разів, а другий зменшити (збільшити) у стільки ж разів, то добуток не зміниться, тобто якщо

аb = с, то  
(а : т)(bт) = с.

ПРИКЛАД:

25 × 10 = 250, тоді
(25 : 5)(10 × 5) = 250.

Якщо ділене збільшити (зменшити) у кілька разів, то й частка збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів, тобто якщо.

а : b = с, то  
(та) : b = тс.
(а : т) : b = с : т.

ПРИКЛАД:

40 : 5 = 8, тоді
(40 × 6) : 8 = 8 × 6;
440 : 11 = 40, тоді
(440 : 4) : 11 = 40 : 4.

Якщо дільник збільшити (зменшити) у кілька разів, то частка зменшиться (збільшиться) у стільки ж разів, тобто якщо

a : b = с, то  
а : (bт) = с : т  і  
а : (b : т) = ст.

ПРИКЛАД:

64 : 8 = 8, тоді
64 : (8 × 2) = 8 : 2;
81 : 9 = 9, тоді
81 : (9 : 3) = 9 × 3.

Якщо ділене і дільник збільшити або зменшити в те саме число разів, то частка не зміниться, тобто якщо

a : b = с, то  
(ат) : (bт) = с  і  
(а : т) : (b : т) = с.

Ця властивість називається основною властивістю частки.

ПРИКЛАД:

32 : 16 =
(32 × 2) : (16 × 2) = 2.
32 : 16 =
(32 : 4) : (16 : 4) = 2. 

Ділення чисел стовпчиком.

ПРИКЛАД:

Поділимо  58296  на  347. Дія починається з старших розрядів, щоб складене з них число було не менше від дільника. Дію прийнято записувати так:
Беремо  582  сотні і ділимо на  347, дістаємо в частці одну сотню, потім віднімаємо добуток  347  на  1  від  582  сотень і знаходимо остачу  235  сотень. Щоб знайти десятки частки, треба роздробити остачу  235  на десятки (це буде  2350)  і додати до них число десятків, що є в діленому, тобто  9, вийде  2359. Коротко говорять, що треба до остачі  <<знести>>  9  десятків. Ділимо  2359  десятків на  347  і знаходимо в частці  6  десятків. Віднімаємо добуток  347  на  6, тобто  2082  десятки від  2359  десятків і знаходимо остачу – 277  десятків. Щоб знайти одиниці частки, зносимо до остачі  6  одиниць діленого і дістаємо  2776, ділимо їх на  347  і в частці дістаємо  8. Отже, 58296 : 347=168.

При діленні натуральних чисел, які закінчуються нулями, на розрядну одиницю  101001000, … (коли кількість нулів розрядної одиниці не перевищує кількість нулів у кінці діленого) треба в кінці діленого відкинути стільки нулів, скільки їх у дільнику.

Порядок дій.

При виконанні кількох дій результат залежить від даних чисел і від порядку виконання дій з ними.
Для попередження непорозумінь вводяться умови, в якому порядку слід виконувати дії у вирази, записаному без дужок.
Додавання і віднімання називають діями першого ступеня, множення і ділення – діями другого ступеня.
Якщо у виразі (без дужок) трапляються дії тільки другого ступеня, то їх виконують у тому порядку, в якому вони написані, зліва направо.

ПРИКЛАД:

40 × 2 : 4 × 5
= 80 : 4 × 5 =
20 × 5 = 100.

Якщо у виразі трапляються дії різних ступенів, то спочатку виконують дії вищих, а потім нижчих ступенів.

Перевірка ділення множенням.

Ділення можна перевірити множенням на тій підставі, що ділене є добуток, а дільник і частка – співмножники. Тому, щоб перевірити ділення, слід помножити дільник на частку. Якщо результат дорівнюватиме діленому, то цілком можливо, що дію виконано правильно (маємо на увазі ділення без остачі).

Перевірка ділення діленням.

Оскільки ділене є добуток дільника на частку, то від ділення діленого на частку повинен вийти дільник. Тому, щоб перевірити ділення, можна ділене поділити на частку.

Порядок виконання дій в виразах.

Додавання і віднімання – дії першого ступеня. У виразах, що містять тільки додавання і віднімання, дії виконують у тому порядку, як вони записані. Множення і ділення – дії другого ступеня. У виразах, що містять тільки множення і ділення, дії виконують у тому порядку, як вони записані. У виразах, що містять дії обох ступенів, першими виконують дії старшого ступеня, тобто множення і ділення. Дужки у виразі змінюють порядок виконання дій. У виразі з дужками спочатку виконують дії у дужках, а потім інші дії у встановленому порядку. Якщо у дужки взято вираз, що містить дії обох ступенів, тоді і в дужках дії виконують за відомим порядком. Не можна довільно опускати дужки або вносити їх у вираз. Обчислюючи значення числового виразу треба дотримуватися порядку виконання дій. Для знаходження значення числового виразу необхідно визначати послідовність дій, тобто скласти алгоритм обчислення.

ПРИКЛАД:

Алгоритм обчислення для знаходження значення виразу

(20 + 63 : 9) × (11 × 3 23)

містить такі кроки:

поділити  63  на  9
додати  20  і результат дії  1
помножити  11  і  3
від результату дії  3  відняти  23
перемножити результати дій  2  і  4.

Алгоритм обчислення можна подати у вигляді схеми. Послідовне виконання кроків алгоритму дасть змогу заповнити порожні клітинки схеми та отримати відповідь у її нижній клітинці.
Часто для зазначення порядку дій необхідно брати у дужки такі вирази, які вже самі містять дужки. Тоді, крім звичайних круглих дужок  (), застосовують дужки квадратні  [ ]  і фігурні  { }. Дії виконують у такому порядку: спочатку – обчислення всередині круглих дужок у зазначеній вище послідовності; потім – всередині всіх квадратних дужок за тими самими правилами; далі – всередині фігурних дужок; потім виконується решта дій.

ПРИКЛАД:

5 + 2[14 – 3(8 – 6)] + 
32 : (10 – 2 × 3).

Виконуємо дії в круглих дужках:

8 – 6 = 2,
10 – 2 × 3 =
10 – 6 = 4.

Дії у квадратних дужках дають

14 – 3 × 2 = 8.

Виконуючи решту дій, знаходимо:

5 + 2 × 8 + 32 : 4
= 5 + 16 + 8 = 29.

СПОСОБИ ШВИДКОГО МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Множення на  5, 25, 125.
Щоб помножити число на  5, 25, 125, досить поділити його відповідно на  2, 4, 8  і результат помножити на  10, 100, 100.
ПРИКЛАД:
2486 × 5 = 12430,
оскільки
2486 : 2 = 1243.
ПРИКЛАД:
8084 × 25 = 202100,
оскільки
8084 : 4 = 2021.
Ділення на  5, 25, 125.
Щоб поділити число на  5, 25, 125, досить помножити його відповідно на  2, 4, 8  і  поділити на  10, 100, 1000.
ПРИКЛАД:
235 : 5 = 47,
оскільки
235 × 2 = 470.
1175 : 25 = 47,
оскільки
1175 × 4 = 4700.
Використання властивостей множення і ділення.
ПРИКЛАД:
93 × 8 × 125 = 
93 × (8 × 125) = 93000,
З6 × 18 : 9 = 
36 × (18 : 9) = 36 × 2 = 72,
26 × 235 : 13 = 
(26 : 13) × 235 = 470.       

Завдання до уроку 6
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий