Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 23 марта 2019 г.

Урок 27. Обернені тригонометричні функції

ВІДЕО УРОК

Функція 
у = аrcsin x.

Ми знаємо, що з співвідношення, що виражає як функцію від  х, в деяких випадках можна отримати зворотну залежність, тобто співвідношення, що виражає  х  як функцію від  у. Для отримання функції, зворотної по відношенню до даної, необхідно, щоб кожному дійсному значенню  х  відповідало єдине дійсне значення, і, навпаки, кожному дійсному значенню у відповідало єдине дійсне значення  х, тобто щоб між  х  і  у  існувало взаємно однозначне відповідність.

Тригонометрична функція  sin x  за умови, що  х  набуває всіляких дійсних значень, зворотної функції не має, тому що в даному випадку немає взаємно однозначної відповідності між  х  і  у. Справді, тоді як кожному дійсному значенню  х  (кута) відповідає одне певне значення  у (sin x), кожному дійсному значенню  у (sin x) відповідає безліч значень  х. Наприклад, якщо  у = 1, то цьому значенню відповідає незліченна безліч значень  х:

х = π/2 + 2,

де  k  – будь-яке ціле число.

Якщо ж розглядати функцію  у = sin x  на певному проміжку зміни  х, наприклад, на проміжку від

π/2  до  π/2  (– π/2хπ/2),

то між  х  і  у  має місце взаємно однозначне відповідність.

Кожному кутку  х  із проміжку від

π/2  до  π/2  (– π/2хπ/2)

відповідає одне певне значення sin  x  і це значення  sin x  за абсолютною величиною менше або дорівнює одиниці.

Двом будь-яким різним значенням кута  х  із цього проміжку відповідає два різні значення  sin x  (це випливає з того, що на зазначеному проміжку зміни  х  функція  sin x – зростаюча).

Яке б не було число  у, за абсолютною величиною менше одиниці, існує, і притому тільки один, кут  х  із зазначеного проміжку

π/2хπ/2,

синус якого дорівнює  у:

sin x = у.

Схематично взаємно однозначна відповідність між  х  і  sin x  на проміжку від  π/2  до  π/2  представлена на кресленні

Отже, по відношенню до тригонометричної функції

у = sin x,

де  х  змінюється від  

π/2  до  π/2  (– π/2хπ/2)

є зворотна тригонометрична функція. Функціональна залежність  х  від у даному випадку виражається за допомогою символу <<arcsin>> наступним чином:

x = arcsin y.

Тут  у – аргумент, а  х – функція.

Дотримуючись прийнятих позначень – аргументу через  х, а функції через  у – зворотну функцію по відношенню до функції  у = sin x  запишемо так:

у = arcsin х.

Арксинусом числа  х (arcsin х) називається кут у з проміжку від  π/2  до  π/2:

π/2уπ/2,

синус якого дорівнює  х:

sin у = х.

Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу  х  (аргументу), по абсолютній величині меншому або рівному одиниці, завжди відповідає, і притому тільки одне, значення  arcsin х  (функція).

Рівність  у = arcsin х, читається так:

<<у  рівно арксинус  х>>.

Рівності

х = arcsin у,

у = arcsin х

по-різному виражають ту саму залежність. Наведене визначення можна коротко записати так:

arcsin (sin х) = х  (якщо  π/2хπ/2).

З визначення ж випливає і така тотожність:

sin (arcsin х) = х,

де  –1 ≤ х ≤ 1.

При недотриманні обмеження, накладеного на  х, рівність

sin (arcsin х) = х

втрачає сенс.

Функція  arcsin x  визначена на проміжку від

–1  до  +1: –1 ≤ х ≤ 1.

Для функції  arcsin х  має місце рівність:

arcsin (–х) = arcsin х.

Ця рівність висловлює таку думку:

Два кути з проміжку від  π/2  до  π/2, що мають рівні по абсолютній величині і протилежні за знаком синуси, відрізняються один від одного тільки знаком.

Основні властивості функції  у = аrcsin x.

1. Функція  у = аrcsin x  визначена відрізку 

–1 х +1.

2. На відрізку

–1 х +1 

функція  аrcsin x  зростає від
3. Функція  у = аrcsin x – непарна, тобто
4. Усі значення дуг (кутів), синус яких дорівнює  х, визначається формулою

Arcsin x = (–1)n аrcsin x + πn,

де  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИКЛАД:

Знайти

а = аrcsin 1/2.

Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент а, що лежить у межах від

π/2   до  π/2,

синус якого дорівнює  1/2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Існує безліч аргументів, синус яких дорівнює  1/2, наприклад

 π/6, 5π/6, 13π/6, –7π/6 

і так далі. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку  [π/2, π/2]. Таким аргументом буде  π/6. Отже:

аrcsin 1/2 = π/6.

ПРИКЛАД:

Обчислити:
РОЗВ'ЯЗАННЯ;

За визначенням
це таке число, що
Звідси слідує що  y = π/3. Таким чином,
ПРИКЛАД:

Обчислити:
РОЗВ'ЯЗАННЯ;

Отримуємо
Але за якістю непарності маємо:
Отже,
ПРИКЛАД:

arcsin 1 = π/2, так як

sin π/2 = 1  і 

 π/2 не виходить за межі проміжку 

π/2  до  π/2.

arcsin (–1) = –π/2, так як

sin (–π/2) = (–1)  и 

π/2 не виходить за межі проміжку 

π/2  до  π/2.
так як
π/2 < π/4 < π/2
так як
π/2 < –π/4 < π/2.
так як
π/2 < –π/3 < π/2.

Функція  у = arcсоs x.

Кожному кутку  х  із проміжку від

до  π  (0 ≤ хπ)

відповідає одне певне значення  соs x  і це значення  соs x  за абсолютною величиною менше або дорівнює одиниці.

Двом будь-яким різним значенням кута  х  із зазначеного проміжку відповідає два різні значення  соs x  (це випливає з того, що на зазначеному проміжку зміни  х  функція  соs x – спадна).

Яке б не було число  у, за абсолютною величиною менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, кут  х  із зазначеного проміжку

0  ≤ хπ,

косинус якого дорівнює  у:

соs x = у.

Коротше кажучи, між  х  і на зазначеному проміжку зміни  х  існує взаємно однозначна відповідність. А це означає, що до тригонометричної функції  у = соs x  на проміжку від

до  π  (0 ≤ хπ)

Існує зворотна тригонометрична функція. Позначається ця зворотна функція так:

х = arcсоs у.

Наслідуючи прийняті позначення аргументу і функції, ця рівність записується так:

у = arcсоs х.

Арккосинусом числа  х  (arcсоs х) називається кут  у  з проміжку від  до  π:

0 ≤ уπ,

косинус якого дорівнює  х:

соs у = х.

Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу  х  (аргументу), по абсолютній величині меншому або рівному одиниці, завжди відповідає, і притому тільки одне, значення  arcсоs х  (функція).

Рівність  у = arcсоs х, читається так:

<<у  рівно арккосинус  х>>.

Функція  arcсоs х  визначена на проміжку

–1 ≤ х ≤ 1.

По відношенню до функції  arcсоs х  має місце рівність

arcсоs (–х) = π arcсоs х.

Ця рівність висловлює таку думку:

Два кути з проміжку від  0  до  π, що мають рівні за абсолютною величиною та протилежні за знаком косинуси, доповнюють один одного до  π.

Основні властивості функції  у = аrcсоs x.

1. Функція  у = аrcсоs x  визначена на відрізку 

–1 х +1.

2. На відрізку

–1 х +1 

функція зменшується от  π  до  0, тобто

0 ≤ аrcсоs xπ.

3. Для  аrcсоs x  має місце рівність
тобто властивістю парності чи непарності ця функція не має.

4. Функція  у = аrcсоs x  називається головним значенням функції 

у = Аrcсоs x

Усі значення дуг (кутів), косинус яких дорівнює  х, визначається формулою

Arcсоs x = ±аrcсоs x + 2πn,

де  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИКЛАД:

Знайти
Докладно цей приклад можна сформулювати так: знайти такий аргумент  а, що лежить у межах від

0   до  π,

косинус якого дорівнює
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Існує безліч аргументів, косинус яких дорівнює
наприклад

 5π/6, 7π/6, –5π/6, –7π/6

і так далі. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку  [0, π]. Таким аргументом буде  5π/6. Отже:
ПРИКЛАД:

Обчислити:
РОЗВ'ЯЗАННЯ;

За визначенням
це таке число, що
Звідси випливає, що  y = π/4. Таким чином,
ПРИКЛАД:

Обчислити:
РОЗВ'ЯЗАННЯ;

За формулою маємо
ПРИКЛАД:

arcсоs 1/2 = π/3, так як

соs π/3 = 1/2   і  0 < π/3π.

arcсоs (–1/2) = 2π/3, так як

соs 2π/3 = –1/2   і  0 < 2π/3 < π.

arcсоs 1 = 0, так як

соs 0 = 1  і 

не виходить за межі проміжку 

до  π.

arcсоs 0 = π/2, так як

соs π/2 = 0  і 

0 < π/2 < π.
так як
0  < π/6 < π  

Функція  у = arctg x.

З розгляду графіка функції  tg x  укладаємо, що між  х  та  у, пов'язаними рівнянням  y = tg x  та нерівностями  π/2 < х < π/2, існує однозначна відповідність. Звідси випливає, що до тригонометричної функції  y = tg x  є зворотна тригонометрична функція, яка записується в такому вигляді:

x = arctg y

або, у прийнятих для аргументу та функції позначеннях, так:

y = arctg x.

Арктангенсом числа  х (arctg х) називається кут у з проміжку від  π/2  до  π/2:

π/2 < у < π/2,

тангенс якого дорівнює  х:

tg у = х.

Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу  х  (аргументу) завжди відповідає, і притому тільки одне, значення  arctg x  (функції).

Рівність  y = arctg x  читається так:

<<у  дорівнює арктангенс  х>>.

Функція  arctg x  визначена всім дійсних значеннях  х.

Для функції  arctg x  для всіх  х  має місце рівність:
Основні властивості функції  у = аrctg x.

1. Функція визначена на множині всіх дійсних чисел, тобто

< х < +.

2. В інтервалі 

< х < + 

функція зростає від

π/2  до  π/2,
тобто

π/2 < аrctg x < + π/2.

 3. Функція  у = аrctg x – непарна, тобто

аrctg (–x) = – аrctg x.

4. Функція  у = аrctg x  називається головним значенням функції 

у = Arctg x

Усі значення дуг (кутів), тангенс яких дорівнює  х, визначається формулою

Arctg x = ±аrctg x + πn,

де  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИКЛАД:

Знайти
Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент а, що лежить у межах від

π/2   до  π/2,

тангенс якого дорівнює
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Існує безліч аргументів, тангенс яких дорівнює
наприклад

 π/6, 7π/6, –5π/6 

і так далі. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку  (π/2, π/2). Таким аргументом буде  π/6. Отже:
ПРИКЛАД:

Обчислити:

arctg 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ;

За визначенням

y = arctg 1.

Це таке число, що

tg y = 1  і 

π/2 < y < π/2.

Звідси випливає, що  y = π/4. Таким чином,

arctg 1 = π/4.

ПРИКЛАД:

Обчислити::

arctg (–√͞͞͞͞͞3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ;

За визначенням

arctg √͞͞͞͞͞3 = π/3, але 

arctg (–√͞͞͞͞͞3) = – arctg √͞͞͞͞͞3.

Значить

arctg (–√͞͞͞͞͞3) = –π/3.

ПРИКЛАД:

arctg √͞͞͞͞͞3 = π/3, так як

tg π/3 = √͞͞͞͞͞3   і 

π/2 < π/3 < π/2.

arctg (–1) = –π/4, так як

tg (–π/4) = (–1)  і 

π/2 < –π/4 < π/2.
так як
π/2 < –π/6 < π/2.

Функція  у = аrcсtg x.

З розгляду графіка функції  y = сtg x  на проміжку від  0  до  π  (0 < х < 90°) видно, що між  х  і  у  існує взаємно однозначне відповідність. Отже, по відношенню до тригонометричної функції  y = сtg x  на вказаному проміжку є зворотна тригонометрична функція

x = arcсtg y

Наслідуючи звичні позначення аргументу і функції, запишемо цю рівність наступним чином:

y = arсctg x.

Арккотангенсом числа  х (arcctg х) називається кут  у  з проміжку від  до  π:

0 < у < π,

котангенс якого дорівнює  х:

сtg у = х.

Зі сказаного вище випливає, що будь-якому числу  х  (аргументу) завжди відповідає, і притому тільки одне, значення  arcсtg x  (функції).

Рівність  y = arсctg x, читається так:

<<у  дорівнює арккотангенс  х>>.

Область визначення функції  arcctg x – всі дійсні значення  х.

Для функції  arctg x  має місце формула:
Основні властивості функції  у = аrcсtg x.

1. Функція визначена на множині всіх дійсних чисел, тобто 

< х < +.

2. В інтервалі 

< х < + 

функція зменшується від 

π  до  0,

тобто 

0 < аrcсtg x < π.

3. Функція  у = аrcсtg x, як і функція  у = аrcсos x, не має ні властивість парності, ні властивості непарності, але для неї справедлива рівність

аrcсtg (–x) =𝜋  – аrcсtg x.

4. Функція  у = аrcctg x  називається основним значенням функції

у = Arcctg x

Усі значення дуг (кутів), котангенс яких дорівнює  х, визначається формулою

Arcсtg x = аrcсtg x + πn,

де  n = 0;  ±1;  ±2; …

ПРИКЛАД:

Знайти
Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент  а, що лежить у межах від

0   до  π,

котангенс якого дорівнює
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Існує безліч аргументів, котангенс яких дорівнює
наприклад

5π/3, 2π/3, 5π/3 

і так далі. Але нас цікавить лише той аргумент, який перебуває в інтервалі  (0, π). Таким аргументом буде  2π/3. Отже:
ПРИКЛАД:

Обчислити:

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ;

Спочатку обчислимо

у = arcсtg √͞͞͞͞͞3.

Це таке число, що

ctg у = √͞͞͞͞͞і

0 < y < π.

Значить у = π/6.

За формулою маємо:

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = π – arсctg √͞͞͞͞͞3.

Значить

arcсtg (–√͞͞͞͞͞3) = ππ/6 = 5π/6.

ПРИКЛАД:

arсctg √͞͞͞͞͞3 = π/6, так як

сtg π/6 = √͞͞͞͞͞3   і 

0 < π/6 < π.

arcсtg 1 = π/4, так як

сtg π/4 = 1  і 

 0 < π/4 < π.

arcсtg (–1) = 3π/4, так як

сtg 3π/4 = –1  і 

0 < 3π/4 < π.
так як
0 < π/3 < π  

Рівності, які потрібно запам'ятати.


 Завдання до уроку 27.

Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий