Урок 20. Формулы приведения (2)

ВИДЕО УРОК

Как запомнить формулы приведения.

Для того чтобы запомнить эти формулы, можно руководствоваться следующими правилами:

Если к углу  α  прибавляется нечётное число раз  90°  или на  n ∙ 90°, где  n – нечётное число (1  или  3), отнимается  α, то тригонометрическая функция заменяется сходной по названию, то есть косинус заменяется на синус, синус – на косинус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс.

Если к углу  α  прибавляется чётное число раз взятое  90°  или на  n ∙ 90°, где  n – чётное число (0, 2, 4), отнимается угол  α, то название тригонометрической функции не меняется.

Что касается знака, то его проще всего определить из геометрических соображений, считая угол  α  острым.

ПРИМЕР:

соs (90° + α) = –sin α.

Девяносто градусов  к углу  α  прибавлено один раз, значит, косинус заменяется синусом.

Далее, если  α – острый угол, то  α + 90°  угол второй четверти, а в этой четверти косинус отрицателен, значит перед  sin α  справа надо взять знак минус.

ПРИМЕР:

sin (180° – α) = sin α.

Девяносто градусов  берётся два раза и из этого угла отнимается  α, значит, название синус не меняется.

Далее, если  α – острый угол, то  180° – α  угол второй четверти, а в этой четверти синус положительный, значит перед  sin α  справа надо взять знак плюс.

ПРИМЕР:

tg (270° – α) = ctg α.

Девяносто градусов  берётся три раза и из этого угла отнимается  α, значит, тангенс заменяется на котангенс.

Далее, если  α – острый угол, то  270° – α  угол третьей четверти, а в третьей четверти тангенс положительный, значит перед  ctg α  справа надо взять знак плюс.

ПРИМЕР:

cosec (^π/₂ + α) = sec α.

К углу  α  прибавляется  ^π/₂, взятое один раз, значит косеканс заменится на секанс.

Далее, если  α – острый угол, то  ^π/₂ + α  угол второй четверти, а во второй четверти косеканс положительный, значит перед  sec α  справа надо взять знак плюс.

ПРИМЕР:

Найти  sin 210°.

Так как

180° < 210° < 270°,

то данный угол можно представить или как  180° + 30°  или как  270° – 60°, а потому имеем:

sin 210° = sin (180° + 30°).

Согласно правилу устанавливаем, что название функции не изменяется. Так как синус угла, оканчивающегося в третьей четверти отрицателен, то имеем:

sin 210° = sin (180° + 30°) =

= –sin 30° = – ¹/₂.

Если мы представим угол  210°  в виде  270° – 60°, то получим тот же результат:

sin 210° = sin (270° – 60°) =

= –соs 60° = – ¹/₂.

ПРИМЕР:

Найти  соs ^5π/₆.

Имеем:

или

ПРИМЕР:

sin 140° привести к синусу острого угла, меньшего  45°.

Так как  140° = 180° – 40°, то

sin 140° = sin (180° – 40°) =

= sin 40° ≈ 0,6428.

ПРИМЕР:

сtg 314°20' привести к тангенсу острого угла.

Так как  314°20' = 270° + 44°20', то

сtg 314°20' = сtg (270° + 44°20') =

= –tg 44°20' ≈ –0,9770.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Привести к тригонометрической функции угла  α  функцию 

sin (α – 270°).

На основании периодичности синуса имеем:

sin (α – 270°) = sin (α – 270° + 360°) =

= sin (90° + α) = соs α,

или на основании формулы

sin (–α) = – sin α   получим:

sin (α – 270°) = – sin (270° – α) =

= –(–соs α) = соs α.

ПРИМЕР:

Найдите значение:

sin 430°.

РЕШЕНИЕ:

sin 430° = sin (360° + 70°) = sin 70° = 0,9397.

ОТВЕТ:  0,9397.

Если учесть, что прибавление целого числа оборотов  360°n, или  2πn, где  n – целое число, к аргументу тригонометрических функций на значение функции не влияет, то, пользуясь этим свойством и формулами, любую тригонометрическую функцию произвольного угла можно привести к функции острого угла. Для приведения тригонометрических функций произвольного угла к функциям острого угла удобно представлять произвольный угол в виде

90° n + α, тогда 

где  k = 0; ±1; ±2; …

Из формул вытекает следующее правило.

Любая тригонометрическая функция угла

90°n + α,

по абсолютной величине равна той же самой функции угла  α, если число  n – чётное, и сходственной функции, если  n – число нечётное. При этом, если функция угла 

90°n + α 

положительна, (когда  α – острый угол), то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны.

ПРИМЕР:

Привести  tg 3728°  к функции острого угла.

Представим угол 

3728° = 90° ∙ 41 + 38°;

Тогда согласно формуле

tg (90° ∙ n + α) = –ctg α, если  n = 2k + 1

tg (90° ∙ 41 + 38°) = –ctg 38°.

ПРИМЕР:

α = 777°. Привести синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

РЕШЕНИЕ:

Представим угол  α = 777°  в необходимом виде:

777° = 57° + 360° × 2,

777° = 90° – 33° + 360° × 2.

Исходный угол – угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем:

sin 777° = sin (57° + 360° × 2) = sin 57°,

sin 777° = sin (90° – 33° + 360° × 2) = cos 33°.

ПРИМЕР:

Найдите значение:

cos 550°.

РЕШЕНИЕ:

cos 550° = cos (360° × 2 – 170°) =

 cos (–170°) = cos (180° – 10°) =

–cos 10° = –0,9848.

ОТВЕТ:  –0,9848.

ПРИМЕР:

Найдите значение:

cos 1640°.

РЕШЕНИЕ:

Разделим  1640°  на  360°, получаем в частном  4  и в остатке  200°. Тогда имеем:

cos 1640° = cos (360° × 4 + 200°),

или на основании свойства периодичности получим:

cos (360° × 4 + 200°) = cos 200°.

Далее, по формулам приведения находим:

cos 200° = cos (180° + 20°) = –cos 20° = –0,9397.

ПРИМЕР:

Найдите значение:

sin (–1320°).

РЕШЕНИЕ:

Применяя формулу

sin (–α) = –sin α,

имеем:

sin (–1320°) = –sin 1320°,

а дальше поступаем, как в предыдущем примере:

ПРИМЕР:

Найти

tg 7,4700.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

tg 7,4700 ≈ tg (3,1416 × 2 + 1,1868) =

= tg 1,1868 ≈ tg 68° ≈ 2475.

ПРИМЕР:

Найти

sin (–3).

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin (–3) = –sin 3 ≈ sin 171°54' =

= – sin 8°06'  = –0,1409.

Мнемоническое правило.

Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника – искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трёх частей, или содержит три этапа.

 1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов:

± α + 2πz,

^π/₂  ± α + 2πz,

π ± α + 2πz,

^3π/₂   ± α + 2πz.

Угол  α  должен лежать в пределах от  0°  до  90°. 

 2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.

 3. Для углов

±α + 2πz  и  π ± α + 2πz

название исходной функции остаётся неизменным, а для углов

^π/₂ ± α + 2πz  и  ^3π/₂ ± α + 2πz

соответственно меняется на “кофункцию”. Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс.

Чтобы пользоваться мнемоническим правилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности.

ПРИМЕР:

Запишем формулы приведения для 

cos (^π/₂ – α + 2πz), 

tg (π – α + 2πz),

α – угол первой четверти.

РЕШЕНИЕ:

Так как по условию  α – угол первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила.

Определим знаки функций 

cos (^π/₂ – α + 2πz)  и 

tg (π – α + 2πz).

Угол 

^π/₂ – α + 2πz 

также является углом первой четверти, а угол 

π – α + 2πz 

находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе

cos (^π/₂ – α + 2πz) = + 

tg (π – α + 2πz) = –

Согласно третьему пункту для угла 

^π/₂ – α + 2πz 

название функции изменяется на конфуцию, а для угла

π – α + 2πz 

остаётся прежним. Запишем:

cos (^π/₂ – α + 2πz) = + sin α 

tg (π – α + 2πz) = – tg α

ЗАДАЧА:

Выяснить, является ли функция

у = 2 + sin х cos (^3π/₂ + х)

чётной или нечётной.

РЕШЕНИЕ:

Используя формулу приведения, запишем данную функцию следующим образом:

у = 2 + sin² х.

Имеем:

у(–х) = 2 + sin² (–х) = 2 + (–sin х)² =

= 2 + sin² х = у(х).

Данная функция является чётной.

Тригонометрические функции дополнительных углов.

Два угла, сумма которых равна  90°, называются дополнительными углами.

Острые углы прямоугольного треугольника являются дополнительными по отношению друг к другу.

Если в прямоугольном треугольнике  АВС (∠ С = 90°)  острый угол  ∠ ВАС = α,

то второй острый угол  ∠ АВС = 90° – α.

Из чертежа имеем:

sin (90° – α) = ^b/_c = cos α,

Синус одного из двух дополнительных углов равен косинусу второго.

cos (90° – α) = ^a/_c = sin α,

Косинус одного из двух дополнительных углов равен синусу второго.

tg (90° – α) = ^b/_a = ctg α,

Тангенс одного из двух дополнительных углов равен котангенсу второго.

ctg (90° – α) = ^a/_b = tg α,

Котангенс одного из двух дополнительных углов равен тангенсу второго.

ПРИМЕР:

sin 30° = cos 60°,

cos 30° = sin 60°,

sin 72° = cos 18°,

tg 13°20' = ctg 76°40'.

Знание соотношений между тригонометрическими функциями дополнительных углов важно для понимания устройства тригонометрических таблиц.

Сходными (по названию) тригонометрическими функциями будем соответственно называть синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс.

Сходные тригонометрические функции дополнительных углов равны между собой.

Докажем сначала, что

sin (^π/₂ – α) = cos α,

cos (^π/₂ – α) = sin α.

Предположим для определенности, что

^π/₂ < α < π,

тогда угол  β = ^π/₂ – α  удовлетворяет неравенствам

–^π/₂ < β < 0.

Построим теперь с помощью подвижного единичного радиуса-вектора  r  углы

АОЕ = α  и  АОЕ₁ = –β ˃ 0.

Заметим, что  ∆ В₁ОЕ₁ = ∆ ВЕО  (они прямоугольные, имеют равные  гипотенузы

и равные острые углы:

∠ ВЕО = α – ^π/₂ = –β = В₁ОЕ₁).

Из равенства треугольников имеем 

–х = у₁  и  х₁ = у.

Следовательно,

sin (– β) = sin (α – ^π/₂) = у₁ = –х = –cos α,

откуда  sin (α – ^π/₂) = –cos α, но в силу нечётности синуса 

sin (α – ^π/₂) = –sin (^π/₂ – α),

имеем sin (α – ^π/₂) = cos α.

Аналогично доказывается, что

cos (^π/₂ – α) = sin α.

Для остальных функций можно доказательство вести так:

При доказательстве мы считали, что угол  α  задан в радианах. Соответствующие формулы для угла  α, измеренного в градусной мере, легко получить заменив  ^π/₂  на  90°.

При доказательстве мы предположили для определённости, что угол  α  удовлетворяет неравенствам  ^π/₂ < α < π. Можно показать, что приведённые выше равенства остаются в силе и в случае любого угла  α  (как положительного, так и отрицательного).

ПРИМЕР:

sin (45° + α) = cos (45° – α),

tg (45° + α) = ctg (45° – α),

sin (60° + α) = cos (30° – α),

sin (30° – α) = cos (60° + α).

ПРИМЕР:

Заменить данные тригонометрические функции тригонометрическими функциями дополнительного угла:

cos ^π/₃ = sin (^π/₂ – ^π/₃) = sin ^π/₆ = ¹/₂.

tg 18° = ctg (90° – 18°) = сtg 72°,

сtg 31°29'32'' = tg (90° – 31°29'32'') =

= tg 58°30'28'',

Эти формулы вместе с формулами приведения позволяют привести любую тригонометрическую функцию произвольного угла к функции положительного угла  α, не превышающего  45°.

Задания к уроку 20

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований