Урок 20. Формули зведення (2)

ВІДЕО УРОК

Як запам'ятати формули наведення.

Для того, щоб запам'ятати ці формули, можна керуватися такими правилами:

Якщо до кута α додається непарне число разів  90°  або на  n ∙ 90°, де  n – непарне число (1  або  3), віднімається α, то тригонометрична функція замінюється подібною за назвою, тобто косинус замінюється на синус, синус – на косинус , тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс.

Якщо до кута  α  додається парна кількість разів взята  90°  або на  n ∙ 90°, де  n – парне число  (0, 2, 4), віднімається кут  α, то назва тригонометричної функції не змінюється.

Що ж до знака, його найпростіше визначити з геометричних міркувань, вважаючи кут  α  гострим.

ПРИКЛАД:

соs (90° + α) = –sin α.

Дев'яносто градусів до кута α додано один раз, отже, косинус замінюється синусом.

Далі, якщо  α – гострий кут, то  α + 90° кут другої чверті, а цієї чверті косинус негативний, отже перед  sin α  справа треба взяти знак мінус.

ПРИКЛАД:

sin (180° – α) = sin α.

Дев'яносто градусів береться двічі і з цього кута віднімається  α, отже, назва синус не змінюється.

Далі, якщо  α – гострий кут, то  180° – α кут другої чверті, а цієї чверті синус позитивний, отже перед  sin α  справа треба взяти знак плюс.

ПРИКЛАД:

tg (270° – α) = ctg α.

Дев'яносто градусів береться тричі і з цього кута віднімається  α, отже, тангенс замінюється на котангенс.

Далі, якщо  α – гострий кут, то  270° – α кут третьої чверті, а третьої чверті тангенс позитивний, отже перед  ctg α  справа треба взяти знак плюс.

ПРИКЛАД:

cosec (^π/₂ + α) = sec α.

До кута  α  додається  ^π/₂, взятий один раз, значить косеканс заміниться на секанс.

Далі, якщо  α – гострий кут, то  ^π/₂ + α  кут другої чверті, а другої чверті косеканс позитивний, отже перед  sec α  справа треба взяти знак плюс.

ПРИКЛАД:

Знайти  sin 210°.

Так як

180° < 210° < 270°,

то даний кут можна уявити або як  180° + 30°  або як  270° – 60°, а тому маємо:

sin 210° = sin (180° + 30°).

Відповідно до правила встановлюємо, що назва функції не змінюється. Оскільки синус кута, що закінчується в третій чверті негативний, маємо:

sin 210° = sin (180° + 30°) =

= –sin 30° = – ¹/₂.

Якщо ми представимо кут  210°  у вигляді  270° – 60°, то отримаємо той же результат:

sin 210° = sin (270° – 60°) =

= –соs 60° = – ¹/₂.

ПРИКЛАД:

Знайти  соs ^5π/₆.

Маємо:

або

ПРИКЛАД:

sin 140° привести до синуса гострого кута, меншого за  45°.

Так як  140° = 180° – 40°, то

sin 140° = sin (180° – 40°) =

= sin 40° ≈ 0,6428.

ПРИКЛАД:

сtg 314°20' привести до тангенсу гострого кута.

Так як  314°20' = 270° + 44°20', то

сtg 314°20' = сtg (270° + 44°20') =

= –tg 44°20' ≈ –0,9770.

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

Привести до тригонометричної функції кута  α  функцію 

sin (α – 270°).

На підставі періодичності синусу маємо:

sin (α – 270°) = sin (α – 270° + 360°) =

= sin (90° + α) = соs α,

або на підставі формули

sin (–α) = – sin α   отримаємо:

sin (α – 270°) = – sin (270° – α) =

= –(–соs α) = соs α.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

sin 430°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 430° = sin (360° + 70°) = sin 70° = 0,9397.

ВІДПОВІДЬ:  0,9397.

Якщо врахувати, що збільшення кількості обертів  360°n, або  2πn, де  n – ціле число, до аргументу тригонометричних функцій на значення функції не впливає, то, користуючись цією властивістю і формулами, будь-яку тригонометричну функцію довільного кута можна привести до функції гострого кута . Для приведення тригонометричних функцій довільного кута до функцій гострого кута зручно представляти довільний кут я

90° n + α, тоді

де  k = 0; ±1; ±2; …

З формул випливає таке правило.

Будь-яка тригонометрична функція кута

90°n + α,

по абсолютній величині дорівнює тій же функції кута  α, якщо число  n – парне, і подібної функції, якщо  n – число непарне. При цьому, якщо функція кута 

90°n + α 

позитивна (коли  α – гострий кут), то знаки обох функцій однакові; якщо негативна, то різні.

ПРИКЛАД:

Привести  tg 3728°  до функції гострого кута.

Уявимо кут 

3728° = 90° ∙ 41 + 38°;

Тоді згідно з формулою

tg (90° ∙ n + α) = –ctg α, якщо  n = 2k + 1

tg (90° ∙ 41 + 38°) = –ctg 38°.

ПРИКЛАД:

α = 777°. Привести синус альфа до тригонометричної функції гострого кута.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Представимо кут  α = 777°  у необхідному вигляді:

777° = 57° + 360° × 2,

777° = 90° – 33° + 360° × 2.

Вихідний кут – кут першої чверті. Отже, синус кута має позитивний знак. У результаті маємо:

sin 777° = sin (57° + 360° × 2) = sin 57°,

sin 777° = sin (90° – 33° + 360° × 2) = cos 33°.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

cos 550°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos 550° = cos (360° × 2 – 170°) =

 cos (–170°) = cos (180° – 10°) =

–cos 10° = –0,9848.

ВІДПОВІДЬ:  –0,9848.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

cos 1640°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділимо  1640°  на  360°, отримуємо в частки  4  і залишку  200°. Тоді маємо:

cos 1640° = cos (360° × 4 + 200°),

або на підставі властивості періодичності отримаємо:

cos (360° × 4 + 200°) = cos 200°.

Далі, за формулами наведення знаходимо:

cos 200° = cos (180° + 20°) = –cos 20° = –0,9397.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

sin (–1320°).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосовуючи формулу

sin (–α) = –sin α,

маємо:

sin (–1320°) = –sin 1320°,

а далі чинимо, як у попередньому прикладі:

ПРИКЛАД:

Знайти

tg 7,4700.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

tg 7,4700 ≈ tg (3,1416 × 2 + 1,1868) =

= tg 1,1868 ≈ tg 68° ≈ 2475.

ПРИКЛАД:

Знайти

sin (–3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

sin (–3) = –sin 3 ≈ sin 171°54' =

= – sin 8°06'  = –0,1409.

Мнемонічне правило.

Існують закономірності, по яких можна виводити формули приведення для різних кутів і тригонометричних функцій. Ці закономірності називаються мнемонічним правилом. Мнемоніка - мистецтво запам'ятовування. Мнемонічне правило складається з трьох частин, або містить три етапи.

 1. Аргумент початкової функції представляється в одному з видів:

±α + 2πz,

^π/₂ ± α + 2πz,

π ± α + 2πz,

^3π/₂ ± α + 2πz.

Кут  α  повинен лежати в межах від  0°  до  90°. 

 2. Визначається знак початкової тригонометричної функції. Такий же знак матиме функція, записувана в правій частині формули.

 3. Для кутів 

±α + 2πz  і  π ± α + 2πz

назва початкової функції залишається незмінним, а для кутів 

^π/₂ ± α + 2πz  і  ^3π/₂ ± α + 2πz

відповідно міняється на "кофункцію". Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс.

Щоб користуватися мнемонічним правилом для формул приведення треба уміти визначати знаки тригонометричних функцій по чвертях одиничного кола.

ПРИКЛАД:

Запишемо формули приведення для

cos (^π/₂ – α + 2πz), 

tg (π – α + 2πz),

α – кут першої чверті.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки по умові  α – кут першої чверті, ми пропускаємо перший пункт правила.

Визначимо знаки функцій

cos (^π/₂ – α + 2πz)  и 

tg (π – α + 2πz).

Кут

^π/₂ – α + 2πz 

також є кутом першої чверті, а кут

π – α + 2πz 

знаходиться в другій чверті. У першій чверті функція косинуса позитивна, а тангенс в другій чверті має знак мінус. Запишемо, як виглядатимуть шукані формули на цьому етапі

cos (^π/₂ – α + 2πz) = + 

tg (π – α + 2πz) = –

Згідно з третім пунктом для кута

^π/₂ – α + 2πz 

назва функції змінюється на конфуцію, а для кута

π – α + 2πz 

залишається тим самим. Запишемо:

cos (^π/₂ – α + 2πz) = + sin α 

tg (π – α + 2πz) = – tg α.

ЗАДАЧА:

З'ясувати, чи є функція

у = 2 + sin х cos (^3π/₂ + х)

парної чи непарної.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Використовуючи формулу приведення, запишемо цю функцію так:

у = 2 + sin² х.

Маємо:

у(–х) = 2 + sin² (–х) = 2 + (–sin х)² =

= 2 + sin² х = у(х).

Ця функція є парною.

Тригонометричні функції додаткових кутів.

Два кути, сума яких дорівнює  90°, називаються додатковими кутами.

Гострі кути прямокутного трикутника є додатковими один до одного.

Якщо у прямокутному трикутнику  АВС (∠ С = 90°)  гострий кут  ∠ ВАС = α,

другий гострий кут  ∠ АВС = 90° – α.

З креслення маємо:

sin (90° – α) = ^b/_c = cos α,

Синус одного з двох додаткових кутів дорівнює косинусу другого.

cos (90° – α) = ^a/_c = sin α,

Косинус одного з двох додаткових кутів дорівнює синусу другого.

tg (90° – α) = ^b/_a = ctg α,

Тангенс одного з двох додаткових кутів дорівнює котангенсу другого.

ctg (90° – α) = ^a/_b = tg α,

Котангенс одного з двох додаткових кутів дорівнює тангенсу другого.

ПРИКЛАД:

sin 30° = cos 60°,

cos 30° = sin 60°,

sin 72° = cos 18°,

tg 13°20' = ctg 76°40'.

Знання співвідношень між тригонометричними функціями додаткових кутів є важливим для розуміння пристрою тригонометричних таблиць.

Подібними (за назвою) тригонометричними функціями відповідно називатимемо синус і косинус, тангенс і котангенс, секанс і косеканс.

Подібні тригонометричні функції додаткових кутів рівні між собою.

Доведемо спочатку, що

sin (^π/₂ – α) = cos α,

cos (^π/₂ – α) = sin α.

Припустимо для певності, що

^π/₂ < α < π,

тоді кут  β = ^π/₂ – α  задовольняє нерівності

–^π/₂ < β < 0.

Побудуємо тепер за допомогою рухомого одиничного радіусу-вектора  r  кути

АОЕ = α  і  АОЕ₁ = –β ˃ 0.

Зауважимо, що  ∆ В₁ОЕ₁ = ∆ ВЕО  (вони прямокутні, мають рівні гіпотенузи

і рівні гострі кути:

∠ ВЕО = α – ^π/₂ = –β = В₁ОЕ₁).

З рівності трикутників маємо 

–х = у₁  і  х₁ = у.

Отже,

sin (– β) = sin (α – ^π/₂) = у₁ = –х = –cos α,

звідки  sin (α – ^π/₂) = –cos α, але через непарності синуса 

sin (α – ^π/₂) = –sin (^π/₂ – α),

маємо  sin (α – ^π/₂) = cos α.

Аналогічно доводиться, що

cos (^π/₂ – α) = sin α.

Для інших функцій можна підтвердження вести так:

За доказом ми вважали, що кут  α  заданий у радіанах. Відповідні формули для кута  α, виміряного градусною мірою, легко отримати замінивши  ^π/₂  на  90°.

За доказом ми припустили для певності, що кут  α  відповідає нерівностям  ^π/₂ < α < π. Можна показати, що наведені вище рівності залишаються в силі і у разі будь-якого кута  α  (як позитивного, так і негативного).

ПРИКЛАД:

sin (45° + α) = cos (45° – α),

tg (45° + α) = ctg (45° – α),

sin (60° + α) = cos (30° – α),

sin (30° – α) = cos (60° + α).

ПРИКЛАД:

Замінити дані тригонометричні функції тригонометричними функціями додаткового кута:

cos ^π/₃ = sin (^π/₂ – ^π/₃) = sin ^π/₆ = ¹/₂.

tg 18° = ctg (90° – 18°) = сtg 72°,

сtg 31°29'32'' = tg (90° – 31°29'32'') =

= tg 58°30'28'',

Ці формули разом із формулами приведення дозволяють привести будь-яку тригонометричну функцію довільного кута до функції позитивного кута α, що не перевищує  45°.

Завдання до уроку 20

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень