Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 23 марта 2019 г.

Урок 27. Обратные тригонометрические функции

ВИДЕО УРОК


Функция
  у = arcsin x

Мы знаем, что из соотношения, выражающего  у  как функцию от  х, в некоторых случаях можно получить обратную зависимость, то есть соотношение, выражающее  х  как функцию от  у. Для получения функции, обратной по отношению к данной, необходимо, чтобы каждому действительному значению  х  соответствовало единственное действительное значение  у, и, наоборот, каждому действительному значению  у  соответствовало единственное действительное значение  х, то есть чтобы между  х  и  у  существовало взаимно однозначное соответствие.

Тригонометрическая функция  sin x  при условии, что  х  принимает всевозможные действительные значения, обратной функции не имеет, так как в данном случае нет взаимно однозначного соответствия между  х  и  у. В самом деле, в то время как каждому действительному значению  х (угла) соответствует одно определённое значение  у (sin x), каждому действительному значению  у(sin x)  соответствует бесчисленное множество значений  х. Например, если  у = 1, то этому значению  у  соответствует бесчисленное множество значений  х:

х = π/2 + 2kπ,

где  k  – любое целое число.

Если же рассматривать функцию  у = sin x  на определённом промежутке изменения  х, например на промежутке от

π/2  до  π/2  (– π/2хπ/2),

то между  х  и  у  имеет место взаимно однозначное соответствие.

Каждому углу  х  из промежутка от

π/2  до  π/2  (– π/2хπ/2)

соответствует одно определённое значение  sin x  и это значение  sin x  по абсолютной величине меньше или равно единице.

Двум любым различным значениям угла  х  из этого промежутка соответствует два различных значения  sin x  (это следует из того, что на указанном промежутке изменения  х  функция  sin x – возрастающая).

Каково бы ни было число  у, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол  х  из указанного промежутка

π/2хπ/2,

синус которого равен  у:

sin x = у.

Схематично взаимно однозначное соответствие между  х  и  sin x  на промежутке от  π/2  до  π/2  представлено на чертеже
Следовательно, по отношению к тригонометрической функции

у = sin x,

где  х  изменяется от  π/2  до  π/2  (– π/2хπ/2), имеется обратная тригонометрическая функция. Функциональная зависимость  х  от  у  в данном случае выражается с помощью символа  <<arcsin>>  следующим образом:

x = arcsin y.

Здесь  у – аргумент, а  х – функция.

Придерживаясь принятых обозначений – аргумента через  х, а функции через  у, – обратную функцию по отношению к функции  у = sin x  запишем так:

у = arcsin х.

Арксинусом числа  х  (arcsin х) называется угол  у  из промежутка от  π/2  до  π/2:

π/2уπ/2,

синус которого равен  х:

sin у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), по абсолютной величине меньшему или равному единице, всегда соответствует, и притом только одно, значение  arcsin х  (функция).

Равенство  у = arcsin х, читается так:

<<у  равно арксинус  х>>.

Равенства

х = arcsin у,

у = arcsin х

по-разному выражают одну и ту же зависимость. Приведённое определение можно кратко записать так:

arcsin (sin х) = х  (если  π/2хπ/2).

Из определения же вытекает и такое тождество:

sin (arcsin х) = х,

где  –1 ≤ х ≤ 1.

При несоблюдения ограничения, наложенного на  х, равенство

sin (arcsin х) = х

теряет смысл.

Функция  arcsin х  определена на промежутке от

–1  до  +1: –1 ≤ х ≤ 1.

Для функции  arcsin х  имеет место равенство:

arcsin (–х) = arcsin х.

Это равенство выражает следующую мысль:

Два угла из промежутка от  π/2  до  π/2, имеющие равные по абсолютной величине и противоположные по знаку синусы, отличаются друг от друга только знаком.

Основные свойства функции  у = аrcsin x.

1. Функция  у = аrcsin x  определена на отрезке 

–1 х +1.

2. На отрезке 

–1 х +1 

функция  аrcsin x  возрастает от

π/2  до  π/2

то есть
3. Функция  у = аrcsin x – нечётная, то есть
4. Все значения дуг (углов), синус которых равен  х, определяется формулой

Arcsin x = (–1)n аrcsin x + πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти

а = аrcsin 1/2.

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

π/2   до  π/2,

синус которого равен  1/2.

РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен  1/2, например

 π/6, 5π/6, 13π/6, –7π/6 

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке  [π/2, π/2]. Таким аргументом буде  π/6. Итак:

аrcsin 1/2 = π/6.

ПРИМЕР:

Вычислить:
РЕШЕНИЕ;

По определению
это такое число, что
Отсюда следует, что  y = π/3. Таким образом,
ПРИМЕР:

Вычислить:
РЕШЕНИЕ;

Получаем
Но по свойству нечётности имеем:
Следовательно,
ПРИМЕРЫ:

arcsin 1 = π/2, так как

sin π/2 = 1  и 

 π/2 не выходит за границы промежутка 

π/2  до  π/2.

arcsin (–1) = –π/2, так как

sin (–π/2) = (–1)  и 

π/2 не выходит за границы промежутка 

π/2  до  π/2.
так как
π/2 < π/4 < π/2
так как
π/2 < –π/4 < π/2
таккак
 
π/2 < –π/3 < π/2.

Функция  у = arcсоs x

Каждому углу  х  из промежутка от

до  π  (0 ≤ хπ)

соответствует одно определённое значение  соs x  и это значение  соs x  по абсолютной величине меньше или равно единице.

Двум любым различным значениям угла  х  из указанного промежутка соответствует два различных значения  соs x  (это следует из того, что на указанном промежутке изменения  х  функция  соs x – убывающая).

Каково бы ни было число  у, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол  х  из указанного промежутка

0  ≤ хπ,

косинус которого равен  у:

соs x = у.

Короче говоря, между  х  и  у  на указанном промежутке изменения  х  существует взаимно однозначное соответствие. А это означает, что по отношению к тригонометрической функции  у = соs x  на промежутке от

до  π  (0 ≤ хπ)

существует обратная тригонометрическая функция. Обозначается эта обратная функция так:

х = arcсоs у.

Следуя принятым обозначениям аргумента и функции, это равенство записывается так:

у = arcсоs х.

Арккосинусом числа  х  (arcсоs х) называется угол  у  из промежутка от  до  π:

0 ≤ уπ,

косинус которого равен  х:

соs у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), по абсолютной величине меньшему или равному единице, всегда соответствует, и притом только одно, значение  arcсоs х  (функция).

Равенство  у = arcсоs х, читается так:

<<у  равно арккосинус  х>>.

Функция  arcсоs х  определена на промежутке

–1 ≤ х ≤ 1.

По отношению к функции  arcсоs х  имеет место равенство

arcсоs (–х) = π arcсоs х.

Это равенство выражает следующую мысль:

Два угла из промежутка от  до  π, имеющие равные по абсолютной величине и противоположные по знаку косинусы, дополняют друг друга до  π.

Основные свойства функции  у = аrcсоs x.

1. Функция  у = аrcсоs x  определена на отрезке 

–1 х +1.

2. На отрезке 

–1 х +1 

функция убывает от  π  до  0, то есть 

0 ≤ аrcсоs xπ.

3. Для  аrcсоs x  имеет место равенство то есть
свойством чётности или нечётности эта функция не обладает.

4. Функция  у = аrcсоs x  называется главным значением функции 

у = Аrcсоs x

Все значения дуг (углов), косинус которых равен  х, определяется формулой

Arcсоs x = ±аrcсоs x + 2πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти
Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

0   до  π,

косинус которого равен
РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен
например

 5π/6, 7π/6, –5π/6, –7π/6

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке  [0, π]. Таким аргументом буде  5π/6. Итак:
ПРИМЕР:

Вычислить:
РЕШЕНИЕ;

По определению
это такое число, что
Отсюда следует, что  y = π/4. Таким образом,
ПРИМЕР:

Вычислить:
РЕШЕНИЕ;

По формуле имеем

ПРИМЕРЫ:

arcсоs 1/2 = π/3, так как

соs π/3 = 1/2   и  0 < π/3π.

arcсоs (–1/2) = 2π/3, так как

соs 2π/3 = –1/2   и  0 < 2π/3 < π.

arcсоs 1 = 0, так как

соs 0 = 1  и 

 не выходит за границы промежутка 

0  до  π.

arcсоs 0 = π/2, так как

соs π/2 = 0  и 

0 < π/2 < π.
так как
0  < π/6 < π  

Функция  у = arctg x.

Из рассмотрения графика функции  tg x  заключаем, что между  х  и  у, связанными уравнением  y = tg x  и неравенствами  π/2 < х < π/2, существует взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что по отношению к тригонометрической функции  y = tg x  имеется обратная тригонометрическая функция, которая записывается в таком виде:

x = arctg y

или, в принятых для аргумента и функции обозначениях, так:

y = arctg x.

Арктангенсом числа  х  (arctg х) называется угол  у  из промежутка от  π/2  до  π/2:

π/2 < у < π/2,

тангенс которого равен  х:

tg у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), всегда соответствует, и притом только одно, значение  arctg x  (функции).

Равенство  y = arctg x, читается так:

<<у  равно арктангенс  х>>.

Функция  arctg x  определена для всех действительных значениях  х.

Для функции  arctg x  для всех  х  имеет место равенство:
Основные свойства функции  у = аrctg x.

1. Функция определена на множестве всех действительных чисел, то есть 

< х < +.

2. В интервале 

< х < + 

функция возрастает от

π/2 < у < π/2

π/2  до  π/2,

то есть 

π/2 < аrctg x < +π/2.

 3. Функция  у = аrctg x – нечётная, то есть

аrctg (–x) = – аrctg x.

4. Функция  у = аrctg x  называется главным значением функции 

у = Arctg x

Все значения дуг (углов), тангенс которых равен  х, определяется формулой

Arctg x = ±аrctg x + πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти
Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

π/2   до  π/2,

тангенс которого равен
РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен
например

 π/6, 7π/6, –5π/6 

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке  (π/2, π/2). Таким аргументом буде  π/6. Итак:
ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg 1.

РЕШЕНИЕ;

По определению

y = arctg 1.

Это такое число, что

tg y = 1  и 

π/2 < y < π/2.

Отсюда следует, что  y = π/4. Таким образом,

arctg 1 = π/4.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg (–√͞͞͞͞͞3).

РЕШЕНИЕ;

По определению

arctg √͞͞͞͞͞3 = π/3, но 

arctg (–√͞͞͞͞͞3) = – arctg √͞͞͞͞͞3.

Значит

arctg (–√͞͞͞͞͞3) = –π/3.

ПРИМЕРЫ:

arctg √͞͞͞͞͞3 = π/3, так как

tg π/3 = √͞͞͞͞͞3   и 

π/2 < π/3 < π/2.

arctg (–1) = –π/4, так как

tg (–π/4) = (–1)  и 

π/2 < –π/4 < π/2.
так как
π/2 < –π/6 < π/2.

Функция  у = аrcсtg x.

Из рассмотрения графика функции  y = сtg x  на промежутке от  0  до  π  (0 < х < 90°)  видно, что между  х  и  у, существует взаимно однозначное соответствие. Следовательно, по отношению к тригонометрической функции  y = сtg x  на указанном промежутке имеется обратная тригонометрическая функция

x = arcсtg y

Следуя привычным обозначениям аргумента и функции, запишем это равенство следующим образом:

y = arсctg x.

Арккотангенсом числа  х  (arсctg х) называется угол  у  из промежутка от  до  π:

0 < у < π,

котангенс которого равен  х:

сtg у = х.

Из сказанного выше следует, что любому числу  х (аргументу), всегда соответствует, и притом только одно, значение  arcсtg x  (функции).

Равенство  y = arсctg x, читается так:

<<у  равно арккотангенс  х>>.

Область определения функции  arсctg x – все действительные значения  х.

Для функции  arctg x  имеет место формула:
Основные свойства функции  у = аrcсtg x.

1. Функция определена на множестве всех действительных чисел, то есть 

< х < +.

2. В интервале 

< х < + 

функция убывает от 

π  до  0,

то есть 

0 < аrcсtg x < π.

3. Функция  у = аrcсtg x, как и функция  у = аrcсos x, не обладает ни свойством чётности, ни свойством нечётности, но для неё справедливо равенство

аrcсtg (–x) =𝜋  – аrcсtg x.

4. Функция  у = аrcctg x  называется главным значением функции

у = Arcctg x

Все значения дуг (углов), котангенс которых равен  х, определяется формулой

Arcсtg x = аrcсtg x + πn,

где  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИМЕР:

Найти
Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент  а, лежащий в пределах от

0   до  π,

котангенс которого равен
РЕШЕНИЕ:

Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен
например

5π/3, 2π/3, 5π/3 

и так далее. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале  (0, π). Таким аргументом буде  2π/3. Итак:
ПРИМЕР:

Вычислить:

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3).

РЕШЕНИЕ;

Сначала вычислим

у = arcсtg √͞͞͞͞͞3.

Это такое число, что

ctg у = √͞͞͞͞͞и

0 < y < π.

Значит  у = π/6.

По формуле имеем:

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = πarсctg √͞͞͞͞͞3.

Значит

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = ππ/6 = 5π/6.

ПРИМЕРЫ:

arсctg √͞͞͞͞͞3 = π/6, так как

сtg π/6 = √͞͞͞͞͞3   и 

0 < π/6 < π.

arcсtg 1 = π/4, так как

сtg π/4 = 1  и 

 0 < π/4 < π.

arcсtg (–1) = 3π/4, так как

сtg 3π/4 = –1  и 

0 < 3π/4 < π.
так как
0 < π/3 < π  

Равенства, которые необходимо запомнить.
Задания к уроку 27

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий