Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 8 марта 2018 г.

Урок 4. Правильная призма

ВИДЕОУРОК

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Свойства правильной призмы.

– боковые ребра перпендикулярны к основанию;
– все боковые грани – равные прямоугольники;
– боковое ребро является высотою призмы.

Поверхность правильной призмы.

Боковою поверхностью правильной призмы называется сумма площадей всех её боковых граней.

Полной поверхностью правильной призмы называется сумма площадей её боковой поверхности и оснований.

Боковая поверхность правильной призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Правильная треугольная призма.
Правильная шестиугольная призма.
ЗАДАЧА:

Найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания равна  8 см, а высота – 9 см.
РЕШЕНИЕ:

Sб = Pосн× H,
Pосн = 6a = 6 × 8 = 48 (см),
H = BB1 = 9 см.
Sб = 48×9 = 432 (см2).

ОТВЕТ:  432 см2.

ЗАДАЧА:

Каждое ребро правильной треугольной призмы равно  а. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь этого сечения и вычислить её при  а = 7,6 см.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная призма, все ребра которой  

АА1 = АВ = ВС = СА = а.
Через ребро основания  ВС  и середину  D  оси  ОО1 проводим плоскость, которая пересекает основание  А1В1С1  по прямой, параллельной  В1С1. Точки пересечения этой прямой с ребрами  А1В1  и  А1С1  соответственно обозначим через  М  и  N. Соединив точки  М  и  В, N  и  С, получим сечение  ВМNС. Поскольку  МN ВС, то  ВМNС – трапеция и её высотою будет отрезок  

PQ (LP BC, поэтому, и  QP BC)

Тогда площадь сечения  ВMNС
По условию задачи  

ВС = а, 
∆ DОP = ∆ DO1
(OD = 1
РDО = ∠ QDО1  

и эти треугольники прямоугольные)
Тогда
(как радиус вписанной окружности в  ∆ АВС). Из прямоугольника  LQО1О  получим
Поскольку  QL = AA1 = a, то из прямоугольного  ∆ QLP  находим
Из подобности  

∆ A1MN  и  
∆ A1B1C1 (MN B1C1)  

получаем
Подставляя найденные значения  BC, PQ  и  MN  в формулу площади сечения, найдем
при  a = 7,6 см  S 44,46 см2.

ОТВЕТ:  S 44,46 см2

ЗАДАЧА:

В правильной треугольной призме  АВСА1В1С1  сторона основания равна  8 см, а боковое ребро – 2 см. Через сторону  АС  нижнего основания и середину стороны  А1В1  верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

РЕШЕНИЕ:

АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма,
АВ = 8 см, АА1 = 2 см.

Если  М – середина  А1В1, то  А1М = 4 см. Сечение  АМNС  проходит через сторону  АС  и точку  М – середину  А1В1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку  МN А1С1. Тогда  МN – средняя линия треугольника  А1В1С1. АМNС – трапеция.

МN = 1/2 А1С1 = 4 (см).

В трапеции  АМNС  проведем высоты  МК  и  NF, тогда  KF = 4 см.
Из  AA1M (A1 = 90°),
Из  AKM (K = 90°),

ОТВЕТ:  24 см2

ЗАДАЧА:

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна  15 см, а диагональ боковой грани – 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСDА1В1С1D1 – заданная правильная призма,
АС1 = 15 см, DС1 = 12 см.

Поскольку  АD (DCС1), то  АD DC1.

Из  DD1C (D1 = 90°),
Поэтому,

Sб.п. = 4 AD DD1 =

= 4 9 3√͞͞͞͞͞7  = 108√͞͞͞͞͞7 (см2).

ОТВЕТ:  108√͞͞͞͞͞7 (см2)

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной призме  АВСDА1В1С1D1  сторона основания равна  8√͞͞͞͞͞2 см, а боковое ребро – 3 см. Через диагональ  ВD  нижнего основания и середину стороны  В1С1  верхней проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСDА1В1С1D1 – правильная четырёхугольная призма,
АВСD – квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС1 = 3 см. Сечение проходит через диагональ  BD  и точку  М – середину  В1С1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку  МN BD. Тогда  МN B1D1  и  MN – средняя линия треугольника  В1С1D1.

MN = 1/2 B1D1 = 1/2 BD.

Из  BAD (A = 90°)

BD = AD√͞͞͞͞͞2 = 16 (см). Тоді

MN = 16 : 2 = 8 (см).

Пусть  F1 – точка пересечения  A1C1  и  MN. Проведем  

F1F AC, F1F = C1C = 3 см. 

Точка  F –  середина  ОС.

OF = 1/2 OC = 1/2 AC = 16 : 4 = 4 (см).

Из  OFF1 (F = 90°):
В равносторонней трапеции  ВМND  отрезок  F1O, соединяющий середины оснований, является высотой трапеции. Поэтому
ОТВЕТ:  60 см2

ЗАДАЧА:

Боковое ребро правильной призмы  АВСDА1В1С1D1  равно  √͞͞͞͞͞161 см, а диагональ призмы – 17 см. Найдите площадь четырехугольника  АВ1С1D.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСDА1В1С1D1 – задана правильная призма,
АС1 = 17 см, СС1 = √͞͞͞͞͞161 см.

Поскольку  АD (DCС1), то  А1В1С1D – прямоугольник.

Из  ∆ АС1С (С = 90°):
Искомая площадь:
ОТВЕТ:  120 см2

Решение стереометрических задач с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Сторона основания правильной треугольной призмы   АВСА1В1С1  равна  8√͞͞͞͞͞3 см. На ребре  ВВ1  обозначена точка  К  так, что  

ВК : КВ1 = 3 : 5

Найти тангенс угла между плоскостями  

АВС  и  АКС

если расстояние между прямыми  ВС  и  А1С1  равно  16 см.

РЕШЕНИЕ:

Прямые  ВС  и  А1С1 – непересекающиеся, СС1 – их общий перпендикуляр, так как правильная призма прямая и её боковое ребро перпендикулярное к плоскости основания, а также, и до сторон основания  ВС  и  А1С1. Поэтому,  СС1 = 16 см. Тогда  

ВВ1 = СС1 = 16 см.
Пусть  ВК = 3х см, тогда  

КВ1 = 5х см. 

Откуда  3х + 5х = 16, тогда  

х = 2. ВК = 3х = 6 (см)

Обозначим точку  D – середину стороны  АС. Очевидно, что  ВD АС, а значит, КD АС  согласно теореме про три перпендикуляра. Поскольку  

КD АС  и  ВD АС

то угол  КDВ – линейный угол двугранного угла образованного плоскостями  АВС  и  АКС.
Из равностороннего треугольника  АВС:
Из прямоугольного треугольника  КВD:
Поэтому, тангенс кута между плоскостями  

АВС  и  АКС  

равен  0,5.

ОТВЕТ:  0,5.
  
Задания к уроку 4
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий