Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 2 марта 2019 г.

Урок 23. Формулы половинного аргумента

ВИДЕО УРОК

Синус, косинус, тангенс и котангенс половины угла.

Формулы деления аргумента пополам выражают тригонометрические функции половинного аргумента  α/2  через тригонометрические функции аргумента  α.

Синус половины угла равен плюс или минус квадратному корню из полуразности между единицей и косинусом целого числа.
Рассмотрим соотношения
В результате почленного вычитания получим:
откуда
ПРИМЕР:

Вычислите  sin α/2, если

cos α = – 4/5  и  180° < α < 270°.

РЕШЕНИЕ:

По формуле
Находим
Учитывая, что  sin α/2 ˃ 0  при 

180° < α < 270°, то есть 

90° < α/2 < 135°, получим
ОТВЕТ: 

sin α/2 ≈ 0,948683.

ПРИМЕР:

Найдём  sin 15°  без таблицы:

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
Косинус половины угла равен плюс или минус квадратному корню из полусуммы единицы и косинуса целого числа.
Складывая почленно равенства
будем иметь:
откуда
ПРИМЕР:

Найдём

sin  α/2, cos  α/2,

если

cos α = 0,8  и  0 < α < π/2.

РЕШЕНИЕ:

Угол  α/2  находится в  I  четверти, поэтому 

sin  α/2 ˃ 0, cos α/2 ˃ 0.
ОТВЕТ:

sin α/2 ≈ 0,316,

cos α/2  ≈ 0,949.

Тангенс половины угла равен плюс или минус корню квадратному из дроби, числитель которой есть разность между единицей и косинусом целого угла, а знаменатель есть сумма единицы и косинуса целого угла.
Разделим почленно равенство
на равенство
получим:
ПРИМЕР:

Найдём значение  tg 112°30ʹ  без таблиц.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:

tg 112°30ʹ = –1 – √͞͞͞͞͞2.   
Котангенс половины угла равен плюс или минус корню квадратному из дроби, числитель которой есть сумма между единицей и косинусом целого угла, а знаменатель есть разность единицы и косинуса целого угла.
ПРИМЕР:

Дано:  cos α = 49/81.

Найти:  sin  α/2, cos  α/2.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:
ПРИМЕР:

Найти  tg  α/2, если  

cos α = 0,8  и  0 < α < π/2.

РЕШЕНИЕ:

По формуле
находим:
tg  α/2 ˃ 0, так как половина острого угла – угол острый, а тангенс острого угла положительный.

Если бы, например угол  α  находился в промежутке между  270°  и  360°, то  cos α  был бы так же положительным, но тангенс половины этого угла уже был бы отрицательным, так как

135° < α/2 < 180°,

то есть подвижной радиус, соответствующий углу  α/2, расположился бы во второй четверти, поэтому перед корнем в формуле
надо взять знак минус.
 Последний пример поясняет смысл двух знаков  ±  перед радикалом в формулах
Знаки плюс или минус берутся в соответствии с тем, в какой четверти расположится подвижной радиус половины угла.

Если же величина угла  α, а следовательно, и  α/2  неизвестны, то перед радикалом ставим оба знака.

Для тангенса половинного угла можно вывести ещё две формулы.

Если в равенстве
помножить числитель и знаменатель правой части на  2 sin  α/2, то получим:
Но так как

2 sin2 α/2 = 1 – cos α, а 

2 sin α/2 cos α/2 = sin α, то
Если же числитель и знаменатель правой части равенства
помножить на  2 cos α/2, а затем воспользоваться формулами

2 sin α/2 cos α/2 = sin α,

2 cos2 α/2 = 1 + cos α

получим:
Применим полученные формулы к предыдущему примеру. Имеем:  cos α = 0,8. Пусть угол  α – острый. Тогда
откуда по формуле
находим:

По формуле
получим:
Пусть угол  α  заключён между  270°  и  360°, тогда  cos α = +0,8, но  sin α = –0,6, и для  tg  α/2  получим:
по другой формуле:
Формулы
были выведены из таких тождеств:

2 sin2 α/2 = 1 – cos α,

2 cos2 α/2 = 1 + cos α.

Эти тождества

1 – cos α = 2 sin2 α/2,

1 + cos α = 2 cos2 α/2.

полезно помнить, так как ими часто приходится пользоваться при различных преобразованиях. Эти формулы связывают тригонометрические функции углов, из которых один вдвое больше другого.

ПРИМЕР:

Привести к простейшему виду выражение
РЕШЕНИЕ:

Пользуясь формулой

1 + cos 2α = 2 cos2 α

имеем:
ПРИМЕР:
Привести к простейшему виду выражение
РЕШЕНИЕ:

Пользуясь формулой

sin 2α = 2 sin α cos α

имеем:
ПРИМЕР:
Доказать справедливость равенства
РЕШЕНИЕ:
Преобразуем левую часть:
а это – правая часть.
Аналогично можно вывести формулы и для  ctg  α/2.
Выражение тригонометрических функций угла через тангенс половины этого угла.

Все тригонометрические функции любого угла выражаются рационально (с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень) через тангенс половины этого угла.

Имеем:

sin α = 2 sin α/2 cos α/2.

Разделим правую часть на

sin2 α/2 + cos2 α/2,

получим:
Числитель и знаменатель правой части делим на  cos2 α/2, получим:
Точно так же, разделив правую часть тождества

cos α = cos2 α/2 – sin2 α/2

на  sin2 α/2 + cos2 α/2, получим:
Разделим числитель и знаменатель правой части на  cos2 α/2, будем иметь:
и, наконец,
Так как значения функций  sес α  и  cosес α  обратны по величине соответственным значениям функций  cos α  и  sin α, то они также рационально выражаются через  tg  α/2.

Задания к уроку 23

ДРУГИЕ УРОКИ

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий