Урок 12. Вписана і описана призма

ВІДЕОУРОК

Призма, вписана у циліндр.

Призму називають вписаною у циліндр, якщо її основи вписані в основи циліндра, а бічні ребра є твірними циліндра.

При цьому циліндр називають описаним навколо призми. Зрозуміло, що оскільки твірні циліндра перпендикулярні до площини основи, то призма, вписана у циліндр, є прямою.

З означення призми, вписаної у циліндр, випливають її властивості:

– циліндр можна описати навколо прямої призми, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло; при цьому радіус циліндра  R  дорівнює радіусу цього коло;
– висота  Н  призми, яка сполучає центрі кіл, описаних навколо основ, належить осі циліндра.

Формули обчислення радіуса  R  описаного кола

де a, b, с  – сторони, h – висота, d – діагональ.

ПРИКЛАД:

Чи можна описати циліндр навколо прямої призми, в основи якої лежить трикутник ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так, оскільки навколо будь-якого трикутника можна описати коло.

ПРИКЛАД:

Чи можна описати циліндр навколо прямої призми, в основи якої лежить ромб, який не є квадратом ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ні, оскільки навколо ромба, який не є квадратом, на можна описати коло.

Призма описана навколо циліндра.

Дотичною площиною до циліндра називають площину, що проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, який містить твірну циліндра.

Призму називають описаною навколо циліндра, якщо її основи описані навколо основ циліндра, а бічні грані належать площинам, дотичним до циліндра.

При цьому циліндр називають вписаним у призму, оскільки твірні  циліндра перпендикулярні до площини основ, то бічні грани призми, які містять твірні, також перпендикулярні до площин основ, тобто призма, описана навколо циліндр, є прямою.

З означення призми, описаної навколо циліндр, маємо її властивості:

– циліндр можна вписати в пряму призму, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло; при цьому радіус циліндра  r  дорівнює радіусу цього коло;

– висота  Н  призми, яка сполучає центрі кіл, вписаних в основи, належить осі циліндра.

Формули обчислення радіуса  r  описаного кола.

де h – висота, S – площа, р – напівпериметр, a – сторонa.

ЗАДАЧА:

Навколо циліндра, висота якого дорівнює  5 см, описано чотирикутну призму, три сторони якої в порядку слідування дорівнюють  

3 см, 4 см  і  7 см. 

Знайти площу бічної поверхні призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо невідому сторону чотирикутника основи  х. Оскільки цей чотирикутник описано навколо кола, то  

3 + 7 = 4 + х, 

звідси  х = 6 см.

Площа бічної поверхні призми

S_бічн = P × l

де,  Р – периметр основи, l – бічне ребро, яке дорівнює висоті циліндра.

Маємо:

Р = 3 + 7 + 4 + 6 = 20 (см).

S_бічн = 20 × 5 = 100 (см²).

ЗАДАЧА:

У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З умови завдання маємо:

У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Радіус основи циліндра дорівнює висоті призми  АО = АА₁.

Бічні грані призми – квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного у коло, дорівнює радіусу. Рёбра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грани і віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю і бічним ребром. А цей кут дорівнює  45°, оскільки грани – квадрати.

ЗАДАЧА:

Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи якого дорівнює  0,5. Площа бічної поверхні призми дорівнює  8. Знайдіть висоту циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як чотирикутна призма правильна, то в основі лежить квадрат.

Радіус кола, вписаного в квадрат, дорівнює  0,5. Отже, сторона квадрата дорівнює діаметру кола, тобто

2 ∙ 0,5 = 1.

Оскільки всі бічні грані призми рівні, то площа однієї грані дорівнює

8 : 4 = 2.

Кожна грань є прямокутником, отже, її площа дорівнює добутку бічного ребра призми на бік основи (квадрату). Отже, бічне ребро призми одно:

2 : 1 = 2.

Висота циліндра дорівнює боковому ребру призми, отже, вона дорівнює  2.

ЗАДАЧА:

У циліндр вписано правильний паралелепіпед. Знайдіть площу повної поверхні цього паралелепіпеда, якщо радіус циліндра  10 см, а висота  20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  О  і  О₁ – центри основ даного циліндра,

ОО₁ – відрізок осі циліндра, є висотою. Оскільки паралелепіпед вписаний у циліндр, то його основи – паралелограми. АВСD  і А₁В₁С₁D₁, вписані в основи циліндра, отже, вони є прямокутниками або квадратами, причому точки  О  і  О₁ – центри цих чотирикутників – точки перетину діагоналей. Тоді

АА₁ ∥ ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁ ∥ ОО₁.

ОО₁ ⊥ (АВС), ОО₁ ⊥ (А₁В₁С₁),

отже, паралелепіпед є прямокутним. Діагоналі чотирикутників є діаметрами циліндра, бічні ребра – твірні циліндра,

АА₁ = ОО₁ = 20 см.

Оскільки паралелепіпед правильний, то  АВСD – квадрат,

АО = ВО = СO = DО = R = 10 см,

тоді  АВ = 10√͞͞͞͞͞2 см.

S_п = S_б + 2S_осн  = P∙ H + 2S_ABCD =

= 4 ∙ 10√͞͞͞͞͞2  ∙ 20 + 2(10√͞͞͞͞͞2)² =

= 800√͞͞͞͞͞2 + 400 = 400(2√͞͞͞͞͞2  + 1) (см²).

ОТВЕТ:  400(2√͞͞͞͞͞2  + 1) см²

ЗАДАЧА:

Навколо циліндра описано правильну чотирикутну призму, площа бічної поверхні якої дорівнює  Q. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо правильна чотирикутна призма описана навколо циліндра, то кола основи циліндра, вписані в основи призми, – квадрати, центри основ циліндра – точки перетину діагоналей квадратів, бічне ребро призми дорівнює твірній циліндра і є висотою призми і циліндра. Позначимо сторону квадрата  а, радіус циліндра  r, висоту призми і циліндра  Н.

За умовою

S_б.пр. = Q,

S_б.пр. = P∙ H = 4a ∙ H = Q,

S_б.ц. = 2πrH, а = 2r.

Маємо:

4a ∙ H = Q, 4∙ 2rH = Q, 2rН = ^Q/₄,

тоді 

S_б.ц. = π ∙ 2RH = π∙ ^Q/₄ 

ВІДПОВІДЬ: π∙ ^Q/₄

Розв'язання задач із застосуванням тригонометрії.

ЗАДАЧА:

У циліндр вписана трикутна призма, основою якої є прямокутний трикутник з катетом  а  і гострим кутом, що прилягає до нього. Діагональ грані призми, в якій знаходиться ця сторона трикутника, нахилена до поверхні під кутом  β. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай на малюнку зображено даний циліндр,

О  і  О₁ – центри основ, ОО₁ – відрізок осі циліндра, є висотою. У даний циліндр вписана трикутна призма (пряма)

АВСА₁В₁С₁, ∠ С = ∠ С₁ = 90°.

Тоді  ∆ АВС  і  ∆ А₁В₁С₁  вписані в кола основ циліндра, О  і  О₁ – середини гіпотенуз  АВ  і  А₁В₁, бічні ребра призми є твірними циліндра,

∠ ВАС = α, АС = а,

АА₁ ∥ ВВ₁ ∥ СС₁ ∥ DD₁,

АА₁ ⊥ (АВС), А₁С – похила, АС – проекція,

тому ∠ АСА₁ = β – кут між  А₁С  і  (АВС).

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 12

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл