Урок 24. Формули перетворення суми тригонометричних функцій в добуток

ВІДЕО УРОК

Перетворення на добуток суми та різниці двох синусів або косинусів.

На підставі формул

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у,

sin (х– у) = sin х cos у – cos х sin у,

в результаті почленного складання та віднімання цих рівностей отримаємо:

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (х – у) = 2 cos х sin у.

Покладемо у цих рівностях

х + у = α,

х – у = β.

Вирішуючи ці два рівняння щодо  х  і  у, знаходимо:

У рівності 

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (х – у) = 2 cos х sin у

підставляємо вирази для  х + у, х – у, х  і  у  з рівностей

Отримаємо таку формулу:

Сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на косинус їхньої напіврізності.

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

1 + sin α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

1 + 2 sin α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Різниця синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми цих кутів на синус їхньої напіврізності.

В отриманих рівностях  α  і  β – будь-які кути, оскільки які б не були  α  та  β, завжди знайдуться такі  х  і  у, для яких

х + у = α,

х – у = β.

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

√͞͞͞͞͞3 – 2 sin α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Винесемо за дужки  2  у цьому виразі і після цього замінимо

через  sin 60°, отримаємо:

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

sin² α – sin² β.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin² α – sin² β = (sin α + sin  β)( sin α – sin  β) =

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

sin х + соs 2х – sin 3х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin х + соs 2х – sin 3х = соs 2х – (sin 3х – sin х) =

= соs 2х – 2 sin х соs 2х = 2 соs 2х (0,5 – sin х) =

Запишемо формули косинуса суми двох кутів:

cos (х + у) = cos х cos у – sin х sin у.

соs (х – у) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное складання цих рівностей дає таке співвідношення:

cos (х + у) + cos (х – у) = 2 соs х cos у,

Якщо в кожній з цих рівностей перейти від  х  і  у  до  α  і  β  на підставі рівностей

х + у = α,

х – у = β,

то отримаємо таку формулу:

Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми цих кутів на косинус їх напіврізності.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

соs  48° + соs 12°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞3 соs 18°

Запишемо формули косинуса суми та косинуса різниці двох кутів:

cos (х + у) = cos х cos у – sin х sin у.

соs (х – у) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное віднімання цих рівностей дає таке співвідношення:

cos (х + у) – cos (х – у) = –2 sin х sin у.

Якщо в кожній з цих рівностей перейти від  х  і  у  до  α  і  β  на підставі рівностей

х + у = α,

х – у = β,

то отримаємо таку формулу:

або, тому що

то формула набуде вигляду:

Різниця косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на синус зворотної напіврізності, тобто напіврізності, в якій зменшується кут, що стоїть під знаком віднімається функції в лівій частині.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

соs  48° – соs 12°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосувавши формулу різниці косинусів при

α = 48°, β = 12°,

отримаємо:

ВІДПОВІДЬ:  –sin 18°

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

соs  5° – соs 35°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:  2 sin 20° sin 15°

ПРИМЕР:

Перетворити на добуток:

cos² α – cos² β.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos² α – cos² β = (cos α + cos β)(cos α – cos β) =

ПРИКЛАД:

Довести тотожність.

Перегрупувавши у лівій частині тотожності доданки в чисельнику і знаменнику, а потім скориставшись формулами

знайдемо

що треба було довести.

 ПРИКЛАД:

Довести тотожність.

Перетворимо ліву частину тотожності так:

що й треба було довести.

Тими ж формулами можна скористатися для перетворення на добуток сум та різниць виду

sin α + соs β,

sin α – соs β.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

sin α + соs α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin α + соs α = sin α + sin (90° – α) =

= 2 sin 45° соs (45° – α) = √͞͞͞͞͞2 соs (45° – α).

ПРИКЛАД:

Різниця

sin 96° – соs 36°

можна замінити різницею

sin 96° – sin 54°,

яка дорівнює:

ПРИКЛАД:

Суму

соs 10° + sin 100°

можна замінити сумою

sin 80° + sin 100° =

= 2 sin 90°соs 10° = 2 соs 10°.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

1 + sin α + соs α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 + sin α + соs α = (1 + соs α) + sin α =

= 2 соs^{2 α}/₂ + 2 sin ^α/₂ соs ^α/₂ =

= 2 соs ^α/₂ (соs ^α/₂ + sin ^α/₂) =

= 2 соs ^α/₂ [sin (^π/₂ – ^α/₂) + sin ^α/₂] =

= 2 соs ^α/₂ 2 sin ^π/₄ cos (^π/₄ – ^α/₂) =

= 2√͞͞͞͞͞2 cos ^α/₂ cos (^π/₄ – ^α/₂).

Перетворення на добуток суми та різниці двох тангенсів або котангенсів.

Сума тангенсів кутів  α  і  β  перетворюється на добуток наступним чином:

або

Сума тангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус суми даних кутів, а знаменник – добуток косинусів тих самих кутів.

Аналогічно перетворюється на добуток різниця тангенсів кутів  α  і  β:

або

Різниця тангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус різниці даних кутів, а знаменник - добуток косинусів тих же кутів.

В результаті складання котангенсів двох кутів отримаємо:

або, в остаточному вигляді:

Сума котангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус суми двох кутів, а знаменник – добуток синусів тих самих кутів.

Виведемо формулу, що виражає різницю котангенсів двох кутів:

Отже,

Різниця котангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус зворотної різниці даних кутів, а знаменник – добуток синусів тих самих кутів.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

tg 20° + tg 70°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Довести, що

tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81° = 4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81° =

= (tg 9° + tg 81°) – (tg 27° + tg 63°).

Але

Тоді

tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81° =

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму.

З формули

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

слід

Добуток синуса одного кута на косинус іншого дорівнює напівсумі синуса суми даних кутів та синуса різниці даних кутів.

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

sin 43° cos 19°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулою:

при  α = 43°, β = 19°, отримаємо:

ВІДПОВІДЬ:

¹/₂ (sin 62° + sin 24°)

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

sin 50° cos 30°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 50° cos 30° = ¹/₂ (sin 80° + sin 20°).

З формули

cos (х + у) + cos (х – у) = 2 соs х cos у

маємо:

Добуток косинусів двох кутів дорівнює напівсумі косинуса суми цих кутів і косинуса їх різниці.

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

cos 25° cos 59°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos 25° cos 59° = ¹/₂ (cos 84° + cos 34°).

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

у = cos х cos 6х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулою

cos х cos у = ¹/₂ [cos (х + у) + cos (х – у)]

отримаємо

у = cos х cos 6х =

¹/₂ [cos (х – 6х) + cos (х + 6х)] =

= ¹/₂ cos 5х + ¹/₂ cos 7х.

Період функції

у = cos 5х, равен  Т₁ = ^2π/₅.

Період функції

у = cos 7х, дорівнює  Т₂ = ^2π/₇.

Найменше число, при розподілі якого на

Т₁ = ^2π/₅  і  Т₂ = ^2π/₇

виходять цілі числа, число  2π. Отже, період заданої функції дорівнює  Т = 2π.

ВІДПОВІДЬ:  2π

З формули

cos (х + у) – cos (х – у) = –2 sin х sin у,

слід

Добуток синусів двох кутів дорівнює напіврізності косинуса різниці цих кутів та косинуса їх суми.

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

sin 70° sin 15°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 70° sin 15° = ¹/₂ (cos 55° – cos 85°).

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

A = sin 3α sin³ α + cos 3α cos³ α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо цей вираз таким чином:

A = (sin 3α sin α) sin² α + (cos 3α cos α) cos² α.

Скориставшись тепер формулами

знаходимо

A = ¹/₂ (cos 2α – cos 4α) sin² α + ¹/₂ (cos 2α + cos 4α) cos² α =

¹/₂ cos 2α (sin² α + cos² α) + ¹/₂ cos 4α (cos² α – sin² α) =

¹/₂ cos 2α + ¹/₂ cos 4α cos 2α = ¹/₂ cos 2α (1 + cos 4α) =

¹/₂ cos 2α 2cos² 2α = cos³ 2α.

ПРИКЛАД:

Довести тотожність:

1 – cos α – sin α = 2√͞͞͞͞͞2 sin ^α/₂ sin (^α/₂ – ^π/₄).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо праву частину рівності:

2√͞͞͞͞͞2 sin ^α/₂ sin (^α/₂ – ^π/₄) =

= 2√͞͞͞͞͞2 sin ^α/₂ (sin ^α/₂ cos ^π/₄ – sin ^α/₂ cos ^π/₄) =

= 2 sin^{2 α}/₂ – 2 sin ^α/₂ cos ^α/₂ = 1 – cos α – sin α.

Формули, які потрібно запам'ятати.

Завдання до уроку 24

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень