ВІДЕО УРОК
Ми знаємо, що з співвідношення, що виражає як функцію від х, в деяких випадках можна отримати
зворотну залежність, тобто співвідношення, що виражає х як
функцію від у. Для отримання функції, зворотної по
відношенню до даної, необхідно, щоб кожному дійсному значенню х відповідало
єдине дійсне значення, і, навпаки, кожному дійсному значенню у відповідало
єдине дійсне значення х, тобто щоб між х і у існувало взаємно однозначне відповідність.
Тригонометрична функція sin x за умови, що х набуває всіляких дійсних значень, зворотної
функції не має, тому що в даному випадку немає взаємно однозначної
відповідності між х і у. Справді, тоді як кожному дійсному
значенню х (кута) відповідає одне певне значення у (sin x), кожному
дійсному значенню у (sin
x) відповідає безліч значень х. Наприклад, якщо у = 1, то цьому значенню відповідає незліченна безліч значень х:
х = π/2 + 2kπ,
де k
– будь-яке ціле число.
Якщо ж розглядати функцію у = sin x на
певному проміжку зміни х, наприклад, на проміжку від
– π/2 до π/2 (– π/2 ≤ х
≤ π/2),
то між х і у має місце взаємно однозначне
відповідність.
Кожному кутку х із проміжку від
– π/2 до π/2 (– π/2 ≤ х
≤ π/2)
відповідає одне певне значення sin x і це значення sin x за абсолютною величиною менше або дорівнює
одиниці.
Двом будь-яким різним значенням кута х із цього проміжку відповідає два різні
значення sin x (це випливає з того, що на зазначеному
проміжку зміни х функція sin x – зростаюча).
Яке б не було число у, за абсолютною величиною менше одиниці, існує, і притому тільки один,
кут х із зазначеного проміжку
– π/2 ≤
х ≤ π/2,
синус якого дорівнює у:
sin x = у.
Схематично взаємно однозначна відповідність між х і sin x на проміжку від – π/2 до π/2 представлена на кресленні
у = sin x,
де х змінюється від
– π/2 до π/2 (– π/2 ≤ х ≤ π/2),
є зворотна тригонометрична функція. Функціональна залежність х від у даному випадку виражається за допомогою
символу <<arcsin>> наступним чином:
x = arcsin y.
Тут у – аргумент, а х – функція.
Дотримуючись прийнятих позначень – аргументу через х, а функції через у – зворотну функцію по відношенню до
функції у = sin x запишемо так:
у = arcsin х.
Арксинусом числа х (arcsin х) називається кут у з проміжку від – π/2 до π/2:
– π/2 ≤ у ≤ π/2,
синус якого дорівнює х:
sin у = х.
Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу х (аргументу), по абсолютній величині меншому
або рівному одиниці, завжди відповідає, і притому тільки одне, значення arcsin х (функція).
Рівність у = arcsin х, читається так:
<<у рівно арксинус х>>.
Рівності
х = arcsin у,
у = arcsin х
по-різному виражають ту саму залежність. Наведене визначення можна
коротко записати так:
arcsin (sin х) = х (якщо – π/2 ≤ х
≤ π/2).
З визначення ж випливає і така тотожність:
sin (arcsin х) = х,
де –1 ≤ х ≤ 1.
При недотриманні обмеження, накладеного на х, рівність
sin (arcsin х) = х
втрачає сенс.
Функція arcsin x визначена на
проміжку від
–1 до +1: –1 ≤ х ≤ 1.
Для функції arcsin х має місце рівність:
arcsin (–х)
= –arcsin х.
Ця рівність висловлює таку думку:
Два кути з проміжку від – π/2 до π/2, що мають рівні по
абсолютній величині і протилежні за знаком синуси, відрізняються один від
одного тільки знаком.
Основні властивості
функції у = аrcsin x.
1. Функція у = аrcsin x визначена відрізку
–1 ≤ х ≤
+1.
2. На відрізку
–1 ≤ х ≤
+1
Arcsin x = (–1)n аrcsin x + πn,
де n
= 0; ±1; ±2;
…
ПРИКЛАД:
Знайти
а
= аrcsin 1/2.
Даний приклад докладно можна сформулювати так:
знайти такий аргумент а, що лежить у межах від
– π/2 до π/2,
синус якого дорівнює
1/2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Існує
безліч аргументів, синус яких дорівнює 1/2,
наприклад
π/6, 5π/6,
13π/6,
–7π/6
і
так далі. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку [–π/2, π/2]. Таким аргументом буде π/6. Отже:
аrcsin 1/2 = π/6.
ПРИКЛАД:
arcsin 1 = π/2, так як
sin π/2 =
1 і
π/2 не виходить за межі проміжку
– π/2 до π/2.
arcsin (–1) =
–π/2, так як
sin (–π/2)
= (–1) и
– π/2 не виходить за межі проміжку
Функція у = arcсоs x.
Кожному кутку х із проміжку від
0 до π (0 ≤ х ≤ π)
відповідає одне певне значення соs x і це значення соs x за абсолютною величиною менше або дорівнює
одиниці.
Двом будь-яким різним значенням кута х із
зазначеного проміжку відповідає два різні значення соs x (це випливає з того, що на зазначеному
проміжку зміни х функція соs x – спадна).
Яке б не було число у, за абсолютною величиною менше одиниці, існує, і до того ж тільки один,
кут х із зазначеного проміжку
0 ≤ х ≤ π,
косинус якого дорівнює у:
соs x = у.
Коротше кажучи, між х і на зазначеному проміжку зміни х існує
взаємно однозначна відповідність. А це означає, що до тригонометричної функції у = соs x на проміжку від
0 до π (0 ≤ х ≤ π)
Існує зворотна тригонометрична функція. Позначається ця зворотна функція
так:
х = arcсоs у.
Наслідуючи прийняті позначення аргументу і функції, ця рівність
записується так:
у = arcсоs х.
Арккосинусом числа х
(arcсоs х)
називається кут у з проміжку від
0 до π:
0 ≤ у ≤ π,
косинус якого дорівнює х:
соs у = х.
Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу х (аргументу), по абсолютній величині меншому
або рівному одиниці, завжди відповідає, і притому тільки одне, значення arcсоs х (функція).
Рівність у = arcсоs х, читається так:
<<у рівно арккосинус х>>.
Функція arcсоs х визначена на проміжку
–1 ≤ х ≤ 1.
По відношенню до функції arcсоs х має місце рівність
arcсоs (–х)
= π – arcсоs х.
Ця рівність висловлює таку думку:
Два кути з проміжку від 0 до π,
що мають рівні за абсолютною величиною та протилежні за знаком косинуси,
доповнюють один одного до π.
Основні властивості
функції у = аrcсоs x.
1. Функція у = аrcсоs x визначена на відрізку
–1 ≤ х ≤
+1.
2. На відрізку
–1 ≤ х ≤
+1
функція зменшується от π до 0, тобто
0
≤ аrcсоs x ≤ π.
4. Функція у
=
аrcсоs x називається головним значенням функції
у = Аrcсоs x
Усі значення дуг
(кутів), косинус яких дорівнює х,
визначається формулою
Arcсоs x = ±аrcсоs x + 2πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
0
до π,
5π/6,
7π/6,
–5π/6,
–7π/6
arcсоs 1/2 = π/3, так як
соs π/3 =
1/2 і 0 < π/3 < π.
arcсоs (–1/2) = 2π/3, так як
соs 2π/3 = –1/2 і 0 < 2π/3 < π.
arcсоs 1 = 0, так як
соs 0 = 1 і
0 не виходить за межі проміжку
0 до π.
arcсоs 0 = π/2, так як
соs π/2 =
0 і
Функція у = arctg x.
З розгляду графіка функції tg
x укладаємо, що між х та у,
пов'язаними рівнянням y = tg x та нерівностями – π/2 < х < π/2, існує однозначна відповідність. Звідси
випливає, що до тригонометричної функції y
= tg x є зворотна
тригонометрична функція, яка записується в такому вигляді:
x
= arctg y
або, у прийнятих для аргументу та функції
позначеннях, так:
y
= arctg x.
Арктангенсом числа х (arctg х)
називається кут у з проміжку від
– π/2 до π/2:
– π/2 < у < π/2,
тангенс якого дорівнює х:
tg у = х.
Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу х (аргументу) завжди відповідає, і притому
тільки одне, значення arctg x (функції).
Рівність y = arctg x
читається так:
<<у дорівнює арктангенс х>>.
Функція arctg x визначена всім дійсних значеннях х.
1. Функція визначена на
множині всіх дійсних чисел, тобто
–∞ < х
< +∞.
2. В інтервалі
–∞ < х
< +∞
тобто
– π/2
< аrctg x < + π/2.
3. Функція
у
=
аrctg x – непарна, тобто
аrctg (–x) = – аrctg x.
4. Функція у
=
аrctg x називається головним значенням функції
у = Arctg x
Усі значення дуг
(кутів), тангенс яких дорівнює х,
визначається формулою
Arctg x = ±аrctg x + πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
– π/2 до π/2,
π/6, 7π/6,
–5π/6
Обчислити:
arctg
1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ;
За
визначенням
y =
arctg 1.
Це
таке число, що
tg
y = 1
і
– π/2 < y < π/2.
Звідси
випливає, що y = π/4.
Таким чином,
arctg
1 = π/4.
ПРИКЛАД:
Обчислити::
arctg
(–√͞͞͞͞͞3).
РОЗВ'ЯЗАННЯ;
За
визначенням
arctg
√͞͞͞͞͞3 = π/3, але
arctg
(–√͞͞͞͞͞3) = – arctg √͞͞͞͞͞3.
Значить
arctg
(–√͞͞͞͞͞3) = –π/3.
ПРИКЛАД:
arctg √͞͞͞͞͞3
= π/3, так як
tg π/3 =
√͞͞͞͞͞3 і
– π/2
< π/3 < π/2.
arctg (–1) = –π/4, так як
tg (–π/4)
= (–1) і
Функція у
= аrcсtg x.
З розгляду графіка функції y
= сtg x на проміжку від 0 до π
(0
< х < 90°)
видно, що між х
і у існує взаємно однозначне відповідність. Отже,
по відношенню до тригонометричної функції y
= сtg x на вказаному проміжку є
зворотна тригонометрична функція
x
= arcсtg y
Наслідуючи звичні позначення аргументу і функції,
запишемо цю рівність наступним чином:
y
= arсctg x.
Арккотангенсом числа х (arcctg х) називається кут у з проміжку від
0 до π:
0 < у < π,
котангенс якого дорівнює х:
сtg у = х.
Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу х (аргументу)
завжди відповідає, і притому тільки одне, значення arcсtg x (функції).
Рівність y = arсctg x, читається
так:
<<у дорівнює арккотангенс х>>.
Область визначення функції arcctg x – всі дійсні значення х.
1. Функція визначена на
множині всіх дійсних чисел, тобто
–∞ < х
< +∞.
2. В інтервалі
–∞ < х
< +∞
функція зменшується від
π до 0,
тобто
0
< аrcсtg x < π.
3. Функція у
=
аrcсtg x, як і функція
у
=
аrcсos x, не має ні властивість парності, ні властивості
непарності, але для неї справедлива рівність
аrcсtg (–x) =𝜋 – аrcсtg x.
4. Функція у
= аrcctg x
називається основним
значенням функції
у = Arcctg x
Усі значення дуг
(кутів), котангенс яких дорівнює х,
визначається формулою
Arcсtg x = аrcсtg x + πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
0
до π,
–5π/3,
2π/3,
5π/3
Обчислити:
arcсtg
(–√͞͞͞͞͞3).
РОЗВ'ЯЗАННЯ;
Спочатку
обчислимо
у
= arcсtg √͞͞͞͞͞3.
Це
таке число, що
ctg
у = √͞͞͞͞͞3 і
0
< y < π.
Значить
у
= π/6.
За формулою маємо:
arcсtg
(–√͞͞͞͞͞3) = π – arсctg √͞͞͞͞͞3.
Значить
arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = π – π/6 = 5π/6.
ПРИКЛАД:
arсctg √͞͞͞͞͞3
= π/6, так як
сtg π/6 =
√͞͞͞͞͞3 і
0 < π/6 < π.
arcсtg 1 = π/4, так як
сtg π/4 = 1 і
0 < π/4 < π.
arcсtg (–1) = 3π/4, так як
сtg 3π/4 = –1 і
Рівності, які потрібно запам'ятати.
- Урок 1. Градусний вимір кутових величин
- Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
- Урок 3. Основні тригонометричні функції
- Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
- Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
- Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
- Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
- Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
- Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
- Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
- Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
- Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
- Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
- Урок 14. Теорема синусів
- Урок 15. Теорема косинусів
- Урок 16. Рішення косокутних трикутників
- Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
- Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
- Урок 19. Формули зведення (1)
- Урок 20. Формули зведення (2)
- Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
- Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
- Урок 23. Формули половинного аргументу
- Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
- Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
- Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
- Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
- Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
- Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
- Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень
Комментариев нет:
Отправить комментарий