Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

ВИДЕО УРОК

Преобразованиев произведение суммы и разности двух синусов или косинусов.

На основании формул

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у,

sin (х– у) = sin х cos у – cos х sin у,

в результате почленного сложения и вычитания этих равенств получим:

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (х – у) = 2 cos х sin у.

Положим в этих равенствах

х + у = α,

х – у = β.

Решая эти два уравнения относительно  х  и у, находим:

В равенства 

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (х – у) = 2 cos х sin у

подставляем выражения для  х + у, х – у, х  и  у  из равенств

Получим следующую формулу:

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

1 + sin α.

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

1 + 2 sin α.

РЕШЕНИЕ:

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

В полученных равенствах  α  и  β – любые углы, так как каковы бы ни были  α  и  β, всегда найдутся такие  х  и  у, для которых

х + у = α,

х – у = β.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

√͞͞͞͞͞3 – 2 sin α.

РЕШЕНИЕ:

Вынесем за скобки  2  в данном выражении и после этого заменимчерез  sin 60°, получим

через  sin 60°, получим:

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

sin² α – sin² β.

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

sin х + соs 2х – sin 3х.

РЕШЕНИЕ:

sin х + соs 2х – sin 3х = соs 2х – (sin 3х – sin х) =

= соs 2х – 2 sin х соs 2х = 2 соs 2х (0,5 – sin х) =

= 2 соs 2х (sin ^π/₆ – sin х) =

Запишем формулы косинуса суммы двух углов:

cos (х + у) = cos х cos у – sin х sin у.

соs (х – у) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное сложение этих равенств даёт такое соотношение:

cos (х + у) + cos (х – у) = 2 соs х cos у,

Если в каждом из этих равенств перейти от  х  и  у  к  α  и  β  на основании равенств

х + у = α,

х – у = β,

то получим следующую формулу:

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

соs  48° + соs 12°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞3 соs 18°

Запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

cos (х + у) = cos х cos у – sin х sin у.

соs (х – у) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное вычитание этих равенств даёт такое соотношение:

cos (х + у) – cos (х – у) = –2 sin х sin у.

Если в каждом из этих равенств перейти от  х  и  у  к  α  и  β  на основании равенств

х + у = α,

х – у = β,

то получим следующую формулу:

или, так как

то формула примет вид:

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус обратной полуразности, то есть полуразности, в которой уменьшаемое есть угол, стоящий под знаком вычитаемой функции в левой части.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

соs  48° – соs 12°.

РЕШЕНИЕ:

Применив формулу разности косинусов при

α = 48°, β = 12°,

получим:

ОТВЕТ:  –sin 18°

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

соs  5° – соs 35°.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  2 sin 20° sin 15°

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

cos² α – cos² β.

РЕШЕНИЕ:

cos² α – cos² β = (cos α + cos β)(cos α – cos β) =

ПРИМЕР:

Доказать тождество.

Перегруппировав в левой части тождества слагаемые в числителе и знаменателе, а затем, воспользовавшись формулами

найдём

что и требовалось доказать.

 ПРИМЕР:

Доказать тождество.

Преобразуем левую часть тождества следующим образом:

что и требовалось доказать.

Теми же формулами можно воспользоваться для преобразования в произведение сумм и разностей вида

sin α + соs β,

sin α – соs β.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

sin α + соs α.

РЕШЕНИЕ:

sin α + соs α = sin α + sin (90° – α) =

= 2 sin 45° соs (45° – α) = √͞͞͞͞͞2 соs (45° – α).

ПРИМЕР:

Разность

sin 96° – соs 36°

можно заменить разностью

sin 96° – sin 54°,

которая равна:

ПРИМЕР:

Сумму

соs 10° + sin 100°

можно заменить суммой

sin 80° + sin 100° =

= 2 sin 90°соs 10° = 2 соs 10°.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

1 + sin α + соs α.

РЕШЕНИЕ:

1 + sin α + соs α = (1 + соs α) + sin α =

= 2 соs^{2 α}/₂ + 2 sin ^α/₂ соs ^α/₂ =

= 2 соs ^α/₂ (соs ^α/₂ + sin ^α/₂) =

= 2 соs ^α/₂ [sin (^π/₂ – ^α/₂) + sin ^α/₂] =

= 2 соs ^α/₂ 2 sin ^π/₄ cos (^π/₄ – ^α/₂) =

= 2√͞͞͞͞͞2 cos ^α/₂ cos (^π/₄ – ^α/₂).

Преобразование в произведение суммы и разности двух тангенсов или котангенсов.

Сумма тангенсов углов  α  и  β  преобразуется в произведение следующим образом:

или

Сумма тангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус суммы данных углов, а знаменатель – произведение косинусов тех же углов.
Аналогично преобразуется в произведение разность тангенсов углов  α  и  β:

или

Разность тангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус разности данных углов, а знаменатель – произведение косинусов тех же углов.
В результате сложения котангенсов двух углов получим:

или, в окончательном виде:

Сумма котангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус суммы двух углов, а знаменатель – произведение синусов тех же углов.
Выведем формулу, выражающую разность котангенсов двух углов:

Следовательно,

Разность котангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус обратной разности данных углов, а знаменатель – произведение синусов тех же углов.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

tg 20° + tg 70°.

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Доказать, что

tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81° = 4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81° =

= (tg 9° + tg 81°) – (tg 27° + tg 63°).

Но

Тогда

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Из формулы

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

следует

Произведение синуса одного угла на косинус другого равно полусумме синуса суммы данных углов и синуса разности данных углов.

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

sin 43° cos 19°.

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись формулой:при  α = 43°,

β = 19°, получим:

ОТВЕТ:

¹/₂ (sin 62° + sin 24°)

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

sin 50° cos 30°.

РЕШЕНИЕ:

sin 50° cos 30° = ¹/₂ (sin 80° + sin 20°).

Из формулы

cos (х + у) + cos (х – у) = 2 соs х cos у

имеем:

Произведение косинусов двух углов равно полусумме косинуса суммы этих углов и косинуса их разности.

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

cos 25° cos 59°.

РЕШЕНИЕ:

cos 25° cos 59° = ¹/₂ (cos 84° + cos 34°).

ПРИМЕР:

Найти период функции:

у = cos х cos 6х.

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись формулой

cos х cos у = ¹/₂ [cos (х + у) + cos (х – у)]

получим

у = cos х cos 6х =

¹/₂ [cos (х – 6х) + cos (х + 6х)] =

= ¹/₂ cos 5х + ¹/₂ cos 7х.

Период функции

у = cos 5х, равен  Т₁ = ^2π/₅.

Период функции

у = cos 7х, равен  Т₂ = ^2π/₇.

Наименьшее число, при делении которого на

Т₁ = ^2π/₅  и  Т₂ = ^2π/₇

получаются целые числа, есть число  2π. Следовательно, период заданной функции равен  Т = 2π.

ОТВЕТ:  2π

Из формулы

cos (х + у) – cos (х – у) = –2 sin х sin у,

следует

Произведение синусов двух углов равно полуразности косинуса разности этих углов и косинуса их суммы.

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

sin 70° sin 15°.

РЕШЕНИЕ:

sin 70° sin 15° = ¹/₂ (cos 55° – cos 85°).

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

A = sin 3α sin³ α + cos 3α cos³ α.

Преобразуем данное выражение следующим образом:

A = (sin 3α sin α) sin² α + (cos 3α cos α) cos² α.

Воспользовавшись теперь формулами

находим

A = ¹/₂ (cos 2α – cos 4α) sin² α + ¹/₂ (cos 2α + cos 4α) cos² α =

¹/₂ cos 2α (sin² α + cos² α) + ¹/₂ cos 4α (cos² α – sin² α) =

¹/₂ cos 2α + ¹/₂ cos 4α cos 2α = ¹/₂ cos 2α (1 + cos 4α) =

¹/₂ cos 2α 2cos² 2α = cos³ 2α.

ПРИМЕР:

Доказать тождество:

1 – cos α – sin α = 2√͞͞͞͞͞2 sin ^α/₂ sin (^α/₂ – ^π/₄).

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем правую часть равенства:

2√͞͞͞͞͞2 sin ^α/₂ sin (^α/₂ – ^π/₄) =

= 2√͞͞͞͞͞2 sin ^α/₂ (sin ^α/₂ cos ^π/₄ – sin ^α/₂ cos ^π/₄) =

= 2 sin^{2 α}/₂ – 2 sin ^α/₂ cos ^α/₂ = 1 – cos α – sin α.

Формулы, которые необходимо запомнить.

  

Задания к уроку 24

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований