Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 1 марта 2019 г.

Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)

ВИДЕО УРОК
Синус двойного угла равен удвоенному синусу данного угла, умноженному на косинус того же угла.
Если в формуле

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

положить  α = β, то получим:

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

или

sin 2α = 2 sin α cos α.

 ПРИМЕР:

Возьмём угол  30°. Синус двойного угла, то есть  60°  по этой формуле получится так:
ПРИМЕР:

Упростите выражение:
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:  –0,5

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат  синуса того же угла.
Для получения косинуса двойного угла воспользуемся формулой

соs (α + β) = соs α cos βsin α sin β

и положим в ней  α = β.

Получим:

соs (α + α) = соs α cos αsin α sin α,

или

соs 2α = соs2 αsin2 α.

ПРИМЕР:
Если в формуле

соs 2α = соs2 αsin2 α

заменить

соs2 α  на  1 – sin2 α

или

sin2 α  на  1 – соs2 α,

то получим ещё две формулы для  соs 2α:

соs 2α =1 – 2 sin2 α,

соs 2α = 2 соs2 α – 1.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

tg xctg x.

РЕШЕНИЕ:
Для преобразования числителя дроби воспользуемся следующей формулой:

соs2 αsin2 α = соs 2α

но сначала вынесем знак минус за скобки

sin2 х – соs2 х =

–(соs2 хsin2 х) = – соs 2х.

Для преобразования знаменателя дроби воспользуемся следующей формулой:

2 sin α cos α = sin 2α

sin x cos x = 1/2 sin 2x.

В результате получим:
ОТВЕТ:  –2 ctg 2x

ПРИМЕР:

Доказать тождество:
РЕШЕНИЕ:

Знаменатель правой части преобразуем по следующей формуле:

соs 2α = соs2 αsin2 α

сos х = cos2 х/2 sin2 х/2 =

cos2 х/2 (1 – cos2 х/2) =

2 cos2 х/2 – 1.

1 + сos х = 2 cos2 х/2.

Числитель правой части преобразуем по следующей формуле:

sin 2α = 2 sin α cos α.

sin х = 2 sin х/2 cos х/2.

В результате получим:
Тангенс двойного угла равен удвоенному тангенсу данного угла, деленному на разность между единицей и квадратом тангенса данного угла.
Выведем формулу для  tg 2α.
Полагая в формуле
получим:
или
Эта формула имеет место для всех значений  α, кроме

α = π/2 + kπ,

α = π/4 + 2kπ,

где  k – целое число, так как при таких значениях α   не определён (не существует) или  tg α  или  tg 2α.

Эта формула может быть получена и в результате почленного деления формулы

sin 2α = 2 sin α cos α

на формулу

соs 2α = соs2 αsin2 α

 и последующих простых преобразований.

ПРИМЕР:

Дано:  tg α = 3/4.

Найти  tg 2α.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:
ПРИМЕР:

Вычислите  tg x,

если  tg 2x = 2,

3π/2 < x < 2π.

РЕШЕНИЕ:

Так как по условию 

3π/2 < x < 2π, то 

tg 2x < 0. Имеем:
Делаем замену  t = tg x  и получаем уравнение

t2 + t – 1 = 0,

корни которого следующие:
Так как  tg x < 0, то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно:
ОТВЕТ:
Котангенс двойного угла равен разности квадрата котангенса и единицы, делённой на удвоенный котангенс данного угла.
С помощью этих формул можно выразить синус, косинус, тангенс, котангенс любого (допустимого) аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшого аргумента.

Формула

sin 2α = 2 sin α cos α

связывает синус любого угла с синусом и косинусом угла, вдвое меньшего.

ПРИМЕР:

sin x = sin 2 x/2 = 2 sin x/2 cos x/2,

sin 5x = sin 2 5x/2 = 2 sin 5x/2 cos 5x/2,

sin x/2 = 2 sin x/4 cos x/4.

Формула

соs 2α = соs2 αsin2 α

связывает косинус любого угла с синусом и косинусом угла, вдвое меньшего. На основании её можно, например, выражения

cos 6α, соs α, соs x/2

представить следующим образом:

ПРИМЕР:

cos 6α = cos2 3α – sin2 3α,

соs α = cos2 α/2sin2 α/2,

соs x/2 = cos2 x/4sin2 x/4.

Пользуясь формулой тангенса двойного угла, можно тангенс любого угла выразить через тангенс угла вдвое меньшего.

ПРИМЕР:
Путём последовательного применения формул сложения аргументов тригонометрических функций можно получить формулы для  3α, 4α  и так далее. Приведём формулы для тройных углов:

sin 3α = sin (α + 2α) =

= sin α cos 2α + sin 2α cos α =

= sin α (соs2 αsin2 α) + cos α 2 sin α cos α =

= sin α (1 – 2 sin2 α) + 2 sin α (1 – sin2 α) =

= sin α  – 2 sin3 α + 2 sin α – 2 sin3 α =

= 3 sin α – 4 sinα,

cos 3α = соs (α + 2α) =

= cos α cos 2αsin α sin 2α =

= соs α (соs2 αsin2 α) – sin α 2 sin α cos α =

= соs α (2 соs2 α – 1) – 2 соs α (1 – соs2 α) =

= 2 соs3 α – соs α – 2 соs α + 2 соs3 α =

= 4 cosα – 3 cos α,
ПРИМЕР:

Вычислить  sin 18°.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся тождеством 

sin 36° = cos 54°.

Обозначим  18° = α, находим, что в данном случае 

sin 2α = cos 3α, или 

2 sin α cos α = 4 cos3 α 3 cos α.

Так как  cos α 0, то, после сокращения на  cos α, имеем

2 sin α = 4 cosα – 3 = 4(1 – sinα) – 3,

откуда

4 sinα + 2 sin α – 1 = 0.

Решая это уравнение относительно  sin α, найдём
Так как в первом квадранте  sin α ˃ 0, то второе значение не подходит.

ОТВЕТ:
В некоторых случаях полезным оказывается использование полученных формул справа налево:
Если формулы
сначала вычесть одну из другой, а затем сложить, то получим следующие две формулы, часто употребляемые при различных тригонометрических преобразованиях:
Эти формулы называются формулами понижения степени. Они позволяют преобразовывать  sin2х  и  cos2х  в выражения, содержащие первую степень косинуса двойного аргумента.

ПРИМЕР:

Используя формулы:
можно получить следующие равенства:
Формулы
используют и <<справа налево>> для преобразования сумм

1 + сos 2х, 1 – сos 2х

в произведения.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

Вычислить:

sinх + сosх,

если известно, что

сos 2х = 5/13.

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись тем, что

sin4 х = (sin2 х)2,

сos4 х = (сosх)2,

применим формулы понижения степени:
Получим:
Возведём в квадрат числители и знаменатели дробей и приведём их к общему знаменателю:
Воспользовавшись формулами квадрата разности и квадрата суммы двух чисел.
Получим:
ОТВЕТ:  97/169

ПРИМЕР:

Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ:

Чтобы упростить данное выражение будем использовать формулу понижения синуса:
а также представим тангенс в виде:
ОТВЕТ:   1/2

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 15 sin2 12x + 12 sin2 15x.

РЕШЕНИЕ:

Сводим функцию к сумме простейших:
НОК (5π, 4π) = 20π,
Другие тождества:

cos α cos (60°α) cos (60° + α) = 1/4 cos 3α,

tg α tg (60°α) tg (60° + α) = tg 3α,

ctg α ctg (60°α) ctg (60° + α) = ctg 3α.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

A = tg 3° tg 17° tg 23° tg 37° tg 43° tg 57° tg 63° tg 77° tg 83°.

Представим данное выражение в виде

A = (tg 3° tg 57° tg 63°)( tg 17° tg 43° tg 77°)( tg 23° tg 37° tg 83°)

и воспользуемся тождеством для тангенсов

tg α tg (60°α) tg (60° + α) = tg 3α.

Тогда

A = tg 9° tg 51° tg 69° = tg 27°.

ОТВЕТ:  A = tg 27°

Задания к уроку 22

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий