Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 30 марта 2018 г.

Урок 10. Усечённая пирамида

ВИДЕОУРОК

Усечённой пирамидой  ABCDA1B1C1D1  называется часть пирамиды  SABCD, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Основаниями усечённой пирамиды называются параллельные грани  ABCD  и  A1B1C1D1  (ABCD – нижнее основание, A1B1C1D1 – верхнее основание).

Высотой усечённой пирамиды называется отрезок прямой, перпендикулярный её основаниям и заключённый между их плоскостями.

Усечённая пирамида называется правильной, если её основания – правильные многоугольники и прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемою правильной усечённой пирамиды называют высоту её боковой грани.

Свойства  усечённой пирамиды.

Основания – подобные многоугольники.

Боковые грани – трапеции.

Отношение высоты к высоте пирамиды, из которой она получена, равно отношению разности сторон одной грани к длине нижнего основания этой самой грани.

Поверхность усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Полная поверхность усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.

Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
где  Р  и  Р1 –  периметры оснований, m – апофема усечённой пирамиды.

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида.
Правильная треугольная усечённая пирамида.
Правильная шестиугольная усечённая пирамида.
ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны  5  и  11 дм, а диагональ пирамиды – 12 дм. Определите боковую поверхность пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

В усечённой пирамиде  АС1  имеем  
А1В1 = В1С1 = С1D1 = D1А1 = 5 дм,  
АВ = ВС = СD = DА = 11 дм  и  
А1С = 12 дм. 
Найти  боковую поверхность.

Из вершины  А1  проведём  А1 AB  и  А1 AC, тогда  А1N – апофема пирамиды.
Боковая поверхность

Sбок = 1/2 (P + P1) × A1N.
где  P = 4AB = 44 дм, а 
P1 = 4A1B1 = 20 дм.
В квадратах  АВСD  и  А1В1С1D1  по иіх сторонам определяем диагонали
АС = 11√͞͞͞͞͞2  (дм),  
A1С1 = 5√͞͞͞͞͞5  (дм).
Рассмотрев равнобедренную трапецию  АА1С1Снаходим
и  соответственно
Тогда из прямоугольного  ∆ А1MC  находим высоту пирамиды
Из равнобедренного прямоугольного  ∆ AMN (∠ ANM = 90°), гипотенуза которого  AM = 3√͞͞͞͞͞2  (дм), находим сторону
Апофему данной пирамиды найдём из прямоугольного
Подставляя найденные значения  PP1  и  A1N  в формулу боковой поверхности пирамиды, получим:

Sбок = 1/2 (44 + 20)×5 = 160 (дм2).

ОТВЕТ:

S = 160 дм2 = 1,6 м2. 

ЗАДАЧА:

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна  4 см. Стороны оснований равны  2 см  и  8 см. Найдите площадь диагональных сечений.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Диагональные сечения  AA1C1D  и  BB1D1D– равные равнобедренные трапеции с высотой  ОО1 = h = 4 см  и с основаниями – диагоналями оснований  АС  и  А1С1  та  ВD  и  В1D1  соответственно. ABCD – квадрат, а поэтому

AC2 = AD2 + CD2 =

82 + 82 = 128,

AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 ().

A1B1C1D1 – квадрат, а поэтому

A1C12 = A1D12 + C1D12 = 22 + 22 = 8,

A1C1 = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).
ОТВЕТ:  20√͞͞͞͞͞2 (2)

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна  2 см, а стороны оснований – 3 см  и  5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Диагональным сечением данной пирамиды является равнобедренная трапеция  АА1С1С.

Так как  А1С1  и  АС – диагонали квадратов, А1В1С1D1  и  ABCD, то 

А1С1 = А1В1 √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см)  и  

АС = АВ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).

Проведём  А1К АС  и  С1Н АС. Тогда  А1С1НК – прямоугольник и  А1С1 = КН. Так что, прямоугольные треугольники  АА1К  и  СС1Н  равны по гипотенузе и катету.

Тогда,

АК = СН = 1/2 (АС – А1С1) =

1/2 (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞(см).

Тогда,

СК = АС – АК = 5√͞͞͞͞͞2√͞͞͞͞͞2 = 4√͞͞͞͞͞(см),

и по теореме Пифагора в  ∆ А1СК:
ОТВЕТ:  6 см

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде плоскость, проведённая параллельно основанию, делит высоту пирамиды пополам. Найдите сторону основания, если площадь сечения равна  36 см2.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – данная правильная пирамида,
основание – квадрат  ABCD, SO – высота, O – точка пресечения диагоналей квадрата, φ – плоскость сечения, О1 – точка пересечения  φ  и  SO, φ (ABC), S = 36 2.

Поскольку  φ (ABC), то прямые пересечения  𝜑  и боковых граней параллельны соответственно рёбрам основания:

A1B1 AB, B1C1 BC, C1D1 CD,

A1D1 AD, 𝜑 SO,

можно рассмотреть гомотетию с центром  S  и коэффициентом 

которая преобразует квадрат  ABCD  в квадрат  А1В1С1D1, стороны которого в два раза меньше, а

SABCD = 4SА1В1С1D1 = 4 36 (см2).

SABCD = a2 = 4 36,

a = 2 6 = 12 (см).

ОТВЕТ:  12 см

Задания к уроку 10
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий