Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 19 марта 2019 г.

Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

ВИДЕО УРОК

Преобразованиев произведение суммы и разности двух синусов или косинусов.

На основании формул

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у,

sin (х– у) = sin х cos у – cos х sin у,

в результате почленного сложения и вычитания этих равенств получим:

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (х – у) = 2 cos х sin у.

Положим в этих равенствах

х + у = α,

х – у = β.

Решая эти два уравнения относительно  х  и у, находим:
В равенства 

sin (х + у) + sin (х – у) = 2 sin х cos у,

sin (х + у) – sin (х – у) = 2 cos х sin у

подставляем выражения для  х + у, х – у, х  и  у  из равенств
Получим следующую формулу:
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

1 + sin α.

РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

1 + 2 sin α.

РЕШЕНИЕ:
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

В полученных равенствах  α  и  β – любые углы, так как каковы бы ни были  α  и  β, всегда найдутся такие  х  и  у, для которых

х + у = α,

х – у = β.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

√͞͞͞͞͞3 – 2 sin α.

РЕШЕНИЕ:

Вынесем за скобки  2  в данном выражении и после этого заменимчерез  sin 60°, получим
через  sin 60°, получим:
ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

sin2 αsin2 β.

РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

sin х + соs 2хsin 3х.

РЕШЕНИЕ:

sin х + соs 2хsin 3х = соs 2х – (sin 3хsin х) =

= соs 2х – 2 sin х соs 2х = 2 соs 2х (0,5 – sin х) =

= 2 соs 2х (sin π/6sin х) =
Запишем формулы косинуса суммы двух углов:

cos (х + у) = cos х cos уsin х sin у.

соs (ху) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное сложение этих равенств даёт такое соотношение:

cos (х + у) + cos (ху) = 2 соs х cos у,

Если в каждом из этих равенств перейти от  х  и  у  к  α  и  β  на основании равенств

х + у = α,

х – у = β,
то получим следующую формулу:
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

соs  48° + соs 12°.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:
ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞3 соs 18°

Запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

cos (х + у) = cos х cos уsin х sin у.

соs (ху) = соs х cos у + sin х sin у.

Почленное вычитание этих равенств даёт такое соотношение:

cos (х + у) – cos (ху) = –2 sin х sin у.

Если в каждом из этих равенств перейти от  х  и  у  к  α  и  β  на основании равенств

х + у = α,

х – у = β,
то получим следующую формулу:
или, так как
то формула примет вид:
Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус обратной полуразности, то есть полуразности, в которой уменьшаемое есть угол, стоящий под знаком вычитаемой функции в левой части.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

соs  48° – соs 12°.

РЕШЕНИЕ:

Применив формулу разности косинусов при

α = 48°, β = 12°,

получим:
ОТВЕТ:  –sin 18°

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

соs  5° – соs 35°.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  2 sin 20° sin 15°

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

cos2 αcos2 β.

РЕШЕНИЕ:

cos2 αcos2 β = (cos α + cos β)(cos αcos β) =
ПРИМЕР:

Доказать тождество.
Перегруппировав в левой части тождества слагаемые в числителе и знаменателе, а затем, воспользовавшись формулами
найдём
что и требовалось доказать.

 ПРИМЕР:

Доказать тождество.
Преобразуем левую часть тождества следующим образом:
что и требовалось доказать.

Теми же формулами можно воспользоваться для преобразования в произведение сумм и разностей вида

sin α + соs β,

sin α – соs β.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

sin α + соs α.

РЕШЕНИЕ:

sin α + соs α = sin α + sin (90°α) =

= 2 sin 45° соs (45°α) = √͞͞͞͞͞2 соs (45°α).

ПРИМЕР:

Разность

sin 96° – соs 36°

можно заменить разностью

sin 96° sin 54°,

которая равна:
ПРИМЕР:

Сумму

соs 10° + sin 100°

можно заменить суммой

sin 80° + sin 100° =

= 2 sin 90°соs 10° = 2 соs 10°.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

1 + sin α + соs α.

РЕШЕНИЕ:

1 + sin α + соs α = (1 + соs α) + sin α =

= 2 соs2 α/2 + 2 sin α/2 соs α/2 =

= 2 соs α/2 (соs α/2 + sin α/2) =

= 2 соs α/2 [sin (π/2 α/2) + sin α/2] =

= 2 соs α/2 2 sin π/4 cos (π/4α/2) =

= 2√͞͞͞͞͞2 cos α/2 cos (π/4α/2).

Преобразование в произведение суммы и разности двух тангенсов или котангенсов.

Сумма тангенсов углов  α  и  β  преобразуется в произведение следующим образом:
или
Сумма тангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус суммы данных углов, а знаменатель – произведение косинусов тех же углов.
Аналогично преобразуется в произведение разность тангенсов углов  α  и  β:
или
Разность тангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус разности данных углов, а знаменатель – произведение косинусов тех же углов.
В результате сложения котангенсов двух углов получим:
или, в окончательном виде:
Сумма котангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус суммы двух углов, а знаменатель – произведение синусов тех же углов.
Выведем формулу, выражающую разность котангенсов двух углов:
Следовательно,
Разность котангенсов двух углов равна дроби, числитель которой есть синус обратной разности данных углов, а знаменатель – произведение синусов тех же углов.

ПРИМЕР:

Преобразовать в произведение:

tg 20° + tg 70°.

РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Доказать, что

tg 9° tg 27°tg 63° + tg 81° = 4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

tg 9° tg 27°tg 63° + tg 81° =

= (tg 9° + tg 81°) – (tg 27° + tg 63°).

Но
Тогда
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Из формулы

sin (х + у) + sin (ху) = 2 sin х cos у,

следует
Произведение синуса одного угла на косинус другого равно полусумме синуса суммы данных углов и синуса разности данных углов.

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

sin 43° cos 19°.

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись формулой:при  α = 43°,
β = 19°, получим:
ОТВЕТ:

1/2 (sin 62° + sin 24°)

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

sin 50° cos 30°.

РЕШЕНИЕ:

sin 50° cos 30° = 1/2 (sin 80° + sin 20°).

Из формулы

cos (х + у) + cos (ху) = 2 соs х cos у

имеем:
Произведение косинусов двух углов равно полусумме косинуса суммы этих углов и косинуса их разности.

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

cos 25° cos 59°.

РЕШЕНИЕ:

cos 25° cos 59° = 1/2 (cos 84° + cos 34°).

ПРИМЕР:

Найти период функции:

у = cos х cos 6х.

РЕШЕНИЕ:

Воспользовавшись формулой

cos х cos у = 1/2 [cos (х + у) + cos (х у)]

получим

у = cos х cos 6х =

1/2 [cos (х – 6х) + cos (х + 6х)] =

= 1/2 cos 5х + 1/2 cos 7х.

Период функции

у = cos 5х, равен  Т1 = 2π/5.

Период функции

у = cos 7х, равен  Т2 = 2π/7.

Наименьшее число, при делении которого на

Т1 = 2π/5  и  Т2 = 2π/7

получаются целые числа, есть число  . Следовательно, период заданной функции равен  Т = .

ОТВЕТ: 

Из формулы

cos (х + у) – cos (ху) = –2 sin х sin у,

следует
Произведение синусов двух углов равно полуразности косинуса разности этих углов и косинуса их суммы.

ПРИМЕР:

Преобразовать в сумму произведение:

sin 70° sin 15°.

РЕШЕНИЕ:

sin 70° sin 15° = 1/2 (cos 55° cos 85°).

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

A = sin 3α sin3 α + cos 3α cos3 α.

Преобразуем данное выражение следующим образом:

A = (sin 3α sin α) sin2 α + (cos 3α cos α) cos2 α.

Воспользовавшись теперь формулами
находим

A = 1/2 (cos 2αcos 4α) sin2 α + 1/2 (cos 2α + cos 4α) cos2 α =

1/2 cos 2α (sin2 α + cos2 α) + 1/2 cos 4α (cos2 αsin2 α) =

1/2 cos 2α + 1/2 cos 4α cos 2α = 1/2 cos 2α (1 + cos 4α) =

1/2 cos 2α 2cos2 2α = cos3 2α.

ПРИМЕР:

Доказать тождество:

1 – cos αsin α = 2√͞͞͞͞͞2 sin α/2 sin (α/2π/4).

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем правую часть равенства:

2√͞͞͞͞͞2 sin α/2 sin (α/2π/4) =

= 2√͞͞͞͞͞2 sin α/2 (sin α/2 cos π/4sin α/2 cos π/4) =

= 2 sin2 α/2 – 2 sin α/2 cos α/2 = 1 – cos α – sin α.

Формулы, которые необходимо запомнить.
  
Задания к уроку 24

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий