Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)

ВИДЕО УРОК

Синус двойного угла равен удвоенному синусу данного угла, умноженному на косинус того же угла.
Если в формуле

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

положить α = β, то получим:

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

или

sin 2α = 2 sin α cos α.

ПРИМЕР:

Возьмём угол 30°. Синус двойного угла, то есть 60° по этой формуле получится так:

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ: –0,5

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла.
Для получения косинуса двойного угла воспользуемся формулой

соs (α + β) = соs α cos β – sin α sin β

и положим в ней α = β.

Получим:

соs (α + α) = соs α cos α – sin α sin α,

или

соs 2α = соs² α – sin² α.

ПРИМЕР:
Если в формуле

соs 2α = соs² α – sin² α

заменить

соs² α на 1 – sin² α

или

sin² α на 1 – соs² α,

то получим ещё две формулы для соs 2α:

соs 2α =1 – 2 sin² α,

соs 2α = 2 соs² α – 1.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

tg x – ctg x.

РЕШЕНИЕ:
Для преобразования числителя дроби воспользуемся следующей формулой:

соs² α – sin² α = соs 2α

но сначала вынесем знак минус за скобки

sin² х – соs² х =

–(соs² х – sin² х) = – соs 2х.

Для преобразования знаменателя дроби воспользуемся следующей формулой:

2 sin α cos α = sin 2α

sin x cos x = ¹/₂sin 2x.

В результате получим:

ОТВЕТ: –2 ctg 2x

ПРИМЕР:

Доказать тождество:

РЕШЕНИЕ:

Знаменатель правой части преобразуем по следующей формуле:

соs 2α = соs² α – sin² α

сos х = cos² ^х/₂ – sin² ^х/₂ =

cos² ^х/₂ – (1 – cos² ^х/₂) =

2 cos² ^х/₂ – 1.

1 + сos х = 2 cos² ^х/₂.

Числитель правой части преобразуем по следующей формуле:

sin 2α = 2 sin α cos α.

sin х = 2 sin ^х/₂ cos ^х/₂.

В результате получим:

Тангенс двойного угла равен удвоенному тангенсу данного угла, деленному на разность между единицей и квадратом тангенса данного угла.
Выведем формулу для tg 2α.
Полагая в формуле

получим:

или

Эта формула имеет место для всех значений α, кроме

α = ^π/₂ + kπ,

α = ^π/₄ + 2kπ,

где k – целое число, так как при таких значениях α не определён (не существует) или tg α или tg 2α.

Эта формула может быть получена и в результате почленного деления формулы

sin 2α = 2 sin α cos α

на формулу

соs 2α = соs² α – sin² α

и последующих простых преобразований.

ПРИМЕР:

Дано: tg α = ³/₄.

Найти tg 2α.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

ПРИМЕР:

Вычислите tg x,

если tg 2x = 2,

³^π/₂ < x < 2π.

РЕШЕНИЕ:

Так как по условию

³^π/₂ < x < 2π, то

tg 2x < 0. Имеем:

Делаем замену t = tg x и получаем уравнение

t² + t – 1 = 0,

корни которого следующие:

Так как tg x < 0, то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно:

ОТВЕТ:
Котангенс двойного угла равен разности квадрата котангенса и единицы, делённой на удвоенный котангенс данного угла.
С помощью этих формул можно выразить синус, косинус, тангенс, котангенс любого (допустимого) аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшого аргумента.

Формула

sin 2α = 2 sin α cos α

связывает синус любого угла с синусом и косинусом угла, вдвое меньшего.

ПРИМЕР:

sin x = sin 2 ∙ ^x/₂ = 2 sin ^x/₂ cos ^x/₂,

sin 5x = sin 2 ∙ ⁵^x/₂ = 2 sin ⁵^x/₂ cos ⁵^x/₂,

sin ^x/₂ = 2 sin ^x/₄ cos ^x/₄.

Формула

соs 2α = соs² α – sin² α

связывает косинус любого угла с синусом и косинусом угла, вдвое меньшего. На основании её можно, например, выражения

cos 6α, соs α, соs ^x/₂

представить следующим образом:

ПРИМЕР:

cos 6α = cos² 3α – sin² 3α,

соs α = cos² ^α/₂ – sin² ^α/₂,

соs ^x/₂ = cos² ^x/₄ – sin² ^x/₄.

Пользуясь формулой тангенса двойного угла, можно тангенс любого угла выразить через тангенс угла вдвое меньшего.

ПРИМЕР:
Путём последовательного применения формул сложения аргументов тригонометрических функций можно получить формулы для 3α, 4α и так далее. Приведём формулы для тройных углов:

sin 3α = sin (α + 2α) =

= sin α cos 2α + sin 2α cos α =

= sin α (соs² α – sin² α) + cos α 2 sin α cos α =

= sin α (1 – 2 sin² α) + 2 sin α (1 – sin² α) =

= sin α – 2 sin³ α + 2 sin α – 2 sin³ α =

= 3 sin α – 4 sin³α,

cos 3α = соs (α + 2α) =

= cos α cos 2α – sin α sin 2α =

= соs α (соs² α – sin² α) – sin α 2 sin α cos α =

= соs α (2 соs² α – 1) – 2 соs α (1 – соs² α) =

= 2 соs³ α – соs α – 2 соs α + 2 соs³ α =

= 4 cos³α – 3 cos α,

ПРИМЕР:

Вычислить sin 18°.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся тождеством

sin 36° = cos 54°.

Обозначим 18° = α, находим, что в данном случае

sin 2α = cos 3α, или

2 sin α cos α = 4 cos³ α – 3 cos α.

Так как cos α ≠ 0, то, после сокращения на cos α, имеем

2 sin α = 4 cos²α – 3 = 4(1 – sin²α) – 3,

откуда

4 sin²α + 2 sin α – 1 = 0.

Решая это уравнение относительно sin α, найдём
Так как в первом квадранте sin α ˃ 0, то второе значение не подходит.

ОТВЕТ:
В некоторых случаях полезным оказывается использование полученных формул справа налево:

Если формулы

сначала вычесть одну из другой, а затем сложить, то получим следующие две формулы, часто употребляемые при различных тригонометрических преобразованиях:

Эти формулы называются формулами понижения степени. Они позволяют преобразовывать sin²х и cos²х в выражения, содержащие первую степень косинуса двойного аргумента.

ПРИМЕР:

Используя формулы: