Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 18 марта 2019 г.

Урок 25. Графіки функцій y = sin x і y = cos x

ВІДЕО УРОК

Графік функції  у = sin x.

Побудувати графік цієї функції можна двома способами.

Перший спосіб полягає в наступному: даємо значення аргументу  х  та знаходимо відповідні значення функції  sin x. В результаті отримаємо наступну таблицю:
Далі, у прямокутній системі координат
будуємо точки, що відповідають знайденим парам значень  х  і  sin x, користуючись однаковими масштабами по осях  Ох  та  Оу.

На підставі вже встановлених властивостей функцій  sin x  ці точки можна поєднати плавною кривою і вийде частина графіка функції  у = sin x.

Надалі при побудові графіка функції  у = sin x  обмежуватимемося лише таблицею для п'яти перших точок:

(0; 0), (π/8; 0,4), (π/4; 0,7), (3π/8; 0,9), (π/2; 1).

Наступні чотири точки виходить на підставі формули

sin (π/2 + α) = sin (π/2α)

яка показує, що графік функції  у = sin x  симетричний щодо прямої, що проходить через точку осі  Ох  з абсцисою  π/2  та паралельної осі  Оу.

Формула

sin (π + α) = –sin α

показує, що точка  (π; 0)  є центром симетрії синусоїди (це підтверджує таблицю). Сказане дає можливість побудувати другу половину кривої хвилі, розташовану під віссю  Ох.

На підставі періодичності функції  sin x  отриманий графік може бути продовжений як ліворуч, так і праворуч.

Інший спосіб побудови графіка функції  у = sin x – геометричний.

Розіб'ємо одиничне коло на довільне число рівних частин (наприклад на  16)
і помітимо кінці дуг відповідно до значень

0, π/8, π/4, 3π/8, …, 2π.

Побудуємо ординати точок поділу, тобто синуси відповідних дуг. Слід звернути увагу на те, що синуси дуг, що закінчуються в точках, симетричних щодо осі  Оу, між собою рівні, тому що за формулами наведення маємо:
На підставі цього можна обмежитись (що на практиці і робиться) побудовою ординат точок правого півкола.

Нехай тепер дане коло розрізане в точці з нульовим розподілом, спрямоване і відкладене (разом з нанесеними на ньому поділами) вправо від точки  О'у  напрямку осі абсцис. Для цього достатньо  16 разів відкласти відрізок завдовжки

2π/16 = π/8 0,4.

обраної одиниці (нагадаємо, що радіус одиничного кола дорівнює одиниці довжини, і тому довжина всього кола дорівнює 2π, а довжина її шістнадцятої частини дорівнює π/8).

Приймемо точку  О'  за початок нової системи координат. Нову вісь абсцис  О'х  направимо старою  Ох. Нову вісь ординат  О'у  направимо паралельно старої  Оу.

Після цього з точок поділу спрямленого кола ми відновимо промені, перпендикулярні до осі  Ох  і спрямовані вгору для значень

0 ≤ хπ

і вниз для

πх ≤ 2π.

Відкладемо ними відповідні значення ординат, взяті з кола. Кінці цих перпендикулярів визначаються своїми координатами: абсциса – дуга, ордината – синус. Побудову перпендикулярів можна замінити простим паралельним перенесенням відповідних ординат, проведених у колі. Таким чином, отримуємо низку точок. Поєднавши їх плавною лінією, отримаємо графік синусоїди.

Частина синусоїди, що відповідає одному повному обороту рухомого радіусу, наприклад, взята в проміжку між  0  і  , називається хвилею. Її становлять дві напівхвилі, два <<горби>>. Відрізок осі  О'х, на який спирається напівхвиля синусоїди, називають базою синусоїди. Завдяки тому, що масштаб по осях  О'х  і  О'у'  нами взятий однаковий, між максимальною її ординатою, що дорівнює одиниці, і базою, що дорівнює  π ≈ 3,14, існує певне співвідношення: база синусоїди в π разів більша за її максимальну ординату .

Синусоїда є суцільною, без розривів, кривою лінією.
Графік функції  у = sin x  дозволяє наочно простежити властивості цієї функції:
проміжки, у яких функція зростає одночасно зі зростанням аргументу
проміжки, у яких функція зменшується зі зростанням аргументу
значення аргументу
при яких функція набуває максимальних значень  (+1);
значення аргументу
при яких функція набуває мінімальних значень  (–1);

значення аргументу  (), у яких функція перетворюється на нуль (точки перетину графіка з віссю  Ох) тощо (k – будь-яке ціле число).

Розглянемо ще один спосіб побудови графіка  у = sin x.

Візьмемо контрольні точки

(0; 0), (π/6; 1/2), (π/2; 1), (π; 0),

побудуємо напівхвилю – графік функції  у = sin x  на відрізку  [0; π].
Оскільки функція  у = sin x  непарна, то виконавши симетрію побудованого графіка щодо початку координат, отримаємо графік функції на відрізку  [–π; π].

Нарешті, скориставшись періодичністю функції  у = sin x, можна побудувати графік по всій області визначення.
Графік функції  у = sin x  дозволяє вловити деякі тонкощі зміни цієї функції. Наприклад, крива при виході з початку координат досить круто піднімається вгору, ординати її значно зростають у разі зростання абсцис: у міру наближення аргументу до  π/2(90°) ординати ростуть повільно, підйом кривої мало помітний. Такі відмінності  у  характері зміни  sin x  поблизу нуля та поблизу π/пояснюють нам, чому табличні різниці для синусів у тригонометричних таблицях зменшуються в міру наближення аргументу до  π/2 (у той час як табличні різниці кутів поблизу нуля при зміні їх на  1'  рівні  0,0003, ці ж різниці поблизу  π/2  виражаються частками, меншими  0,0001).

Деякі властивості функції  у = sin x.

1. Область визначення – безліч всіх дійсних чисел.

2. Область значень – відрізок  [-1; 1].

3. Функція періодична, основний період дорівнює  .

4. Безперервність функції  у = sin x.

Функція  у = sin x  існує при всіх дійсних значеннях  х, причому графік є суцільною кривою лінією (без розривів), тобто функція  у = sin x  безперервна.

5. Функція  у = sinнепарна, та її графік симетричний щодо початку координат.
6. Найбільші та найменші значення. Усі можливі значення функції  у = sin x  обмежені нерівностями

–1 ≤ sin x ≤ +1,

причому

sin x = +1,

якщо  х = π/2 + 2πn, і

sin x = –1,

якщо  х = 3π/2 + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; … 

7. Нульові значення (точки перетину графіка функції з віссю абсцис).

sin x = 0,

якщо  х = πn,

(n = 0; ±1; ±2; …).

8. Інтервали зростання та спадання.

З графіка функції  у = sin x
видно і з визначення цієї функції випливає, що при зміні  х  від

π/2 + 2πnxπ/2 +2πn

(n = 0; ±1; ±2; …)

функція  sin x  зростає від  –1 до  +1, приймаючи всі проміжні значення.

Це означає, що більшому значенню кута  х  із цього проміжку відповідає більше значення  sin x, тобто якщо

π/2 х1 < х2 π/2

то

–1 ≤ sin х1 < sin х2 +1

такий кут  х, і до того ж єдиний, синус якого дорівнює  у.

При зміні  х  від  π/2  до  3π/2  функція  sin x  зменшується від  +1  до  –1, тобто більшого значення  х  із цього проміжку відповідає менше значення  sin x. При зміні  х  від  π/2  до  3π/2  функція  sin x  зменшується від  +1  до  –1, тобто більшому значенню  х  із цього проміжку відповідає менше значення  sin x. При цьому  sin x  набуває всіх проміжних значень між  +1  и  1.

Період функції sin x дорівнює  . Тому можна до меж розглянутого проміжку додати по  2πn.

π/2 + 2πnx3π/2 +2πn

(n = 0; ±1; ±2; …)

 Графік функції  у = соs x.

Формулу приведення

соs x = sin (π/2 + х)

можна прочитати так: косинус будь-якого кута дорівнює синусу кута, на  π/2  більшого, так що маємо:

соs 0 = sin π/2, соs π/8 = sin 5π/8,

соs π/4 = sin 3π/4, соs 3π/8 = sin 7π/8,

соs π/2 = sin π, соs 5π/8 = sin 9π/8.

На підставі поміченого властивості функції  соs x  побудова графіка цієї функції зводиться до наступного.

Візьмемо таку саму одиничну коло, як із побудові графіка функції  у = sin x, і розділимо їх у  16  рівних частин
На осі  Ох  точку  О'  приймемо початок нової прямокутної системи координат; при цьому напрямок нової осі абсцис  О'х  збігається з напрямком осі  Ох, а нова вісь ординат  О'у'  проходить паралельно осі  Оу.

 Від точки  О'  вправо по осі  О'х  відкладемо  16  рівних частин, кожна з яких дорівнює  1/16  довжини одиничного кола. Кінці поділів зліва направо позначені числами:

π/8, π/4, 3π/8, π/2, …, 2π.

Точці  О'  відповідає нульовий поділ. Далі слід знайти ординати графіка функції  соs x, відповідні поміченим абсцис. Ось тут і використовується рівність значень

соs x  и  sin (π/2 + х).

Поступаємо наступним чином. Переносимо по порядку паралельні ординати кінців наступних дуг кола

π/2, 5π/8, 3π/4, 7π/8, π, …

у відповідні точки, що мають на осі  О'х  абсциси:

0, π/8, π/4, 3π/8, π/2, …

Кожній парі отриманих значень абсциси та ординати відповідає єдина точка, що належить графіку функції

  у = соs x.

Поєднавши побудовані точки плавною лінією, отримаємо графік косинусоїди. Косинусоїда є синусоїдою, зміщену вздовж осі  О'х  вліво на  π/2.

З цього укладаємо, що графік функції  у = соs x  то, можливо отримано наступним чином.

Будуємо в деякій прямокутній системі координат з осями  Ох  та  Оу  графік функції  у = sin x; після цього переносимо початок координат у точку  О'(π/2, 0)  і приймаємо за нову вісь абсцис пряму  О'х, позитивний напрямок якої збігається з позитивним напрямом осі  Ох, а за нову вісь ординат пряму  О'у', паралельну  Оу.
Будь-яка ордината цієї кривої виражає собою синус кута, відрахованого по осі  Ох  від точки, або косинус кута, відрахованого по осі  О'х  від точки  О'.

З графіка функції  у = соs x  видно, що  соs x  зменшується від  1  до –1  на будь-якому проміжку зростання  х  від  2kπ  до  π + 2kπ  і зростає від  –1  до  +1  на будь-якому проміжку зростання  х  від  2kπ + π  до  2(k + 1)π; соs x приймає максимальні значення  (+1)  при  х = 2kπ  та мінімальні значення  (–1)  при  х = π + 2kπ; соs x  при  х = π/2 + перетворюється на нуль (k – будь-яке ціле число).

Графік функції  у = cos x  легко одержати з графіка функції  у = sin x.

За будь-якого  х, згідно з формулою, маємо

y = cos x = sin (x + π/2).

Отже, замість значення косинуса можна взяти значення синуса, збільшивши аргумент на  π/2, тобто графіком функції  y = cos x служить той самий синусоїда, але пересунута на  π/2  вліво по осі абсцис.
Деякі властивості функції  y = cos x.

1. Область визначення – безліч всіх дійсних чисел.

2. Область значень – відрізок  [–1; 1].

3. Функція періодична, основний період дорівнює  2π.

4. Функція  y = cos x  парна, та її графік симетричний щодо осі ординат.

5. Найбільші та найменші значення. Усі можливі значення функції  у = cos x  обмежені нерівностями

–1 ≤ cos x ≤ +1,

причому

cos x = +1,

якщо  х = 2πn, и

cos x = –1,

якщо  х = (2n + 1)πn,

де  n = 0; ±1; ±2; … 

6. Нульові значення (точки перетину графіка функції з віссю абсцис).

cos x = 0,

якщо  х = π/2 (2n + 1),

(n = 0; ±1; ±2; …).

7. Інтервали зростання та спадання.

З графіка функція  у = cos x
видно і з визначення її слід, що з зміні аргументу  х  від  0  до  π  функція  cos x  зменшується від  +1  до  –1, приймаючи все проміжні значення. Це означає, що:

більшого значення з цього проміжку відповідає менше значення  cos x, тобто якщо

0 х1 < х2 π

то

+1 cos х1 > cos х2 1.

Будь-якому значенню функції  у, що задовольняє нерівності

–1 ≤ у ≤ +1,

відповідає єдине значення аргументу  х, що задовольняє нерівності

πх ≥ 0,

таке, що

cos x = у.

При зміні  х  від  π  до  2π. При цьому  cos x  набуває всіх проміжних значень від  –1  до  +1.

Період функції  соs x  дорівнює  . Тому можна до меж розглянутого проміжку додати по  2πn.

π + 2πnx2π +2πn

(n = 0; ±1; ±2; …)

Завдання до уроку 25
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий