Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 19 марта 2019 г.

Урок 24. Формули перетворення суми тригонометричних функцій в добуток

ВІДЕО УРОК
Перетворення на добуток суми та різниці двох синусів або косинусів.

На підставі формул

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у,

sin (ху) = sin х cos у – cos х sin у,

в результаті почленного складання та віднімання цих рівностей отримаємо:

sin (х + у) + sin (ху) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (ху) = 2 cos х sin у.

Покладемо у цих рівностях

х + у = α,

х – у = β.

Вирішуючи ці два рівняння щодо  х  і  у, знаходимо:

У рівності 

sin (х + у) + sin (ху) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (ху) = 2 cos х sin у

підставляємо вирази для  х + у, х – у, х  і  у  з рівностей
Отримаємо таку формулу:
Сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на косинус їхньої напіврізності.

ПРИ
КЛАД:
ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

1 + sin α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

1 + 2 sin α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Різниця синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми цих кутів на синус їхньої напіврізності.

В отриманих рівностях  α  і  β – будь-які кути, оскільки які б не були  α  та  β, завжди знайдуться такі  х  і  у, для яких

х + у = α,

х – у = β.

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

√͞͞͞͞͞3 – 2 sin α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Винесемо за дужки  2  у цьому виразі і після цього замінимо
через  sin 60°, отримаємо:
ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

sin2 α – sin2 β.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin2 α – sin2 β = (sin α + sin  β)( sin α – sin  β) =

ПРИ
КЛАД:

Перетворити на добуток:

sin х + соs 2х – sin 3х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin х + соs 2х – sin 3х = соs 2х – (sin 3х – sin х) =

= соs 2х – 2 sin х соs 2х = 2 соs 2х (0,5 – sin х) =
Запишемо формули косинуса суми двох кутів:

cos (х + у) = cos х cos у – sin х sin у.

соs (ху) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное складання цих рівностей дає таке співвідношення:

cos (х + у) + cos (ху) = 2 соs х cos у,

Якщо в кожній з цих рівностей перейти від  х  і  у  до  α  і  β  на підставі рівностей

х + у = α,

х – у = β,
то отримаємо таку формулу:
Сума косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку косинуса напівсуми цих кутів на косинус їх напіврізності.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

соs  48° + соs 12°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:
ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞3 соs 18°

Запишемо формули косинуса суми та косинуса різниці двох кутів:

cos (х + у) = cos х cos у – sin х sin у.

соs (ху) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное віднімання цих рівностей дає таке співвідношення:

cos (х + у) – cos (ху) = –2 sin х sin у.

Якщо в кожній з цих рівностей перейти від  х  і  у  до  α  і  β  на підставі рівностей

х + у = α,

х – у = β,
то отримаємо таку формулу:
або, тому що
то формула набуде вигляду:
Різниця косинусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на синус зворотної напіврізності, тобто напіврізності, в якій зменшується кут, що стоїть під знаком віднімається функції в лівій частині.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

соs  48° – соs 12°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосувавши формулу різниці косинусів при

α = 48°, β = 12°,

отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:  –sin 18°

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

соs   – соs 35°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:  2 sin 20° sin 15°

ПРИМЕР:

Перетворити на добуток:

cos2 α – cos2 β.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos2 α – cos2 β = (cos α + cos β)(cos α – cos β) =
ПРИКЛАД:

Довести тотожність.

Перегрупувавши у лівій частині тотожності доданки в чисельнику і знаменнику, а потім скориставшись формулами
знайдемо
що треба було довести.

 ПРИКЛАД:

Довести тотожність.
Перетворимо ліву частину тотожності так:
що й треба було довести.

Тими ж формулами можна скористатися для перетворення на добуток сум та різниць виду

sin α + соs β,

sin α – соs β.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

sin α + соs α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin α + соs α = sin α + sin (90°α) =

= 2 sin 45° соs (45°α) = √͞͞͞͞͞2 соs (45°α).

ПРИКЛАД:

Різниця

sin 96° – соs 36°

можна замінити різницею

sin 96° sin 54°,

яка дорівнює:
ПРИКЛАД:

Суму

соs 10° + sin 100°

можна замінити сумою

sin 80° + sin 100° =

= 2 sin 90°соs 10° = 2 соs 10°.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

1 + sin α + соs α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 + sin α + соs α = (1 + соs α) + sin α =

= 2 соs2 α/2 + 2 sin α/2 соs α/2 =

= 2 соs α/2 (соs α/2 + sin α/2) =

= 2 соs α/2 [sin (π/2 α/2) + sin α/2] =

= 2 соs α/2 2 sin π/4 cos (π/4α/2) =

= 2√͞͞͞͞͞2 cos α/2 cos (π/4α/2).

Перетворення на добуток суми та різниці двох тангенсів або котангенсів.

Сума тангенсів кутів  α  і  β  перетворюється на добуток наступним чином:
або
Сума тангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус суми даних кутів, а знаменник – добуток косинусів тих самих кутів.

Аналогічно перетворюється на добуток різниця тангенсів кутів  α  і  β:

або
Різниця тангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус різниці даних кутів, а знаменник - добуток косинусів тих же кутів.

В результаті складання котангенсів двох кутів отримаємо:

або, в остаточному вигляді:
Сума котангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус суми двох кутів, а знаменник – добуток синусів тих самих кутів.

Виведемо формулу, що виражає різницю котангенсів двох кутів:
Отже,
Різниця котангенсів двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є синус зворотної різниці даних кутів, а знаменник – добуток синусів тих самих кутів.

ПРИКЛАД:

Перетворити на добуток:

tg 20° + tg 70°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Довести, що

tg tg 27° – tg 63° + tg 81° = 4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

tg tg 27° – tg 63° + tg 81° =

= (tg + tg 81°) – (tg 27° + tg 63°).

Але
Тоді

tg tg 27° – tg 63° + tg 81° =
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму.

З формули

sin (х + у) + sin (ху) = 2 sin х cos у,

слід

Добуток синуса одного кута на косинус іншого дорівнює напівсумі синуса суми даних кутів та синуса різниці даних кутів.

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

sin 43° cos 19°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулою:
при  α = 43°, β = 19°, отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:

1/2 (sin 62° + sin 24°)

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

sin 50° cos 30°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 50° cos 30° = 1/2 (sin 80° + sin 20°).

З формули

cos (х + у) + cos (ху) = 2 соs х cos у

маємо:
Добуток косинусів двох кутів дорівнює напівсумі косинуса суми цих кутів і косинуса їх різниці.

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

cos 25° cos 59°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos 25° cos 59° = 1/2 (cos 84° + cos 34°).

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

у = cos х cos 6х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулою

cos х cos у = 1/2 [cos (х + у) + cos (ху)]

отримаємо

у = cos х cos 6х =

1/2 [cos (х – 6х) + cos (х + 6х)] =

= 1/2 cos 5х + 1/2 cos 7х.

Період функції

у = cos 5х, равен  Т1 = 2π/5.

Період функції

у = cos 7х, дорівнює  Т2 = 2π/7.

Найменше число, при розподілі якого на

Т1 = 2π/5  і  Т2 = 2π/7

виходять цілі числа, число  . Отже, період заданої функції дорівнює  Т = .

ВІДПОВІДЬ:  

З формули

cos (х + у) – cos (ху) = –2 sin х sin у,

слід
Добуток синусів двох кутів дорівнює напіврізності косинуса різниці цих кутів та косинуса їх суми.

ПРИКЛАД:

Перетворити на суму добуток:

sin 70° sin 15°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 70° sin 15° = 1/2 (cos 55° – cos 85°).

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

A = sin 3α sin3 α + cos 3α cos3 α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо цей вираз таким чином:

A = (sin 3α sin α) sin2 α + (cos 3α cos α) cos2 α.

Скориставшись тепер формулами
знаходимо

A = 1/2 (cos 2α – cos 4α) sin2 α + 1/2 (cos 2α + cos 4α) cos2 α =

1/2 cos 2α (sin2 α + cos2 α) + 1/2 cos 4α (cos2 α – sin2 α) =

1/2 cos 2α + 1/2 cos 4α cos 2α = 1/2 cos 2α (1 + cos 4α) =

1/2 cos 2α 2cos2 2α = cos3 2α.

ПРИКЛАД:

Довести тотожність:

1 – cos α – sin α = 2√͞͞͞͞͞2 sin α/2 sin (α/2π/4).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо праву частину рівності:

2√͞͞͞͞͞2 sin α/2 sin (α/2π/4) =

= 2√͞͞͞͞͞2 sin α/2 (sin α/2 cos π/4 – sin α/2 cos π/4) =

= 2 sin2 α/2 – 2 sin α/2 cos α/2 = 1 – cos α – sin α.

Формули, які потрібно запам'ятати.
Завдання до уроку 24
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий