Урок 10. Усечённая пирамида

ВИДЕОУРОК

Усечённой пирамидой  ABCDA₁B₁C₁D₁  называется часть пирамиды  SABCD, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями усечённой пирамиды называются параллельные грани  ABCD  и  A₁B₁C₁D₁  (ABCD – нижнее основание, A₁B₁C₁D₁ – верхнее основание).

Высотой усечённой пирамиды называется отрезок прямой, перпендикулярный её основаниям и заключённый между их плоскостями.

Усечённая пирамида называется правильной, если её основания – правильные многоугольники и прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемою правильной усечённой пирамиды называют высоту её боковой грани.

Свойства  усечённой пирамиды.

Основания – подобные многоугольники.

Боковые грани – трапеции.

Отношение высоты к высоте пирамиды, из которой она получена, равно отношению разности сторон одной грани к длине нижнего основания этой самой грани.

Поверхность усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Полная поверхность усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

где  Р  и  Р₁ –  периметры оснований, m – апофема усечённой пирамиды.

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида.

Правильная треугольная усечённая пирамида.

Правильная шестиугольная усечённая пирамида.

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны  5  и  11 дм, а диагональ пирамиды – 12 дм. Определите боковую поверхность пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

В усечённой пирамиде  АС₁  имеем  
А₁В₁ = В₁С₁ = С₁D₁ = D₁А₁ = 5 дм,  
АВ = ВС = СD = DА = 11 дм  и  
А₁С = 12 дм. 
Найти  боковую поверхность.

Из вершины  А₁  проведём  А₁N ⊥ AB  и  А₁M ⊥ AC, тогда  А₁N – апофема пирамиды.

Боковая поверхность

S_бок = ¹/₂ (P + P₁) × A₁N.

где  P = 4AB = 44 дм, а 

P₁ = 4A₁B₁ = 20 дм.
В квадратах  АВСD  и  А₁В₁С₁D₁  по иіх сторонам определяем диагонали

АС = 11√͞͞͞͞͞2  (дм),  
A₁С₁ = 5√͞͞͞͞͞5  (дм).

Рассмотрев равнобедренную трапецию  АА₁С₁С, находим

и  соответственно

Тогда из прямоугольного  ∆ А₁MC  находим высоту пирамиды

Из равнобедренного прямоугольного  ∆ AMN (∠ ANM = 90°), гипотенуза которого  AM = 3√͞͞͞͞͞2  (дм), находим сторону

Апофему данной пирамиды найдём из прямоугольного

Подставляя найденные значения  P, P₁  и  A₁N  в формулу боковой поверхности пирамиды, получим:

S_бок = ¹/₂ (44 + 20)×5 = 160 (дм²).

ОТВЕТ:

S = 160 дм² = 1,6 м². 

ЗАДАЧА:

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна  4 см. Стороны оснований равны  2 см  и  8 см. Найдите площадь диагональных сечений.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Диагональные сечения  AA₁C₁D  и  BB₁D₁D– равные равнобедренные трапеции с высотой  ОО₁ = h = 4 см  и с основаниями – диагоналями оснований  АС  и  А₁С₁  та  ВD  и  В₁D₁  соответственно. ABCD – квадрат, а поэтому

AC² = AD² + CD² =

= 8² + 8² = 128,

AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 (cм).

A₁B₁C₁D₁ – квадрат, а поэтому

A₁C₁² = A₁D₁² + C₁D₁² = 2² + 2² = 8,

A₁C₁ = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).

ОТВЕТ:  20√͞͞͞͞͞2 (cм²)

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна  2 см, а стороны оснований – 3 см  и  5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Диагональным сечением данной пирамиды является равнобедренная трапеция  АА₁С₁С.

Так как  А₁С₁  и  АС – диагонали квадратов, А₁В₁С₁D₁  и  ABCD, то 

А₁С₁ = А₁В₁ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см)  и  

АС = АВ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).

Проведём  А₁К ⊥ АС  и  С₁Н ⊥ АС. Тогда  А₁С₁НК – прямоугольник и  А₁С₁ = КН. Так что, прямоугольные треугольники  АА₁К  и  СС₁Н  равны по гипотенузе и катету.

Тогда,

АК = СН = ¹/₂ (АС – А₁С₁) =

^= 1/₂ (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞2  (см).

Тогда,

СК = АС – АК = 5√͞͞͞͞͞2 – √͞͞͞͞͞2 = 4√͞͞͞͞͞2  (см),

и по теореме Пифагора в  ∆ А₁СК:

ОТВЕТ:  6 см

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде плоскость, проведённая параллельно основанию, делит высоту пирамиды пополам. Найдите сторону основания, если площадь сечения равна  36 см².

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – данная правильная пирамида,

основание – квадрат  ABCD, SO – высота, O – точка пресечения диагоналей квадрата, φ – плоскость сечения, О₁ – точка пересечения  φ  и  SO, φ ∥ (ABC), S = 36 cм².

Поскольку  φ ∥ (ABC), то прямые пересечения  𝜑  и боковых граней параллельны соответственно рёбрам основания:

A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁D₁ ∥ CD,

A₁D₁ ∥ AD, 𝜑 ⊥ SO,

можно рассмотреть гомотетию с центром  S  и коэффициентом 

которая преобразует квадрат  ABCD  в квадрат  А₁В₁С₁D₁, стороны которого в два раза меньше, а

S_ABCD = 4S_А1В1С1D1 = 4 ∙ 36 (см²).

S_ABCD = a² = 4 ∙ 36,

a = 2 ∙ 6 = 12 (см).

ОТВЕТ:  12 см

Задания к уроку 10

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел