Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 24 февраля 2019 г.

Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК
Функция  f  называется чётной, если одновременно с каждым значением переменной  х  из области определения  f  значение (–х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство

f(–x) = f(x).

Или, другими словами:

Чётной называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной.

Например, функция  f(x) = х2  и вообще  f(x) = х2k  при любом натуральном  k  чётная. Эта функция определена на множестве  R, и поэтому, область определения содержит вместе с любым  х  и число   –х. Кроме того,

f(–x) = (–х)2k = х2k = f(x).

График такой функции симметричен относительно оси ординат.

Функция  f  называется нечётной, если одновременно с каждым значением переменной  х  из области определения  f  значение (–х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство

f(–x) = –f(x).

Или, другими словами:

Нечётной называется функция, которая меняет своё значение при изменении знака независимой переменной.

Например, функция  f(x) = х3  и вообще  f(x) = х2k+1  при любом натуральном  k  нечётная. Действительно, область определения этой функции – множество  R, и поэтому, область определения содержит вместе с любым  х  и число  –х. Кроме того

f(–x) = (–х)2k+1 = –х2k+1 = –f(x).

График такой функции симметричен относительно начала координат.

Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией.

Из тригонометрических функций косинус и секанс – чётные функции, а синус тангенс, котангенс и косеканс – нечётные функции.

sin α, tg α, ctg α  и  cosec α  нечётные, а 

cos α  и  sec α  чётные, то есть

sin (–α) = –sin α;

cos (–α) = +cos α;

tg (–α) = –tg α;

ctg (–α) = –ctg α;

sec (–α) = +sec α;

cosec (–α) = –cosec α.

Для любого  α  точки  Рα  и  Р

ричные относительно оси абсцисс. 
Отсюда следует, что их абсциссы совпадают, а ординаты противоположные. По определению косинуса и синуса это означает, что при любом  α  выполняется равенства

cos α = cos (–α),

sin (–α) = –sin α.

Для тангенса и котангенса имеем:
Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной функции.

ПРИМЕР:

Функция  f(x) = x2 – x  является суммой чётной функции  f1 = x2  и нечётной  f2 = –x.

Некоторые свойства:

произведение и частное двух функций одинаковой чётности – чётная функция;

произведение и частное двух функций разной чётности – нечётная функция;

сумма и разность чётных функций – чётная функция;

сумма и разность нечётных функций – нечётная функция.

ПРИМЕР:

Найти значения тригонометрических функций угла

α = – π/3.

РЕШЕНИЕ:

Используя нечётность функций  

sin α, cosec α, tg α  и  ctg α,

получим:
Используя чётность функций  cos α  и  sec α, получим:

cos (–π/3) = cos π/3 = 1/2,
sec (–π/3) = sec π/3 = 2.

ПРИМЕР:

Найти значение

sin (–72°).

РЕШЕНИЕ:

sin (–72°) = – sin 72° = –0,9511.

ОТВЕТ:  –0,9511.

ПРИМЕР:

Найти значение

соs (–108°).

РЕШЕНИЕ:

соs (–108°) = соs 108° =
соs (90° + 18°) =
sin 18° = –0,3090.

ОТВЕТ:  –0,3090.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = sin х ∙ соs х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = sin (–х) ∙ соs (–х) =

sin х ∙ соs х = –у(х).

Следовательно, функция

 у = sin х ∙ соs х.  

является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:
РЕШЕНИЕ:
Следовательно,
функция 
является чётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = tg х + сtg х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = tg (–х) + ctg (–х) =

tg х – сtg х = –(tg х + сtg х) = –у(х).

Следовательно, функция

 у = tg х + сtg х.  

является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = x – sin х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = –x – sin (–х) =

x + sin х = –(x – sin x) = –у(х).

Следовательно, функция

 у = x – sin х.  

является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = sin х – соs х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = sin (–х) – соs (–х) =

sin х – соs х.

у(–х) у(х),

у(–х) у(х).

Следовательно, функция

 у = sin х – соs х 

не является ни чётной, ни нечётной, то есть это функция общего вида

ПРИМЕР:

Функция   f(x) = x2 + cosявляется чётной, так как

f(–x) = (–x)2 + cos (–x) =

= x2 + cos x = f(x).

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

sin (–721°) = –sin 1°.

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом  360°, то получим

sin (–721°) = –sin 721° =

= –sin (720° + 1°) = –sin 1°.

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

cos (–13π) = –1.

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом  , то получим

cos (–13π) = cos 13π =

cos (π + 6 ∙ 2π) = cos π = –1.

Задания к уроку 8

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий