Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 2 марта 2019 г.

Урок 23. Формули половинного аргументу

ВІДЕО УРОК

Синус, косинус, тангенс та котангенс половини кута.

Формули поділу аргументу навпіл виражають тригонометричні функції половинного аргументу  α/2  через тригонометричні функції аргументу  α.

Синус половини кута дорівнює плюс або мінус квадратного кореня з напіврізниці між одиницею та косинусом цілого числа.
Розглянемо співвідношення
В результаті почленного віднімання отримаємо:
звідки
ПРИКЛАД:

Обчисліть  sin α/2, якщо

cos α = – 4/5  и  180° < α < 270°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою
Знаходимо
Враховуючи, що  sin α/2 ˃ 0  при 

180° < α < 270°, тобто 

90° < α/2 < 135°, отримаємо
ВІДПОВІДЬ: 

sin α/2 ≈ 0,948683.

ПРИКЛАД:

Знайдемо  sin 15°  без таблиці:

ВІДПОВІДЬ:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Косинус половини кута дорівнює плюс або мінус квадратному кореню з півсуми одиниці і косинуса цілого числа.
Складаючи почленно рівності
будемо мати:
звідки
ПРИКЛАД:

Знайдемо

sin  α/2, cos  α/2,

якщо

cos α = 0,8  і  0 < α < π/2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кут  α/2  знаходиться в  I  чверті, тому 

sin  α/2 ˃ 0, cos α/2 ˃ 0.
ВІДПОВІДЬ:

sin α/2 ≈ 0,316,

cos α/2  ≈ 0,949.

Тангенс половини кута дорівнює плюс або мінус кореню квадратному з дробу, чисельник якого є різниця між одиницею та косинусом цілого кута, а знаменник є сума одиниці та косинуса цілого кута.
Розділимо почленно рівність
на рівність
отримаємо:
ПРИКЛАД:

Знайдемо значення  tg 112°30ʹ  без таблиць.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:
tg 112°30ʹ = –1 – √͞͞͞͞͞2.

Котангенс половини кута дорівнює плюс або мінус кореню квадратному з дробу, чисельник якого є сума між одиницею і косинусом цілого кута, а знаменник є різниця одиниці та косинуса цілого кута.
ПРИКЛАД:

Дано:  cos α = 49/81.

Знайти:  sin  α/2, cos  α/2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:
ПРИКЛАД:

Знайти  tg  α/2, якщо  

cos α = 0,8  і  0 < α < π/2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

По формулі
знаходимо:
tg  α/2 ˃ 0, так як половина гострого кута – кут гострий, а тангенс гострого кута позитивний.

Якби, наприклад, кут  α  знаходився в проміжку між  270°  і  360°, то  cos α  був би так само позитивним, але тангенс половини цього кута вже був би негативним, оскільки

135° < α/2 < 180°,

тобто рухомий радіус, що відповідає куту  α/2, розташувався б у другій чверті, тому перед корінням у формулі
треба взяти знак мінус.
 Останній приклад пояснює сенс двох знаків  ±  перед радикалом у формулах
Знаки плюс або мінус беруться відповідно до того, в якій чверті розташується рухомий радіус половини кута.

Якщо ж величина кута  α, а отже, і  α/2  невідомі, перед радикалом ставимо обидва знаки.

Для тангенсу половинного кута можна вивести ще дві формули.

Якщо у рівності
помножити чисельник та знаменник правої частини на  2 sin  α/2, то отримаємо:

Але так як

2 sin2 α/2 = 1 – cos α, а 

2 sin α/2 cos α/2 = sin α, то

Якщо ж чисельник та знаменник правої частини рівності
помножити на  2 cos α/2, а потім скористатися формулами

2 sin α/2 cos α/2 = sin α,

2 cos2 α/2 = 1 + cos α

отримаємо:
Застосуємо отримані формули попереднього прикладу. Маємо: 
 cos α = 0,8. Нехай кут  α – гострий. Тоді
звідки за формулою
знаходимо:
За формулою
отримаємо:
Нехай кут  α  укладений між  270°  і  360°, тоді  cos α = +0,8, але  sin α = –0,6, і для  tg  α/2  отримаємо:
за іншою формулою:
Формули
були виведені з таких тотожностей:

2 sin2 α/2 = 1 – cos α,

2 cos2 α/2 = 1 + cos α.

Ці тотожності

1 – cos α = 2 sin2 α/2,

1 + cos α = 2 cos2 α/2.

корисно пам'ятати, тому що ними часто доводиться користуватися за різних перетворень. Ці формули пов'язують тригонометричні функції кутів, з яких один удвічі більший за інший.

ПРИКЛАД:

Привести до найпростішого вигляду вираз
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись формулою

ПРИКЛАД:

Привести до найпростішого вигляду вираз

1 + cos 2α = 2 cos2 α

маємо:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись формулою

sin 2α = 2 sin α cos α

маємо:
ПРИКЛАД:
Довести справедливість рівності
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо ліву частину:
а це – права частина.
Аналогічно можна вивести формули для  ctg  α/2.
Вираз тригонометричних функцій кута через тангенс половини цього кута.

Всі тригонометричні функції будь-якого кута виражаються раціонально (за допомогою дій складання, віднімання, множення, поділу та зведення в цілий ступінь) через тангенс половини цього кута.

Маємо:

sin α = 2 sin α/2 cos α/2.

Поділимо праву частину на

sin2 α/2 + cos2 α/2,

отримаємо:
Чисельник та знаменник правої частини ділимо на  cos2 α/2, отримаємо:
Так само, розділивши праву частину тотожності

cos α = cos2 α/2 – sin2 α/2

на  sin2 α/2 + cos2 α/2, отримаємо:
Розділимо чисельник та знаменник правої частини на  cos2 α/2, матимемо:
і наприкінці,
Оскільки значення функцій  sес α  і  cosес α  зворотні за величиною відповідним значенням функцій  cos α  і  sin α, то вони також раціонально виражаються через  tg  α/2.

Завдання до уроку 23
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий