Урок 7. Степінь числа

среда, 10 июня 2015 г.

Урок 7. Степінь числа

ВИДЕО УРОК

Суму кількох рівних доданків можна знайти за допомогою дії множення.

ПРИКЛАД:

Про таку числову рівність кажуть, що суму рівних доданків згорнули в добуток. І навпаки, якщо читати цю рівність справа наліво, виходить, що добуток 4 × 10 розгорнули в суму рівних доданків. Чи можна згорнуто записати добуток кількох рівних множників, наприклад

4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 ?

Так. Для цього використовують спеціальний вираз

4¹⁰,

який називають степенем.

Вираз 4¹⁰читають так:

<< чотири в десятому степені >> або << десятий степінь числа 4 >>.

У виразі 4¹⁰ число 4 називають основою степеня – вона показує, яке число множили саме на себе. Число 10 називають показником степеня – він показує, скільки рівних множників було в добутку. Отже, добуток рівних множників можна згорнути в степінь:

Дію, за допомогою якої добуток рівних множників згортають у степінь, називають піднесенням до степеня.

Число, яке підносять до степеня, називається основою степеня.

Число, яке показує, до якого степеня підноситься основа – показником степеня.

ПРИКЛАД:

Піднести число 2 до десятого степеня – означає перемножити десять двійок:

2¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Отже,

2¹⁰ = 1024.

Тут 2 – основа степеня,

10 – показник степеня,

а 1024, або 2¹⁰ – десятий степінь числа 2.

Це – п'ята арифметична дія. Піднести число а до степеня n означає добуток n множників, кожен з яких дорівнює а.

aⁿ= a × a ×… × a.

Значення степеня може зміниться, якщо поміняти місцями основу степеня та його показник. Якщо основа степеня дорівнює 1, то значення степеня при будь – якому натуральному п дорівнює 1:

1ⁿ = 1.

Якщо показник степеня дорівнює 1, то значення степеня при будь – якому натуральному а дорівнює а:

a¹= a.

ПРИКЛАД:

3 × 3 = 3²

– другий степінь (або квадрат) числа 3;

х × х × х = х³

– третій степінь (або куб) змінної х;

с × с × с × с × с × с = с⁶

– шостий степінь змінної с.

Чи існує степінь, значення якого не зміниться, якщо його основу і показник поміняти місцями ? Так.

ПРИКЛАД:

3³, 25²⁵, 428⁴²⁸.

Особливими вважають другий і третій степені числа. Для них навіть придумали власні назви: другий степінь називають квадратом числа, а третій степінь – кубом його числа. Степінь a²читають так:
<< а в квадраті >>,
а степінь a³–
<< а в кубі >>.

Степені a² і a³ називають квадратом і кубом тому, що для знаходження площі квадрата довжину його сторони підносять до другого степеня, а для знаходження об’єму куба довжину його ребра підносять до третього степеня.

Не плутайте слова << степінь >> і << ступінь >>. Додавання і віднімання вважаються діями першого ступеня, множення і ділення – другого ступеня; піднесення до степеня – дія третього ступеня.

Нова арифметична дія – піднесення до степеня – вносить зміни до порядку виконання дій. Це дія третього ступеня, тому її виконують найпершою.

У виразах, що містять степені, спочатку виконують піднесення до степеня, а потім множення і ділення, додавання і віднімання.

ПРИКЛАД:

2 × 5² – 3 × 3.

5² = 25, 2 × 25 = 50,

3 × 3 = 9, 50 – 9 = 41.

Дії одного й того самого ступеня виконуються в тому порядку, в якому вони записані. Якщо вираз містить дужки, спочатку знаходять значення виразу в дужках.

Піднесення до квадрата чисел, що мають цифру 5.

Щоб піднести до квадрата двозначне число, яке закінчується цифрою 5, досить число його десятків помножити на число, збільшене на одиницю, і до добутку справа, дописати 25.

ПРИКЛАД:

Обчислити 35².

РОЗВ'ЯЗАННЯ

(виконується усно).

3 × 4 = 12,

дописавши 25, одержимо результат:

35² = 1225.

Щоб піднести до квадрата двозначне число, що має 5 десятків, досить до 25 додати цифру одиниць і до результату дописати справа квадрат числа одиниць так, щоб у результаті вийшло чотиризначне число.

Ці правила виходять з тотожностей

(10а + 5)² = 100а(а + 1) + 25,

(50 + b)² = 100(25 + b) + b².

ПРИКЛАД:

Обчислити 54², 52².

РОЗВ'ЯЗАННЯ

(виконується усно).

До 25 додаємо 4, одержуємо 29. Дописуємо 16. Одержуємо:

54² = 2916,

52² = 2704.

Завдання до уроку 7

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 10 июня 2015 г.