Урок 1. Градусное измерение угловых величин

ВИДЕО УРОК

Общее определение угла.

В геометрии угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка – вершиной угла. При этом стороны угла считаются равноправными. Для тригонометрии такое понятие угла недостаточно и его обобщают следующим образом.

В некоторой плоскости фиксируют положение луча  ОА  и называют его начальной стороной угла, а второй луч, исходящий из той же точки, вращают в этой плоскости от положения  ОА  до положения  ОВ  и его называют подвижным лучом, а его конечное положение  ОВ – конечной стороной  ∠ АОВ, т. е.  ∠ АОВ  рассматривают как результат вращения луча в плоскости от положения  ОА  до положения  ОВ.

При таком определении угла его величина является мерой вращения конечной его стороны относительно начальной.

Измерение дуг и углов.

Для непосредственного измерения дуг и углов, как и отрезков, принимают некоторую определённую дугу (угол) за единицу измерения и при помощи этой единицы измеряют остальные дуги и углы.

Существуют различные единицы измерения дуг и углов: градус, радиан, большое и малое деления, полный оборот, румб т. д..

Дугу, длина которой равна

части длины её окружности, называют дугой в один градус, а угол, равный центральному углу, опирающемуся на дугу в один градус, называют углом в один градус  (1°).

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Взяли и разбили окружность на  360  равных частей.

1 градус – это  1/360  часть окружности.

Могли разбить на  100  частей. Или на  1000. Но разбили на  360.

Тригонометрический круг.

Тригонометрия пришла людям на помощь, когда выяснилось, что для многих расчётов недостаточно тех углов, которые определялись обычной геометрией. В геометрии мы не встретим углы больше, чем  360°. Поэтому тригонометрия – это раздел математики, посвящённый углам.

Нарисуем тригонометрический круг. Круг это аналог числовой прямой в геометрии.

1. Рисуем систему координат.

2. Изображаем круг. Центр совпадает с центром системы координат. Рекомендуется выбирать за длину радиуса  4, 6  или  8  клеточек в зависимости от того, какого размера надо нарисовать круг.

3. Ставим точку отсчёта  0  для измерения углов.

4. Затем изобразим угол: одну сторону зафиксируем на горизонтальной оси, а другая останется свободной и сможет крутиться, куда вздумает, как на шарнире.

5. Теперь мысленно вращаем незакреплённую сторону. Пусть она вращается против часовой стрелки. Вот она совершила полный оборот и вернулась на своё место. Визуально угол остался прежним, но на самом деле к нему добавился полный оборот, то есть  360°.

6. Учитывая полные обороты, каждый угол можно представить, как

α + 360° ∙ n,

где  n – целое число.

Вращение против часовой стрелки – это положительное направление, а по часовой – отрицательное.

Как отсчитываются углы на круге ?

Сначала нарисуем тригонометрический круг.

На данном рисунке отмечены номера четвертей (или квадрантов)

I, II, III, IV.

Четверти всегда нумеруются против часовой стрелки. Также добавлены цифры

0°, 90°, 180°, 270°, 360°

на осях. Это значения углов, отсчитанные от неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси.

Из рисунка видно, что:

– если угол от  0°  до  90°, то он принадлежит  I  четверти;

– если угол от  90°  до  180°, то он принадлежит  II  четверти;

– если угол от  180°  до  270°, то он принадлежит  III  четверти;

– если угол от  270°  до  360°, то он принадлежит  IV  четверти.

Это для положительных углов.

Неподвижная сторона угла всегда привязана к положительной полуоси  Ох. Любой угол в тригонометрии отсчитывается от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов. Так как координатные оси пересекаются под прямым углом, поэтому прибавляем по  90°  в каждой четверти.

Также на рисунке добавлена красная стрелочка с плюсом. Что же означает эта стрелочка ?

Если угол мы будем крутить по стрелочки с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным.

ПРИМЕР:

На рисунке показан угол  +45°

Обратите внимание, что осевые углы

0°, 90°, 180°, 270°, 360°

также отмотаны именно в “плюс”, по красной стрелочке.

А теперь посмотрим на другую картинку.

Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак “минус”.

Из рисунка видно, что:

– если угол от  0°  до  –90°, то он принадлежит  IV  четверти;

– если угол от  –90°  до  –180°, то он принадлежит  III  четверти;

– если угол от  –180°  до  –270°, то он принадлежит  II  четверти;

– если угол от  –270°  до  –360°, то он принадлежит  I  четверти.

Это для отрицательных углов.

Отсчёт угла ведётся строго от нуля против часовой стрелки, если угол положительный, и по часовой стрелке – если угол отрицательный.

Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Это стрелочка – направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она показывает, что, если мы будем откладывать угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным.

ПРИМЕР:

На рисунке показан угол  –45°.

Помните, что нумерация четвертей никогда не меняется. Неважно, в плюс или минус мы отсчитываем углы. Всегда строго против часовой стрелки.

Начало отсчёта углов – от положительной полуоси  Ох. По часовой стрелке – “минус”, против часовой стрелки – “плюс”.

Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

Величины углов, лежащих на осях координат

(0°, 90°, 180°, 270°, 360°),

надо запомнить. Причём как в плюс, так и в минус.

Одну и туже точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным.

ПРИМЕР:

Положительный угол  +270°  занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол  –90°.

Положительный угол  +45°  занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол  –315°.

 Положительный угол  +150°  занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол  –210°.

Положительный угол  +230°  занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол  –130°.

Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом.

Выбор конкретного направления зависит исключительно от задания.

Из примера мы выяснили, что угол  45°  в точности совпадает с углом  –315°. Так как полный оборот равен  360°, а у нас есть угол  45°, то определяем, сколько не хватает до полного оборота. Отнимаем 45°   от  360° – вот и получили  315°. Отсчитываем в отрицательную сторону – и получаем угол  –315°.

Построение углов в пределах одного оборота (между  0°  и  360°).

ПРИМЕР:

Нарисуем угол  60°.

РЕШЕНИЕ:

Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично. Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часовой стрелки.

Теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла в первой четверти, так как  60° – это строго между  0°  и  90°. Рисуем под углом примерно  60°  к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно  60°  без транспортира ? Это две трети от прямого угла.

Делим мысленно первую четверть круга на три части, забираем себе две трети, и рисуем прямую.

 ПРИМЕР:

Нарисуем угол  265°.

РЕШЕНИЕ:

Прикидываем, где он может располагаться ? Понятно, что не в первой четверти и даже не во второй, так как они на  90°  и на  180°  оканчиваются. И не в четвёртой четверти, так как она начинается с  270°. Значит угол  265°  будет находиться в третьей четверти. Рисуем:

Абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получится, скажем  263°. Но на самый главный вопрос (какая четверть ?) ответ получили безошибочно.

Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает это угол.

Как нарисовать угол большим за  360° ?

Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое – выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от  0°  до  360°.

ПРИМЕР:

Надо выяснить в какую четверть попадает угол  444°.

РЕШЕНИЕ:

Так как задан положительный угол, то начинаем двигаться против часовой стрелки от оси  Ох. Сделали один оборот – дошли до  360°. Находим сколько градусов осталось до  444°. Считаем оставшийся хвостик:

444° – 360° = 84°.

Итак, 444° – это один полный оборот (360°) плюс ещё  84°. Очевидно это первая четверть. Значит, угол  444°  попадает в первую четверть.

Осталось теперь изобразить этот угол. Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё  84°.

Здесь спиралью показано, как именно складывается угол  444°  из углов  360°  и  84°.

Пунктирная красная линия – это один полный оборот, к которому дополнительно присоединяется угол  84°  (сплошная линия). Положение угла  444°  полностью совпадает с положением угла  84°.

Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге не изменится.

ПРИМЕР:

В какую четверть попадает угол  1000° ?

РЕШЕНИЕ:

Считаем, сколько полных оборотов находится в тысяче градусов. Один оборот – это  360°, ещё один – уже  720°, третий – 1080° … Стоп! Перебор! Значит, в угле  1000°  находится два полных оборота. Отнимаем их из  1000°  и считаем остаток:

1000° – 2 ∙ 360° = 280°.

Значит, положение угла  1000°  на круге то же самое, что и у угла  280°. Угол попадает в четвёртую четверть.

Рисуем:

Для того чтобы работать с углами, большими  360°, надо определить, сколько полных оборотов находится в заданном большом угле.

ПРИМЕР:

В какую четверть попадает угол  31240° ?

РЕШЕНИЕ:

Поделим угол  31240°  на  360°. Получим:

31240° : 360° = 86,777 …

То, что число получилось дробным – не страшно. Нас интересуют только целые обороты.

В угле  31240°  находится  86  полных оборотов.

В градусах это будет:

86 ∙ 360° = 30960°.

Производим вычитание и получаем:

31240° – 30960° = 280°.

Угол попадает в четвёртую четверть.

Если задан угол, больше чем  360°, то:

Сначала нужно определить, сколько полных оборотов находится в этом угле. Для этого делим исходный угол на  360  и отбрасываем дробную часть.

Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на  360.

Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от  0°  до  360°.

Как работать с отрицательными углами ?

Точно так же, как и с положительными углами, только с одним единственным отличием. Поворачивать углы надо в обратную сторону, в минус. По ходу часовой стрелки.

ПРИМЕР:

Надо нарисовать угол  –200°.

РЕШЕНИЕ:

Сначала всё как обычно для положительных углов – оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим, да углы на осях по-другому подпишем. Их придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через  90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус:

0°, –90°, –180°, –270°, –360°.

Рисунок получится следующий:

Теперь нарисовать правильно угол  –200°  никакого труда не составляет. Это  –180°  и минус ещё  20°. Начинаем вращать от нуля в минус: четвёртую четверть проходим, третью тоже, доходим до  –180°. Дальше продолжаем отсчитывать  –20°  во второй четверти по часовой стрелке.
Итого: угол  –200°  попадает во вторую четверть.

  Углы на осях координат

(0°, –90°, –180°, –270°, –360°)

надо помнить для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол.

ПРИМЕР:

В какую четверть попадает угол  –2000° ?

РЕШЕНИЕ:

Для начала считаем, сколько полных оборотов находится в этом угле. Поделим  2000  на  360. Получим  5  с остатком. Остаток пока нам не нужен, его позже сосчитаем, когда будем рисовать угол. Считаем пять полных оборотов в градусах:

5 ∙ 360° = 1800°.

Считаем остаток:

2000° – 1800° = 200°.

Остаток будет со знаком минус, так как нам задан отрицательный угол.

Рисуем угол, только уже без лишних оборотов:

Из рисунка видно, что заданный угол попадает во вторую четверть.

Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак минус на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов.

Мы рассматривали положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие углы. Также выяснили, что любую точку на тригонометрическом круге можно обозвать положительным или отрицательным углом, отбрасывали полные обороты. Но какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов, больших и не очень, положительных и отрицательных – всяких. И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов.

Повороты.

Назовём углом произвольный поворот луча вокруг точки. Разумеется, начальное и конечное положение луча при повороте образуют как раз ту геометрическую фигуру, которую мы и раньше называли углом. В этом заключается связь между старым и новым определениями. Однако, одно и тоже взаимное расположение лучей может быть достигнуто бесконечным множеством различных поворотов. На чертеже

Отмечено несколько таких поворотов:

I, II, III  и  IV.

Для того чтобы задать угол, надо задать его вершину  О, его стороны  ОА  и  ОВ  и отметить тот поворот, который переводит  ОА  в  ОВ.

Таким образом, разные углы могут иметь общими и вершину и стороны. На чертеже

отмечены четыре разных угла  I, II, III  и  IV  с общими сторонами  ОА, ОВ  и общей вершиной  О.
Отметим, что поворот от первой стороны  ОА  угла ко второй   ОВ  может быть совершен в двух противоположных направлениях. Повороты, производимые в одном из направлений, совершенно безразлично в каком, условимся называть положительными углами, а тогда повороты, проводимые в противоположном направлении, – отрицательными углами. Обычно на чертежах положительными считаются повороты, совершаемые против часовой стрелки, а отрицательными – повороты, совершаемые по часовой стрелке.

Поворот определяется:

а)  его центром  О,

б)  углом поворота  α,

в)  направлением поворота.

При этом считается, что угол поворота  α  лежит в границах

0° ≤ α ≤ 180°.

Поворот на  0° – это тоже отображение плоскости:

Е (Х) = Х.

Для любого центра  О  повороты на  180°  в обоих направлениях совпадают и будут центрально симметричными (относительно центра поворота  О).

Познакомимся с другой системой задания поворотов, преимущества которой выяснятся постепенно.

Выберем произвольное направление поворота как положительное, а отрицательным будем считать противоположное ему направление. Положительным обычно считают направление поворота против часовой стрелки.

ПРИМЕР:

Поворот на  70°  против часовой стрелки называть будем просто поворотом на  70°, а поворот на  70°  по часовой стрелки – поворотом на минус 70°.

При таком условии поворот полностью определяется:

а)  его центром  О,

б)  углом поворота  α.

Угол поворота теперь считается направленной величиной, числовое значение которой может быть как положительным, так и отрицательным. Поворот с центром  О  на угол  α  обозначают

ПРИМЕР:

Повороты, показанные стрелками на рисунке

обозначаются

Любой поворот можно задать его центром  О  и углом поворота  α, который лежит в границах

–180° ≤ α ≤ 180°.

Иногда необходимо рассматривать повороты на углы, которые не лежат в границах

–180° ≤ α ≤ 180°.

ПРИМЕР:

Рисунок объясняет, почему поворот на  –90°  совпадает с поворотом на  +270°.

 

Рассматривая повороты с каким-нибудь заданным центром, пишем вместо

опуская букву  О. Поворот мы представляем как результат вращения. Чтобы наглядно представить себе вращение, положите на лист бумаги лист кальки и проколите оба два листа шпилькою в некоторой точке  О. Точка  О  останется неподвижной, любая другая обозначенная на кальке точка  Х  будет двигаться по окружности. Если сначала она занимала положение  Х_о, то после поворота на  270°  против часовой стрелки она займёт положение  Х₁.

Тот же самый результат получим и в случае вращения по часовой стрелке на  90°. Поэтому мы считаем, что записи

будут просто разными обозначения одного и того же самого поворота. Тот же самый поворот можно получить с помощью вращения другими разными способами. В результате вращения на  360°  по часовой стрелкой или против часовой стрелки все нанесённые на кальку точки возвращаются на первоначальные места, поэтому поворот

можно получить в результате вращения на такие углы:

–90°;  –90° + 360° = 270°; 

–90° + 360° × 2 = 630°;  … ;

–90° – 360° = –450°; 

–90° – 360° × 2 = –810°;  … .

Вообще, поворот получается не только вращением на угол  α, а и на угол

α + 360° × n,

где  n – любое целое число.

Отже, якщо

β = α + 360° × n,

где  n  целое и

–180° ≤ α ≤ 180°,

то поворотом на угол  β  называется поворот  R^α.

(Повороты на угол  α, который лежит в границах

–180° ≤ α ≤ 180°,

были определены раньше).

ПРИМЕР:

R^1200⁰ = R^{120⁰ + 360⁰×3} = R^120⁰,

R^720⁰ = R^360⁰×2 = R^0⁰ = Е,

R^-1200⁰ = R^{-120⁰ - 360⁰×3} = R^-120⁰.

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований