Урок 27. Обратные тригонометрические функции

ВИДЕО УРОК

Функция  у = arcsin x

Мы знаем, что из соотношения, выражающего  у  как функцию от  х, в некоторых случаях можно получить обратную зависимость, то есть соотношение, выражающее  х  как функцию от  у. Для получения функции, обратной по отношению к данной, необходимо, чтобы каждому действительному значению  х  соответствовало единственное действительное значение  у, и, наоборот, каждому действительному значению  у  соответствовало единственное действительное значение  х, то есть чтобы между  х  и  у  существовало взаимно однозначное соответствие.

Тригонометрическая функция  sin x  при условии, что  х  принимает всевозможные действительные значения, обратной функции не имеет, так как в данном случае нет взаимно однозначного соответствия между  х  и  у. В самом деле, в то время как каждому действительному значению  х (угла) соответствует одно определённое значение  у (sin x), каждому действительному значению  у(sin x)  соответствует бесчисленное множество значений  х. Например, если  у = 1, то этому значению  у  соответствует бесчисленное множество значений  х:

х = ^π/₂ + 2kπ,

где  k  – любое целое число.

Если же рассматривать функцию  у = sin x  на определённом промежутке изменения  х, например на промежутке от

– ^π/₂  до  ^π/₂  (– ^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂),

то между  х  и  у  имеет место взаимно однозначное соответствие.

Каждому углу  х  из промежутка от

– ^π/₂  до  ^π/₂  (– ^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂)

соответствует одно определённое значение  sin x  и это значение  sin x  по абсолютной величине меньше или равно единице.

Двум любым различным значениям угла  х  из этого промежутка соответствует два различных значения  sin x  (это следует из того, что на указанном промежутке изменения  х  функция  sin x – возрастающая).

Каково бы ни было число  у, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол  х  из указанного промежутка

– ^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂,

синус которого равен  у:

sin x = у.

Схематично взаимно однозначное соответствие между  х  и  sin x  на промежутке от  – ^π/₂  до  ^π/₂  представлено на чертеже

Следовательно, по отношению к тригонометрической функции

у = sin x,

где  х  изменяется от  – ^π/₂  до  ^π/₂  (– ^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂), имеется обратная тригонометрическая функция. Функциональная зависимость  х  от  у  в данном случае выражается с помощью символа  <<arcsin>>  следующим образом:

x = arcsin y.

Здесь  у – аргумент, а  х – функция.

Придерживаясь принятых обозначений – аргумента через  х, а функции через  у, – обратную функцию по отношению к функции  у = sin x  запишем так:

у = arcsin х.

Арксинусом числа  х  (arcsin х) называется угол  у  из промежутка от  – ^π/₂  до  ^π/₂:

– ^π/₂ ≤ у ≤ ^π/₂,

синус которого равен  х:

sin у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), по абсолютной величине меньшему или равному единице, всегда соответствует, и притом только одно, значение  arcsin х  (функция).

Равенство  у = arcsin х, читается так:

<<у  равно арксинус  х>>.

Равенства

х = arcsin у,

у = arcsin х

по-разному выражают одну и ту же зависимость. Приведённое определение можно кратко записать так:

arcsin (sin х) = х  (если  – ^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂).

Из определения же вытекает и такое тождество:

sin (arcsin х) = х,

где  –1 ≤ х ≤ 1.

При несоблюдения ограничения, наложенного на  х, равенство

sin (arcsin х) = х

теряет смысл.

Функция  arcsin х  определена на промежутке от

–1  до  +1: –1 ≤ х ≤ 1.

Для функции  arcsin х  имеет место равенство:

arcsin (–х) = –arcsin х.

Это равенство выражает следующую мысль:

Два угла из промежутка от  – ^π/₂  до  ^π/₂, имеющие равные по абсолютной величине и противоположные по знаку синусы, отличаются друг от друга только знаком.

Основные свойства функции  у = аrcsin x.

1. Функция  у = аrcsin x  определена на отрезке 

–1 ≤ х ≤ +1.

2. На отрезке 

–1 ≤ х ≤ +1 

функция  аrcsin x  возрастает от

– ^π/₂  до  ^π/₂

то есть

3. Функция  у = аrcsin x – нечётная, то есть

4. Все значения дуг (углов), синус которых равен  х, определяется формулой

Arcsin x = (–1)ⁿ аrcsin x + πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти

а = аrcsin ¹/₂.

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

– ^π/₂   до  ^π/₂,

синус которого равен  ¹/₂.

РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен  ¹/₂, например

 ^π/₆, ^5π/₆, ^13π/₆, –^7π/₆ 

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке  [–^π/₂, ^π/₂]. Таким аргументом буде  ^π/₆. Итак:

аrcsin ¹/₂ = ^π/₆.

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ;

По определению

это такое число, что

Отсюда следует, что  y = ^π/₃. Таким образом,

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ;

Получаем

Но по свойству нечётности имеем:

Следовательно,

ПРИМЕРЫ:

arcsin 1 = ^π/₂, так как

sin ^π/₂ = 1  и 

 ^π/₂ не выходит за границы промежутка 

– ^π/₂  до  ^π/₂.

arcsin (–1) = –^π/₂, так как

sin (–^π/₂) = (–1)  и 

– ^π/₂ не выходит за границы промежутка 

– ^π/₂  до  ^π/₂.

так как

– ^π/₂ < ^π/₄ < ^π/2

так как

– ^π/₂ < –^π/₄ < ^π/2

таккак

 – ^π/₂ < –^π/₃ < ^π/₂.

Функция  у = arcсоs x

Каждому углу  х  из промежутка от

0  до  π  (0 ≤ х ≤ π)

соответствует одно определённое значение  соs x  и это значение  соs x  по абсолютной величине меньше или равно единице.

Двум любым различным значениям угла  х  из указанного промежутка соответствует два различных значения  соs x  (это следует из того, что на указанном промежутке изменения  х  функция  соs x – убывающая).

Каково бы ни было число  у, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол  х  из указанного промежутка

0  ≤ х ≤ π,

косинус которого равен  у:

соs x = у.

Короче говоря, между  х  и  у  на указанном промежутке изменения  х  существует взаимно однозначное соответствие. А это означает, что по отношению к тригонометрической функции  у = соs x  на промежутке от

0  до  π  (0 ≤ х ≤ π)

существует обратная тригонометрическая функция. Обозначается эта обратная функция так:

х = arcсоs у.

Следуя принятым обозначениям аргумента и функции, это равенство записывается так:

у = arcсоs х.

Арккосинусом числа  х  (arcсоs х) называется угол  у  из промежутка от  0  до  π:

0 ≤ у ≤ π,

косинус которого равен  х:

соs у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), по абсолютной величине меньшему или равному единице, всегда соответствует, и притом только одно, значение  arcсоs х  (функция).

Равенство  у = arcсоs х, читается так:

<<у  равно арккосинус  х>>.

Функция  arcсоs х  определена на промежутке

–1 ≤ х ≤ 1.

По отношению к функции  arcсоs х  имеет место равенство

arcсоs (–х) = π – arcсоs х.

Это равенство выражает следующую мысль:

Два угла из промежутка от  0  до  π, имеющие равные по абсолютной величине и противоположные по знаку косинусы, дополняют друг друга до  π.

Основные свойства функции  у = аrcсоs x.

1. Функция  у = аrcсоs x  определена на отрезке 

–1 ≤ х ≤ +1.

2. На отрезке 

–1 ≤ х ≤ +1 

функция убывает от  π  до  0, то есть 

0 ≤ аrcсоs x ≤ π.

3. Для  аrcсоs x  имеет место равенство то есть

свойством чётности или нечётности эта функция не обладает.

4. Функция  у = аrcсоs x  называется главным значением функции 

у = Аrcсоs x

Все значения дуг (углов), косинус которых равен  х, определяется формулой

Arcсоs x = ±аrcсоs x + 2πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

0   до  π,

косинус которого равен

РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен

например

 ^5π/₆, ^7π/₆, –^5π/₆, –^7π/₆

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке  [0, π]. Таким аргументом буде  ^5π/₆. Итак:

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ;

По определению

это такое число, что

Отсюда следует, что  y = ^π/₄. Таким образом,

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ;

По формуле имеем

ПРИМЕРЫ:

arcсоs ¹/₂ = ^π/₃, так как

соs ^π/₃ = ¹/₂   и  0 < ^π/₃ <  π.

arcсоs (–¹/₂) = ^2π/₃, так как

соs ^2π/₃ = –¹/₂   и  0 < ^2π/₃ < π.

arcсоs 1 = 0, так как

соs 0 = 1  и 

 0  не выходит за границы промежутка 

0  до  π.

arcсоs 0 = ^π/₂, так как

соs ^π/₂ = 0  и 

0 < ^π/₂ < π.

так как

0  < ^π/₆ < π  

Функция  у = arctg x.

Из рассмотрения графика функции  tg x  заключаем, что между  х  и  у, связанными уравнением  y = tg x  и неравенствами  – ^π/₂ < х < ^π/₂, существует взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что по отношению к тригонометрической функции  y = tg x  имеется обратная тригонометрическая функция, которая записывается в таком виде:

x = arctg y

или, в принятых для аргумента и функции обозначениях, так:

y = arctg x.

Арктангенсом числа  х  (arctg х) называется угол  у  из промежутка от  – ^π/₂  до  ^π/₂:

– ^π/₂ < у < ^π/₂,

тангенс которого равен  х:

tg у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), всегда соответствует, и притом только одно, значение  arctg x  (функции).

Равенство  y = arctg x, читается так:

<<у  равно арктангенс  х>>.

Функция  arctg x  определена для всех действительных значениях  х.

Для функции  arctg x  для всех  х  имеет место равенство:

Основные свойства функции  у = аrctg x.

1. Функция определена на множестве всех действительных чисел, то есть 

–∞ < х < +∞.

2. В интервале 

–∞ < х < +∞ 

функция возрастает от

– ^π/₂ < у < ^π/₂

– ^π/₂  до  – ^π/₂,

то есть 

– ^π/₂ < аrctg x < +^π/₂.

 3. Функция  у = аrctg x – нечётная, то есть

аrctg (–x) = – аrctg x.

4. Функция  у = аrctg x  называется главным значением функции 

у = Arctg x

Все значения дуг (углов), тангенс которых равен  х, определяется формулой

Arctg x = ±аrctg x + πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

– ^π/₂   до  ^π/₂,

тангенс которого равен

РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен

например

 ^π/₆, ^7π/₆, –^5π/₆ 

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке  (–^π/₂, ^π/₂). Таким аргументом буде  ^π/₆. Итак:

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg 1.

РЕШЕНИЕ;

По определению

y = arctg 1.

Это такое число, что

tg y = 1  и 

– ^π/₂ < y < ^π/₂.

Отсюда следует, что  y = ^π/₄. Таким образом,

arctg 1 = ^π/₄.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg (–√͞͞͞͞͞3).

РЕШЕНИЕ;

По определению

arctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₃, но 

arctg (–√͞͞͞͞͞3) = – arctg √͞͞͞͞͞3.

Значит

arctg (–√͞͞͞͞͞3) = –^π/₃.

ПРИМЕРЫ:

arctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₃, так как

tg ^π/₃ = √͞͞͞͞͞3   и 

– ^π/₂ < ^π/₃ < ^π/₂.

arctg (–1) = –^π/₄, так как

tg (–^π/₄) = (–1)  и 

– ^π/₂ < –^π/₄ < ^π/₂.

так как

– ^π/₂ < –^π/₆ < ^π/₂.

Функция  у = аrcсtg x.

Из рассмотрения графика функции  y = сtg x  на промежутке от  0  до  π  (0 < х < 90°)  видно, что между  х  и  у, существует взаимно однозначное соответствие. Следовательно, по отношению к тригонометрической функции  y = сtg x  на указанном промежутке имеется обратная тригонометрическая функция

x = arcсtg y

Следуя привычным обозначениям аргумента и функции, запишем это равенство следующим образом:

y = arсctg x.

Арккотангенсом числа  х  (arсctg х) называется угол  у  из промежутка от  0  до  π:

0 < у < π,

котангенс которого равен  х:

сtg у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), всегда соответствует, и притом только одно, значение  arcсtg x  (функции).

Равенство  y = arсctg x, читается так:

<<у  равно арккотангенс  х>>.

Область определения функции  arсctg x – все действительные значения  х.

Для функции  arctg x  имеет место формула:

Основные свойства функции  у = аrcсtg x.

1. Функция определена на множестве всех действительных чисел, то есть 

–∞ < х < +∞.

2. В интервале 

–∞ < х < +∞ 

функция убывает от 

π  до  0,

то есть 

0 < аrcсtg x < π.

3. Функция  у = аrcсtg x, как и функция  у = аrcсos x, не обладает ни свойством чётности, ни свойством нечётности, но для неё справедливо равенство

аrcсtg (–x) =𝜋  – аrcсtg x.

4. Функция  у = аrcctg x  называется главным значением функции

у = Arcctg x

Все значения дуг (углов), котангенс которых равен  х, определяется формулой

Arcсtg x = аrcсtg x + πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

0   до  π,

котангенс которого равен

РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен

например

–^5π/₃, ^2π/₃, ^5π/₃ 

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале  (0, π). Таким аргументом буде  ^2π/₃. Итак:

ПРИМЕР:

Вычислить:

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3).

РЕШЕНИЕ;

Сначала вычислим

у = arcсtg √͞͞͞͞͞3.

Это такое число, что

ctg у = √͞͞͞͞͞3  и

0 < y < π.

Значит  у = ^π/₆.

По формуле имеем:

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = π – arсctg √͞͞͞͞͞3.

Значит

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = π – ^π/₆ = ^5π/₆.

ПРИМЕРЫ:

arсctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₆, так как

сtg ^π/₆ = √͞͞͞͞͞3   и 

0 < ^π/₆ < π.

arcсtg 1 = ^π/₄, так как

сtg ^π/₄ = 1  и 

 0 < ^π/₄ < π.

arcсtg (–1) = ^3π/₄, так как

сtg ^3π/₄ = –1  и 

0 < ^3π/₄ < π.

так как

0 < ^π/₃ < π  

Равенства, которые необходимо запомнить.

Задания к уроку 27

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований