Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 16. Сфера и шар

ВИДЕОУРОК

Шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не больше данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Граница шара называется шаровою поверхностью, или сферою. Таким образом, точками сферы будут все точки шара, которые удалены от центра на расстоянии, которое равно радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкою шаровой поверхностью, также называется радиусом.

Шаровой поверхностью или сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудалённых от одной точки, которая называется центром сферы.

Радиусом сферы называется отрезок прямой, который соединяет центр сферы с любой её точкой, например

АО = ОВ = R.

Хордой сферы называется отрезок прямой, который соединяет две её любых точки.

Диаметром сферы называется хорда, которая проходит через её центр, например АС или ВD. Концы любого диаметра называют диаметрально противоположными точками сферы.

Шаром называется тело, ограниченное сферой.

Сферу можно получить вращением полукруга вокруг диаметра.

Сечение сферы и шара плоскостью.

Сечением сферы любой плоскостью будет окружность.

Сечением шара любой плоскостью будет круг.

Круг, полученный пересечением шара плоскостью, которая проходит через центр, называется большим кругом шара, а круг, полученный сечением шара плоскостью, которая не проходит через центр, называется малым кругом шара. Сечения равноудалённые от центра шара, равны между собой.

Из двух сечений, не одинаково удалённых от центра шара, больший радиус имеет то, которое лежит ближе к центру.

Любая плоскость, которая проходит через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Через две точки сферы, которые не лежат на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга, и до того ж только одну.

Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.

Плоскость, касательная к шару.

Касательной плоскостью к шаровой поверхности называется плоскость, имеющая с этой поверхностью только одну общую точку.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания. Прямая в касательной плоскости шара, которая проходит через точку касания, называется касательной шара в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Плоскость, перпендикулярная радиусу шаровой поверхности в его конце, лежащем на этой поверхности, есть касательная плоскость.

Обратно:

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

ЗАДАЧА:

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная радиусу плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга ?

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет:

Отношение площади этого круга к площади большего круга равно:

Поверхность шара и его частей.

Часть шаровой поверхности, которая отделяется от шара какой-нибудь плоскостью, называется сегментною поверхностью.

Окружность пересечения СD плоскости с шаровой поверхностью называется основанием, а отрезок АВ = Н радиуса, перпендикулярного к плоскости сечения, – высотой сегментной поверхности.

Часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым поясом.

Окружности сечения С₁D₁ и С₂D₂ называются основаниями шарового пояса, арасстояние АВ= Н между параллельными плоскостями – высотой пояса.

Поверхность шарового сегмента, пояса и шара.

В качестве величины поверхности шарового сегмента, пояса и шара, образуемого вращением какой-нибудь части полуокружности или всей полуокружности вокруг диаметра, принимают предел, к которому стремится поверхность, образуемая вращением вокруг того же диаметра правильной вписанной ломаной линии в соответствующую часть дуги окружности при неограниченном увеличении числа её звеньев.

Сегментная поверхность равна произведению её высоты на длину окружности большого круга:

где R – радиус большого круга шара, а Н – высота сегментной поверхности.

ЗАДАЧА:

Определите вес котла, поверхность которого состоит из цилиндрической поверхности и сферической поверхности двух шаровых сегментов.

Известно, что радиус цилиндрической поверхности r = 60 см, длина образующей этой поверхности h = 2 м, высота сегмента h₁ = 20 см. Котёл сделан из листового железа, вес 1 м² которого равен 12 кг.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения площади поверхности котла нужно найти площади поверхностей двух сферических сегментов и площадь поверхности цилиндрической части котла.

Определим радиус сферы, частями которой служат поверхности сегментов, для чего построим центр сферы – точку О.

Из прямоугольного треугольника MON имеем:

R² = r² + (R – h₁)², или

R² = r² + R² – 2Rh₁ + (h₁)², откуда
Подставим в это равенство вместо r и h₁ данные значения, получим:

Площадь поверхности S всего котла будет:

S = 2πrh + 4πRh₁ = 2π(rh + 2Rh₁).

Заменив в этом равенстве R, r, h и h₁ их данными значениями, получим:

S = 6,28(0,6 ∙ 2 + 2 ∙ 1 ∙ 0,2) ≈ 10,05 м².

Умножив вес 1 м² листового железа на число квадратных метров прверхности котла, получаем его вес:

Р = 12 ∙ 10,05 = 120,6 ≈ 121 (кг).

ОТВЕТ: 121 кг

Поверхность шарового пояса равна произведению высоты пояса на длину окружности большого круга:

где R – радиус окружности большого круга, а Н – высота пояса.

Площадь поверхности шара.

Пусть дана полуокружность АF с центром в точке О.

При вращении этой полуокружности вокруг диаметра АF мы получим поверхность шара (сферу с центром в точке О и диаметром АF).

Дадим следующее определение площади поверхности шара:

За площадь поверхности шара, полученного вращением полукруга вокруг диаметра, принимается предел, к которому стремится поверхность, получаемая вращением около того же диаметра правильной вписанной в полуокружность ломаной линии при неограниченном увеличении числа её звеньев.

Формула поверхности шара такова:

где R – радиус шара.

Поверхности шаров относятся, как квадраты их радиусов или диаметров.

Шаровой сегмент, слой и сектор.

Шаровым сегментом называется тело, отсекаемое от шара плоскостью.

Шаровым слоем называется тело, отсекаемое от шара двумя секущими параллельными плоскостями.

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора вокруг оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его центр и не пересекающей сектора.

Если ось вращения совпадает с радиусом, ограничивающим круговой сектор АОС, то полученный в результате вращения шаровой сектор называют простым, а если ось вращения не совпадает с радиусом, ограничивающим круговой сектор СОD, то шаровой сектор называют полым.

Линией пересечения двух сфер будет окружность.

Любая диаметральная плоскость шара будет его плоскостью симметрии. Центр шара будет его центром симметрии.

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны

15, 14 и 13 см.

Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося сторон треугольника, если радиус шара равен 5 см.

РЕШЕНИЕ:

Дан шар О радиуса R = 5 см и ∆ АВС, стороны которого касаются поверхность шара и равны

АВ = 15 см,
ВС = 14 см
АС = 13 см.

Найти расстояние от центра шара до плоскости ∆ АВС.

Плоскость ∆ АВС пересекает шар О по кругу, вписанному в данный треугольник. Основание перпендикуляра ОD, опущенного из центра шара О на плоскость ∆ АВС, попадает в центр круга D.