Урок 1. Градусний вимір кутових величин

ВІДЕО УРОК

Загальне визначення кута.

У геометрії кут визначається як фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута, а їх спільна точка – вершиною кута. При цьому сторони кута вважаються рівноправними. Для тригонометрії таке поняття кута є недостатнім і його узагальнюють так.

У деякій площині фіксують положення променя  ОА  і називають його початковою стороною кута, а другий промінь, що виходить з тієї самої точки, обертають у цій площині від положення  ОА  до положення  ОВ  і його називають рухомим променем, а його кінцеве положення  ОВ – кінцевою стороною  ∠ АОВ, тобто  ∠ АОВ  розглядають як результат обертання променя в площині від положення  ОА  до положення  ОВ.

При такому визначенні кута його величина є мірою обертання кінцевої 
його сторони відносно початкової.

Вимірювання дуг і кутів.

Для безпосереднього вимірювання дуг і кутів, як і відрізків, приймають деяку певну дугу (кут) за одиницю вимірювання і за допомогою цієї одиниці вимірюють інші дуги й кути.

Існують різні одиниці вимірювання дуг і кутів: градус, радіан, великий і малий поділи, повний оберт, румб тощо.

Дугу, довжина якої дорівнює

частині довжини її кола, називають дугою в один градус, а кут, що дорівнює центральному куту, який спирається на дугу в один градус, називають кутом в один градус  (1°).

Градусна міра кута.

Градуси придумали в Древньому Вавілоні. Узяли і розбили коло на  360  рівних частин.

1 градус – це  1/360  частина кола.

Могли розбити на  100  частин. Або на  1000. Але розбили на  360.

Тригонометричний круг.

Тригонометрія прийшла людям на допомогу, коли з'ясувалося, що для багатьох розрахунків недостатньо тих кутів, які визначалися звичайної геометрією. В геометрії ми не зустрінемо кути більше, ніж 360°. Тому тригонометрія – це розділ математики, присвячений кутах.

Намалюємо тригонометричний коло. Коло це аналог числової прямої в геометрії.

1. Малюємо систему координат.

2. Зображаємо коло. Центр збігається з центром системи координат. Рекомендується вибирати за довжину радіуса  4, 6  або  8  клітинок в залежності від того, якого розміру треба намалювати коло.

3. Ставимо крапку відліку  0  для вимірювання кутів.

4. Потім покажемо кут: одну сторону зафіксуємо на горизонтальній осі, а інша залишиться вільною і зможе крутитися, куди надумається, як на шарнірі.

5. Тепер обертаємо незакріплені сторону. Нехай вона обертається проти годинникової стрілки. Ось вона зробила повний оборот і повернулася на своє місце. Візуально кут залишився колишнім, але насправді до нього додався повний оборот, тобто  360°.

6. З огляду на повні оберти, кожен кут можна уявити, як

α + 360° ∙ n,

де  n – ціле число.

Обертання проти годинникової стрілки – це позитивний напрямок, а за годинниковою – негативне.

Як відраховуються кути на колі ?

Спочатку намалюємо тригонометричний коло.

На даному малюнку відзначені номера чвертей (або квадрантів)

I, II, III, IV.

Чверті завжди нумеруються проти годинникової стрілки. Також додані цифри

0°, 90°, 180°, 270°, 360°

на осях. Це значення кутів, відраховані від нерухомої боку, які потрапляють на координатні осі.

З малюнка видно, що:

– якщо кут від  0°  до  90°, то він належить  I  чверті;

– якщо кут від  90°  до  180°, то він належить  II  чверті;

– якщо кут від  180°  до  270°, то він належить  III  чверті;

– якщо кут від  270°  до  360°, то він належить  IV  чверті.

Це для позитивних кутів.

Нерухома сторона кута завжди прив'язана до позитивної півосі  Ох. Будь-який кут в тригонометрії відраховується від цієї півосі. Це базове початок відліку кутів. Так як координатні осі перетинаються під прямим кутом, тому додаємо по  90°  в кожній чверті.

Також на малюнку додана червона стрілочка з плюсом. Що ж означає ця стрілочка?

Якщо кут ми будемо крутити по стрілочки з плюсом (проти годинникової стрілки, по ходу нумерації чвертей), то кут буде вважатися позитивним.

ПРИКЛАД:

На малюнку показаний кут  +45°.

Зверніть увагу, що осьові кути

0°, 90°, 180°, 270°, 360°

також відмотати саме в "плюс", по червоній стрілочки.

А тепер подивимося на іншу картинку.

Тут майже все те ж саме. Тільки кути на осях пронумеровані в зворотну сторону. По годинниковій стрілці. І мають знак "мінус".

З малюнка видно, що:

– якщо кут від  0°  до  –90°, то він належить  IV  чверті;

– якщо кут від  –90°  до  –180°, то він належить  III  чверті;

– якщо кут від  –180°  до  –270°, то він належить  II  чверті;

– якщо кут від  –270°  до  –360°, він належить  I  чверті.

Це для негативних кутів.

Відлік кута ведеться строго від нуля проти годинникової стрілки, якщо кут позитивний, і за годинниковою стрілкою – якщо кут негативний.

Ще намальована синя стрілочка. Також з мінусом. Це стрілочка – напрямок негативного відліку кутів на колі. Вона показує, що, якщо ми будемо відкладати кут по ходу годинникової стрілки, то кут буде вважатися негативним.

ПРИКЛАД:

На малюнку показаний кут  –45°.

Пам'ятайте, що нумерація чвертей ніколи не змінюється. Неважливо, в плюс або мінус ми відраховуємо кути. Завжди строго проти годинникової стрілки.

Початок відліку кутів – від позитивної півосі  Ох. За годинниковою стрілкою – "мінус", проти годинникової стрілки – "плюс".

Нумерація чвертей завжди проти годинникової стрілки незалежно від напрямку обчислення кутів.

Величини кутів, що лежать на осях координат

(0°, 90°, 180°, 270°, 360°),

треба запам'ятати. Причому як в плюс, так і в мінус.

Одну й ту ж саму точку на колі можна позначити як позитивним кутом, так і негативним.

ПРИКЛАД:

Позитивний кут  +270°  займає на колі те ж саме положення, що й негативний кут  –90°.

Позитивний кут  +45°  займає на колі те ж саме положення, що й негативний кут  –315°.

Позитивний кут  +150°  займає на колі те ж саме положення, що й негативний кут  –210°.

Позитивний кут  +230°  займає на колі те ж саме положення, що й негативний кут  –130°.

Будь-яку точку на колі можна позначити як позитивним, так і негативним кутом.

Вибір конкретного напрямку залежить виключно від завдання.

З прикладу ми з'ясували, що кут  45°  у точності збігається з кутом –315°. Так як повний оборот дорівнює  360°, а у нас є кут  45°, то визначаємо, скільки не вистачає до повного обороту. Віднімаємо  45°   від   360° – ось і отримали  315°. Відраховуємо в негативну сторону – і отримуємо кут  –315°.

Побудова кутів в межах одного обороту (між  0°  і  360°).

ПРИКЛАД:

Намалюємо кут  60°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Малюємо координатні осі, коло. Можна прямо від руки, без будь-якого циркуля і лінійки. Малюємо схематично. Можна (для себе) відзначити значення кутів на осях і вказати стрілочку в напрямку проти годинникової стрілки.

Тепер проводимо другу (рухому) сторону кута в першій чверті, так як  60° – це строго між  0°  і  90°. Малюємо під кутом приблизно  60° до нерухомої стороні. Як відрахувати приблизно  60°  без транспортира ? Це дві третини від прямого кута.

Ділимо подумки першу чверть кола на три частини, забираємо собі дві третини, і малюємо пряму.

ПРИКЛАД:

Намалюємо кут  265°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Прикидаємо, де він може розташовуватися ? Зрозуміло, що не в першій чверті і навіть не в другій, так як вони на  90°  і на  180°  закінчуються. І не в четвертій чверті, так як вона починається з  270°. Значить кут  265°  буде знаходитися в третій чверті. Малюємо:

Абсолютна точність тут не потрібна. Нехай в реальності цей кут вийде, скажімо  263°. Але на найголовніше питання (яка чверть?) Відповідь отримали безпомилково.

Будь-яка робота з кутом (в тому числі і малювання цього самого кута на колі) завжди починається з визначення чверті, в яку потрапляє це кут.

Як намалювати кут великим за  360° ?

Для правильного малювання таких кутів на колі необхідно все те ж саме – з'ясувати, в яку чверть потрапляє цікавий для нас кут. Тут вміння безпомилково визначати чверть куди більш важливо, ніж для кутів від  0°  до  360°.

ПРИКЛАД:

Треба з'ясувати в яку чверть потрапляє кут  444°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як заданий позитивний кут, то починаємо рухатися проти годинникової стрілки від осі  Ох. Зробили один оборот – дійшли до  360°. Знаходимо скільки градусів залишилося до  444°. Вважаємо, що залишився хвостик:

444° – 360° = 84°.

Отже,  444° – це один повний оборот  (360°) плюс ще  84°. Очевидно це перша чверть. Значить, кут  444°  потрапляє в першу чверть.

Залишилося тепер зобразити цей кут. Робимо один повний оборот по червоній (плюсової) стрілкою та додаємо ще  84°.

Тут спіраллю показано, як саме складається кут  444°  з кутів  360°  і  84°.

Пунктирна червона лінія – це один повний оборот, до якого додатково приєднується кут  84°  (суцільна лінія). Положення кута  444°  повністю збігається з положенням кута  84°.

Якщо до кута додати (відняти) будь-яке ціле число повних обертів, положення вихідного кута на колі не зміниться.

ПРИКЛАД:

В яку чверть потрапляє кут  1000° ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вважаємо, скільки повних обертів знаходиться в тисячі градусів. Один оборот – це  360°, ще один – уже  720°, третій – 1080° ... Стоп! Перебір! Значить, у куту  1000°  перебуває два повних оберти. Віднімаємо їх з  1000°  і вважаємо залишок:

1000° – 2 ∙ 360° = 280°.

Значить, положення кута  1000°  на колі те ж саме, що і у кута  280°. Кут потрапляє в четверту чверть.

Малюємо:

Для того щоб працювати з кутами, більшими  360°, треба визначити, скільки повних обертів знаходиться в заданому великому куті.

ПРИКЛАД:

В яку чверть потрапляє кут  31240° ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Поділимо кут  31240°  на  360°. отримаємо:

31240° : 360° = 86,777 …

Те, що число вийшло дробовим – не страшно. Нас цікавлять тільки цілі обертів.

У куту  31240°  перебуває  86  повних обертів.

В градусах це буде.

86 ∙ 360° = 30960°.

Виробляємо віднімання і отримуємо:

31240° – 30960° = 280°.

Кут потрапляє в четверту чверть.

Якщо заданий кут, більше ніж  360°, то:

Спочатку потрібно визначити, скільки повних обертів знаходиться в цьому вугіллі. Для цього ділимо вихідний кут на  360 і відкидаємо дробову частину.

Вважаємо, скільки градусів в отриману кількість обертів. Для цього множимо число оборотів на  360.

Віднімаємо ці обороти від вихідного кута і працюємо зі звичним кутом в межах від  0°  до  360°.

Як працювати з негативними кутами ?

Точно так же, як і з позитивними кутами, тільки з одним єдиною відмінністю. Повертати кути треба в зворотний бік, в мінус. По ходу годинникової стрілки.

ПРИКЛАД:

Треба намалювати кут  –200°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку все як завжди для позитивних кутів – осі, коло. Ще синю стрілку з мінусом зобразимо, та кути на осях по-іншому підпишемо. Їх доведеться відраховувати в негативному напрямку. Це будуть все ті ж самі кути, крокуючі через  90°, але відраховані в зворотну сторону, в мінус:

0°, –90°, –180°, –270°, –360°.

Малюнок вийде наступний:

Тепер намалювати правильно кут –200°  ніяких труднощів не складає. Це  –180° і мінус ще  200°. Починаємо обертати від нуля в мінус: четверту чверть проходимо, третю теж, доходимо до –180°. Далі продовжуємо відраховувати –20°  у другій чверті за годинниковою стрілкою.
Разом: кут  200°  потрапляє в другу чверть.

Кути на осях координат

(0°, –90°, –180°, –270°, –360°)

треба пам'ятати для того, щоб безпомилково визначати чверть, куди потрапляє кут.

ПРИКЛАД:

В яку чверть потрапляє кут  –2000° ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для початку вважаємо, скільки повних обертів знаходиться в цьому куту. Поділимо  2000  на  360. Отримаємо  5  із залишком. Залишок поки нам не потрібен, його пізніше порахуємо, коли будемо малювати кут. Вважаємо п'ять повних обертів в градусах:

5 ∙ 360° = 1800°.

Вважаємо залишок:

2000° – 1800° = 200°.

Залишок буде зі знаком мінус, так як нам заданий негативний кут.

Малюємо кут, тільки вже без зайвих оборотів:

З малюнка видно, що заданий кут потрапляє в другу чверть.

Якщо заданий дуже великий негативний кут, то перша частина роботи з ним (пошук числа повних обертів і їх відкидання) та ж сама, що і при роботі з позитивним кутом. Знак мінус на даному етапі рішення не має ніякого значення. Враховується знак лише в самому кінці, при роботі з кутом, що залишився після видалення повних обертів.

Ми розглядали позитивні кути, негативні кути, великі кути, маленькі кути. Також з'ясували, що будь-яку точку на тригонометричному колі можна обізвати позитивним або негативним кутом, відкидали повні оберти. Але яку точку на колі не візьми, їй буде відповідати безліч кутів, великих і не дуже, позитивних і негативних – жодних. І різниця між цими кутами становитиме ціле число повних обертів.

Повороти.

Назвемо кутом довільний поворот променя навколо точки.

Зрозуміло, початкове і кінцеве положення променя при повороті утворюють саме ту геометричну фігуру, яку ми і раніше називали кутом. У цьому полягає зв'язок між старим і новим визначеннями. Однак, одне і теж взаємне розташування променів може бути досягнуто нескінченним безліччю різних поворотів. на кресленні

відзначено кілька таких поворотів:

I, II, III  і  IV.

Для того щоб задати кут, треба задати його вершину  О, його сторони  ОА  і  ОВ  і відзначити той поворот, який переводить  ОА  в  ОВ.

Таким чином, різні кути можуть мати загальними і вершину і сторони. На кресленні

відзначені чотири різних кута  I, II, III  і  IV  із загальними сторонами  ОА, ОВ  і загальною вершиною  О.
Відзначимо, що поворот від першої сторони  ОА  кута до другої  ОВ  може бути здійснений в двох протилежних напрямках. Повороти, вироблені в одному з напрямків, абсолютно байдуже в якому, домовимося називати позитивними кутами, а тоді повороти, що проводяться в протилежному напрямку, – негативними кутами. Зазвичай на кресленнях позитивними вважаються повороти, що здійснюються проти годинникової стрілки, а негативними – повороти, що здійснюються за годинниковою стрілкою.

Поворот визначається завданням:

а)  його центра  О,

б)  кута повороту  α,

в)  напряму повороту.

При цьому вважається, що кут повороту  α  лежить у межах

0° ≤ α ≤ 180°.

Поворот на  0° – це тотожне відображення площини:

Е (Х) = Х.

Для будь-якого центра  О  повороти на  180°  в обох напрямах збігаються і є центральною симетрію (відносно центра повороту  О).

Ознайомимося з іншою системою задання поворотів, переваги якої з'ясуються поступово.

Виберемо довільний напрям повороту як додатний, а від'ємним будемо вважати протилежний йому. Додатним звичайно вважають напрям повороту проти годинникової стрілки.

ПРИКЛАД:

Поворот на  70°  проти годинникової стрілки називатимемо просто поворотом на  70°, а поворот на  70°  за годинниковою стрілкою – поворотом на мінус 70°.

За такої умови поворот повністю визначається завданням:

а)  його центра  О,

б)  кута повороту  α.

Кут повороту тепер вважається напрямленою величиною, числове значення якої може бути як додатним, так і від'ємним. Поворот з центром  О  на кут  α  позначають

ПРИКЛАД:

Повороти, показані стрілками на малюнку

позначаються

Будь-який поворот можна задати його центром  О  і кутом повороту  α, який лежить у межах

–180° ≤ α ≤ 180°.

Проте зручно розглядати і повороти на кути, які не лежать у межах

–180° ≤ α ≤ 180°.

ПРИКЛАД:

Малюнок пояснює, чому поворот на  –90°  збігається з поворотом на  +270°.

Розглядаючи повороти з якимсь заданим центром, пишемо замість

опускаючи букву  О.
Поворот ми уявляємо як результат обертання. Щоб наочно уявити собі обертання, покладіть на аркуш паперу аркуш кальки і проколіть обидва аркуші шпилькою в деякій точці  О. Точка  О  залишиться нерухомою, будь яка інша позначена на кальці точка  Х  рухатиметься по колу. Якщо спочатку вона займала положення  Х_о, то після повороту на  270°  проти годинникової стрілки вона займе положення  Х₁.

Той самий результат дістанемо і внаслідок обертання за годинниковою стрілкою на  90°. Тому ми вважаємо, що записи

є просто різними позначеннями одного й того самого повороту. Той самий поворот можна дістати за допомогою обертання ще безліччю способів. Справді, в результаті обертання на  360°  за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки всі нанесені на кальку точки повертаються на попередні місця, тому поворот

можна дістати в результаті обертання на такі кути:

–90°;  –90° + 360° = 270°; –90° + 360° × 2 = 630°;  … ;

–90° – 360° = –450°; –90° – 360° × 2 = –810°;  … .

Взагалі, поворот дістанемо не тільки обертанням на кут  α, а й на кут

α + 360° × n,

де  n – будь-яке ціле число.

Отже, якщо

β = α + 360° × n,

де  n  ціле і

–180° ≤ α ≤ 180°,

то поворотом на кут  β  називається поворот  R^α.

(Повороти на кут  α, який лежить у межах

–180° ≤ α ≤ 180°,

були означені раніше).

ПРИКЛАД:

R^1200⁰ = R^{120⁰ + 360⁰×3} = R^120⁰,

R^720⁰ = R^360⁰×2 = R^0⁰ = Е,

R^-1200⁰ = R^{-120⁰ - 360⁰×3} = R^-120⁰.

Завдання до уроку 1.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень