ВІДЕО УРОК
Побудувати графік цієї функції можна двома способами.
На підставі вже встановлених властивостей функцій sin x ці точки можна поєднати плавною кривою і вийде
частина графіка функції у = sin x.
Надалі при побудові графіка функції у = sin x обмежуватимемося лише таблицею для п'яти
перших точок:
(0; 0), (π/8;
0,4), (π/4; 0,7), (3π/8; 0,9), (π/2;
1).
Наступні чотири точки виходить на підставі формули
sin (π/2 +
α) = sin (π/2 – α)
яка показує, що графік функції у = sin x симетричний
щодо прямої, що проходить через точку осі Ох з
абсцисою π/2 та паралельної осі Оу.
Формула
sin (π + α)
= –sin α
показує, що точка (π;
0) є центром симетрії синусоїди (це
підтверджує таблицю). Сказане дає можливість побудувати другу половину кривої
хвилі, розташовану під віссю Ох.
На підставі періодичності функції sin x отриманий графік може бути продовжений як
ліворуч, так і праворуч.
Інший спосіб побудови графіка функції у = sin x –
геометричний.
0, π/8, π/4, 3π/8, …, 2π.
Нехай тепер дане коло розрізане в точці з нульовим розподілом, спрямоване
і відкладене (разом з нанесеними на ньому поділами) вправо від точки О'у напрямку
осі абсцис. Для цього достатньо 16 разів відкласти відрізок завдовжки
2π/16 = π/8 ≈ 0,4.
обраної одиниці (нагадаємо, що радіус одиничного кола дорівнює одиниці
довжини, і тому довжина всього кола дорівнює 2π, а довжина її шістнадцятої
частини дорівнює π/8).
Приймемо точку О' за початок
нової системи координат. Нову вісь абсцис О'х направимо
старою Ох. Нову вісь ординат О'у направимо паралельно старої Оу.
Після цього з точок поділу спрямленого кола ми відновимо промені,
перпендикулярні до осі Ох і спрямовані вгору для значень
0 ≤ х ≤ π
і вниз для
π ≤ х ≤ 2π.
Відкладемо ними відповідні значення ординат, взяті з кола. Кінці цих
перпендикулярів визначаються своїми координатами: абсциса – дуга, ордината –
синус. Побудову перпендикулярів можна замінити простим паралельним перенесенням
відповідних ординат, проведених у колі. Таким чином, отримуємо низку точок.
Поєднавши їх плавною лінією, отримаємо графік синусоїди.
Частина синусоїди, що відповідає одному повному обороту рухомого радіусу,
наприклад, взята в проміжку між 0 і 2π, називається хвилею. Її
становлять дві напівхвилі, два <<горби>>. Відрізок осі О'х, на який спирається напівхвиля
синусоїди, називають базою синусоїди.
Завдяки тому, що масштаб по осях О'х і О'у' нами
взятий однаковий, між максимальною її ординатою, що дорівнює одиниці, і базою,
що дорівнює π ≈ 3,14, існує певне співвідношення: база синусоїди в π разів більша за її
максимальну ординату .
проміжки, у яких функція зростає одночасно зі зростанням аргументу
значення аргументу
значення аргументу (kπ), у яких
функція перетворюється на нуль (точки перетину графіка з віссю Ох) тощо (k – будь-яке ціле число).
Розглянемо ще один спосіб побудови графіка у = sin x.
Візьмемо контрольні точки
(0; 0), (π/6; 1/2),
(π/2;
1), (π; 0),
Нарешті, скориставшись періодичністю функції у = sin x, можна побудувати графік по всій області визначення.
Деякі властивості
функції у = sin x.
1. Область визначення – безліч
всіх дійсних чисел.
2. Область значень – відрізок
[-1; 1].
3. Функція періодична, основний
період дорівнює 2π.
4. Безперервність функції у = sin x.
Функція у
= sin x існує при всіх дійсних
значеннях х, причому графік
є суцільною кривою лінією (без розривів), тобто функція у
= sin x безперервна.
–1 ≤ sin x ≤ +1,
причому
sin x = +1,
якщо х = π/2 + 2πn,
і
sin x = –1,
якщо х = 3π/2 + 2πn,
де n
= 0; ±1; ±2; …
7. Нульові значення (точки
перетину графіка функції з віссю абсцис).
sin x = 0,
якщо х = πn,
(n = 0; ±1; ±2; …).
8. Інтервали зростання та спадання.
– π/2 + 2πn
≤ x ≤ π/2 +2πn
(n = 0; ±1; ±2; …)
функція sin
x зростає від –1
до +1,
приймаючи всі проміжні значення.
Це означає, що більшому
значенню кута х
із цього проміжку відповідає більше
значення sin
x, тобто якщо
–
π/2 ≤ х1
< х2 ≤ π/2
то
–1
≤ sin х1 < sin х2
≤
+1
такий кут х, і до того ж єдиний,
синус якого дорівнює у.
При зміні х від π/2 до 3π/2 функція sin
x зменшується від +1
до –1,
тобто більшого значення х
із цього проміжку відповідає менше
значення sin
x. При зміні х від π/2 до 3π/2 функція sin
x зменшується від +1
до –1,
тобто більшому значенню х
із цього проміжку відповідає менше
значення sin
x. При цьому sin
x набуває всіх проміжних значень між +1 и –1.
Період функції sin x
дорівнює 2π.
Тому можна до меж розглянутого проміжку додати по 2πn.
π/2 + 2πn
≤ x ≤ 3π/2 +2πn
(n = 0; ±1; ±2; …)
Графік функції у = соs x.
Формулу приведення
соs x = sin
(π/2
+ х)
можна прочитати так: косинус будь-якого кута дорівнює синусу кута, на π/2 більшого, так що маємо:
соs 0 = sin
π/2, соs π/8 = sin 5π/8,
соs π/4 = sin 3π/4, соs 3π/8 = sin 7π/8,
соs π/2 = sin π, соs 5π/8 = sin 9π/8.
На підставі поміченого властивості функції соs x побудова графіка цієї функції зводиться
до наступного.
Від точки О' вправо по осі О'х відкладемо 16 рівних частин, кожна з яких дорівнює 1/16 довжини одиничного кола. Кінці поділів
зліва направо позначені числами:
π/8, π/4, 3π/8, π/2, …, 2π.
Точці О' відповідає
нульовий поділ. Далі слід знайти ординати графіка функції соs x, відповідні
поміченим абсцис. Ось тут і використовується рівність значень
соs x
и sin (π/2
+ х).
Поступаємо наступним чином. Переносимо по порядку паралельні ординати
кінців наступних дуг кола
π/2, 5π/8, 3π/4, 7π/8, π, …
у відповідні точки, що мають на осі О'х абсциси:
0, π/8, π/4, 3π/8, π/2, …
Кожній парі отриманих значень абсциси та ординати відповідає єдина точка,
що належить графіку функції
у = соs x.
Поєднавши побудовані точки плавною лінією, отримаємо графік косинусоїди.
Косинусоїда є синусоїдою, зміщену вздовж осі
О'х вліво на
π/2.
З цього укладаємо, що графік функції у = соs x то, можливо отримано наступним чином.
З графіка функції у = соs x видно, що
соs
x зменшується від 1 до
–1 на будь-якому проміжку зростання х
від 2kπ
до π + 2kπ і зростає
від –1 до +1 на будь-якому проміжку
зростання х
від 2kπ + π
до 2(k + 1)π; соs x приймає
максимальні значення (+1)
при х = 2kπ та мінімальні
значення (–1) при х = π + 2kπ; соs
x при х = π/2 + kπ перетворюється
на нуль (k – будь-яке ціле число).
Графік функції у = cos x легко одержати з графіка функції у = sin x.
За будь-якого х, згідно з формулою, маємо
y
= cos x = sin (x + π/2).
1. Область визначення – безліч
всіх дійсних чисел.
2. Область значень – відрізок [–1;
1].
3. Функція періодична, основний
період дорівнює 2π.
4. Функція y
= cos x парна, та її графік
симетричний щодо осі ординат.
5. Найбільші та найменші значення. Усі
можливі значення функції у = cos x обмежені нерівностями
–1 ≤ cos x
≤ +1,
причому
cos
x
= +1,
якщо х = 2πn, и
cos
x
= –1,
якщо х = (2n + 1)πn,
де n
= 0; ±1; ±2; …
6. Нульові значення (точки
перетину графіка функції з віссю абсцис).
cos
x
= 0,
якщо х = π/2
(2n + 1),
(n = 0; ±1; ±2; …).
7. Інтервали зростання та спадання.
більшого значення з
цього проміжку відповідає менше значення cos
x,
тобто якщо
0
≤ х1 < х2
≤
π
то
+1
≥ cos х1
> cos х2
≥
–1.
Будь-якому значенню
функції у, що задовольняє
нерівності
–1
≤ у ≤ +1,
відповідає єдине
значення аргументу х,
що задовольняє нерівності
π
≥ х ≥ 0,
таке, що
cos
x = у.
При зміні х від π до 2π. При цьому cos x набуває всіх проміжних значень від –1 до +1.
Період функції соs x дорівнює 2π. Тому можна до меж розглянутого
проміжку додати по 2πn.
π + 2πn
≤ x ≤ 2π +2πn
- Урок 1. Градусний вимір кутових величин
- Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
- Урок 3. Основні тригонометричні функції
- Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
- Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
- Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
- Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
- Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
- Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
- Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
- Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
- Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
- Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
- Урок 14. Теорема синусів
- Урок 15. Теорема косинусів
- Урок 16. Рішення косокутних трикутників
- Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
- Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
- Урок 19. Формули зведення (1)
- Урок 20. Формули зведення (2)
- Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
- Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
- Урок 23. Формули половинного аргументу
- Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
- Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
- Урок 27. Обернені тригонометричні функції
- Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
- Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
- Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
- Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень
Комментариев нет:
Отправить комментарий