Прямая призма называется правильной, если её основания –
правильные многоугольники.
Свойства правильной призмы.
– боковые ребра перпендикулярны к основанию;
– все боковые грани – равные прямоугольники;
– боковое ребро является высотою призмы.
Поверхность правильной призмы.
Боковою поверхностью правильной призмы называется сумма
площадей всех её боковых граней.
Полной поверхностью правильной призмы называется сумма площадей
её боковой поверхности и оснований.
Боковая поверхность правильной призмы равна произведению
периметра основания на боковое ребро.
Правильная треугольная призма.
Правильная шестиугольная призма.
ЗАДАЧА:
Найти площадь боковой поверхности
правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания равна 8
см, а высота – 9 см.
РЕШЕНИЕ:
Sб =
Pосн× H,
Pосн =
6a =
6 × 8 = 48
(см),
H = BB1 = 9 см.
Sб = 48×9
= 432 (см2).
ОТВЕТ: 432 см2.
ЗАДАЧА:
Каждое ребро правильной треугольной
призмы равно а. Через
сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь этого сечения
и вычислить её при а
= 7,6 см.
РЕШЕНИЕ:
Дана правильная призма, все
ребра которой
АА1 = АВ = ВС = СА = а.
Через ребро основания ВС и середину
D оси ОО1 проводим плоскость, которая пересекает основание А1В1С1 по прямой, параллельной В1С1.
Точки пересечения этой прямой с ребрами А1В1 и А1С1 соответственно обозначим через М и N. Соединив
точки М и В, N и С, получим
сечение ВМNС. Поскольку МN ∥
ВС, то ВМNС –
трапеция и её высотою будет отрезок
PQ
(LP ⊥ BC, поэтому, и QP
⊥
BC).
Тогда площадь сечения ВMNС
По условию задачи
ВС = а,
∆ DОP = ∆ DO1Q
(OD = DО1,
∠ РDО
= ∠ QDО1
и эти треугольники
прямоугольные).
Тогда
(как радиус вписанной окружности
в ∆ АВС). Из прямоугольника LQО1О получим
Поскольку
QL = AA1 =
a, то из прямоугольного
∆ QLP находим
Из подобности
∆ A1MN и
∆ A1B1C1 (MN ∥ B1C1)
получаем
Подставляя найденные значения BC, PQ
и MN в
формулу площади сечения, найдем
при a = 7,6 см S ≈ 44,46 см2.
ОТВЕТ: S ≈ 44,46 см2
ЗАДАЧА:
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания
равна 8
см, а боковое ребро – 2
см. Через сторону АС нижнего основания
и середину стороны А1В1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь
образовавшегося сечения призмы.
РЕШЕНИЕ:
АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма,АВ
= 8 см, АА1 = 2 см.
Если М – середина А1В1,
то А1М = 4 см. Сечение АМNС проходит через
сторону АС и точку М –
середину А1В1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости
оснований по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание по
отрезку МN
∥ А1С1.
Тогда МN –
средняя линия треугольника А1В1С1. АМNС –
трапеция.
МN
= 1/2 А1С1 = 4 (см).
В трапеции АМNС проведем высоты МК и NF, тогда KF = 4
см.Из ∆ AA1M (∠ A1 = 90°),Из ∆ AKM (∠ K = 90°),ОТВЕТ: 24
см2
ЗАДАЧА:
Диагональ правильной четырехугольной призмы
равна 15
см, а диагональ боковой грани – 12
см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
РЕШЕНИЕ:
Пусть АВСDА1В1С1D1 – заданная правильная призма,АС1 = 15 см, DС1 = 12 см.Поскольку АD ⊥
(DCС1), то
АD
⊥
DC1.
Из ∆ DD1C (∠ D1 = 90°),Поэтому,Sб.п. = 4 ∙ AD ∙ DD1 =
= 4 ∙ 9 ∙ 3√͞͞͞͞͞7
=
108√͞͞͞͞͞7
(см2).
ОТВЕТ: 108√͞͞͞͞͞7
(см2)
ЗАДАЧА:
В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна 8√͞͞͞͞͞2 см, а боковое ребро – 3 см. Через диагональ ВD нижнего основания и середину стороны В1С1 верхней проведена плоскость. Найдите площадь
образовавшегося сечения призмы.
РЕШЕНИЕ:
Пусть АВСDА1В1С1D1 – правильная четырёхугольная
призма,АВСD –
квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС1 = 3 см. Сечение проходит через диагональ BD и точку М –
середину В1С1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости
оснований по параллельным прямым, поэтому она пересекает верхнее основание по
отрезку МN
∥ BD. Тогда МN ∥ B1D1 и MN – средняя
линия треугольника В1С1D1.MN = 1/2 B1D1 = 1/2 BD.
Из ∆ BAD
(∠ A = 90°):
BD = AD√͞͞͞͞͞2
= 16 (см). Тоді
MN = 16 : 2 = 8 (см).
Пусть
F1 – точка пересечения A1C1 и MN.
Проведем
F1F ⊥ AC, F1F = C1C = 3 см.
Точка
F – середина ОС.
OF = 1/2 OC = 1/2 AC = 16 : 4 = 4 (см).
Из ∆ OFF1 (∠ F = 90°):В
равносторонней трапеции ВМND отрезок F1O,
соединяющий середины оснований, является высотой трапеции. ПоэтомуОТВЕТ: 60
см2ЗАДАЧА:
Боковое ребро правильной призмы АВСDА1В1С1D1 равно √͞͞͞͞͞161 см, а диагональ призмы – 17 см. Найдите площадь четырехугольника АВ1С1D.
РЕШЕНИЕ:
Пусть АВСDА1В1С1D1 – задана правильная призма,АС1 = 17 см, СС1 = √͞͞͞͞͞161 см.Поскольку АD ⊥
(DCС1), то
А1В1С1D – прямоугольник.
Из ∆ АС1С (∠ С = 90°):Искомая
площадь:ОТВЕТ: 120
см2
Решение
стереометрических задач с помощью тригонометрии.
ЗАДАЧА:
Сторона основания правильной треугольной
призмы АВСА1В1С1 равна 8√͞͞͞͞͞3
см. На ребре ВВ1 обозначена точка К так, что
ВК : КВ1 = 3 : 5.
Найти тангенс угла между плоскостями
АВС и АКС,
если
расстояние между прямыми ВС и А1С1 равно 16
см.
РЕШЕНИЕ:
Прямые ВС и А1С1 –
непересекающиеся, СС1 –
их общий перпендикуляр, так как правильная призма прямая и её боковое ребро
перпендикулярное к плоскости основания, а также, и до сторон основания ВС и А1С1. Поэтому, СС1 = 16 см. Тогда
ВВ1 = СС1 =
16 см.
Пусть ВК = 3х
см, тогда
КВ1 = 5х см.
Откуда 3х
+ 5х = 16, тогда
х =
2. ВК = 3х = 6 (см).
Обозначим точку D –
середину стороны АС.
Очевидно, что ВD
⊥
АС, а значит, КD ⊥
АС согласно теореме
про три перпендикуляра. Поскольку
КD
⊥
АС и ВD ⊥
АС,
то угол КDВ –
линейный угол двугранного угла образованного плоскостями АВС и АКС.
Из равностороннего треугольника АВС:
Из прямоугольного треугольника КВD:
Поэтому, тангенс кута между плоскостями
АВС и АКС
равен 0,5.
ОТВЕТ: 0,5.
Задания к уроку 4
Комментариев нет:
Отправить комментарий