Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Функция  f  называется чётной, если одновременно с каждым значением переменной  х  из области определения  f  значение (–х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство

f(–x) = f(x).

Или, другими словами:

Чётной называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной.

Например, функция  f(x) = х²  и вообще  f(x) = х^2k  при любом натуральном  k  чётная. Эта функция определена на множестве  R, и поэтому, область определения содержит вместе с любым  х  и число   –х. Кроме того,

f(–x) = (–х)^2k = х^2k = f(x).

График такой функции симметричен относительно оси ординат.

Функция  f  называется нечётной, если одновременно с каждым значением переменной  х  из области определения  f  значение (–х) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство

f(–x) = –f(x).

Или, другими словами:

Нечётной называется функция, которая меняет своё значение при изменении знака независимой переменной.

Например, функция  f(x) = х³  и вообще  f(x) = х^2k+1  при любом натуральном  k  нечётная. Действительно, область определения этой функции – множество  R, и поэтому, область определения содержит вместе с любым  х  и число  –х. Кроме того

f(–x) = (–х)^2k+1 = –х^2k+1 = –f(x).

График такой функции симметричен относительно начала координат.

Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией.

Из тригонометрических функций косинус и секанс – чётные функции, а синус тангенс, котангенс и косеканс – нечётные функции.

sin α, tg α, ctg α  и  cosec α  нечётные, а 

cos α  и  sec α  чётные, то есть

sin (–α) = –sin α;

cos (–α) = +cos α;

tg (–α) = –tg α;

ctg (–α) = –ctg α;

sec (–α) = +sec α;

cosec (–α) = –cosec α.

Для любого  α  точки  Р_α  и  Р_-α

ричные относительно оси абсцисс. Отсюда следует, что их абсциссы совпадают, а ординаты противоположные. По определению косинуса и синуса это означает, что при любом  α  выполняется равенства

cos α = cos (–α),

sin (–α) = –sin α.

Для тангенса и котангенса имеем:

Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной функции.

ПРИМЕР:

Функция  f(x) = x² – x  является суммой чётной функции  f₁ = x²  и нечётной  f₂ = –x.

Некоторые свойства:

– произведение и частное двух функций одинаковой чётности – чётная функция;

– произведение и частное двух функций разной чётности – нечётная функция;

– сумма и разность чётных функций – чётная функция;

– сумма и разность нечётных функций – нечётная функция.

ПРИМЕР:

Найти значения тригонометрических функций угла

α = – ^π/_3.

РЕШЕНИЕ:

Используя нечётность функций  

sin α, cosec α, tg α  и  ctg α,

получим:

Используя чётность функций  cos α  и  sec α, получим:

cos (–^π/₃) = cos ^π/₃ = ¹/₂,

sec (–^π/₃) = sec ^π/₃ = 2.

ПРИМЕР:

Найти значение

sin (–72°).

РЕШЕНИЕ:

sin (–72°) = – sin 72° = –0,9511.

ОТВЕТ:  –0,9511.

ПРИМЕР:

Найти значение

соs (–108°).

РЕШЕНИЕ:

соs (–108°) = соs 108° =

соs (90° + 18°) =

– sin 18° = –0,3090.

ОТВЕТ:  –0,3090.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = sin х ∙ соs х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = sin (–х) ∙ соs (–х) =

–sin х ∙ соs х = –у(х).

Следовательно, функция

 у = sin х ∙ соs х.  

является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

РЕШЕНИЕ:

Следовательно,

функция является чётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = tg х + сtg х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = tg (–х) + ctg (–х) =

–tg х – сtg х = –(tg х + сtg х) = –у(х).

Следовательно, функция

 у = tg х + сtg х.  

является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = x – sin х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = –x – sin (–х) =

–x + sin х = –(x – sin x) = –у(х).

Следовательно, функция

 у = x – sin х.  

является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = sin х – соs х.

РЕШЕНИЕ:

у(–х) = sin (–х) – соs (–х) =

–sin х – соs х.

у(–х) ≠ у(х),

у(–х) ≠ –у(х).

Следовательно, функция

 у = sin х – соs х 

не является ни чётной, ни нечётной, то есть это функция общего вида

ПРИМЕР:

Функция   f(x) = x² + cos x  является чётной, так как

f(–x) = (–x)² + cos (–x) =

= x² + cos x = f(x).

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

sin (–721°) = –sin 1°.

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом  360°, то получим

sin (–721°) = –sin 721° =

= –sin (720° + 1°) = –sin 1°.

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

cos (–13π) = –1.

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом  2π, то получим

cos (–13π) = cos 13π =

cos (π + 6 ∙ 2π) = cos π = –1.

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований