Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Основными случаями решения треугольников называются задачи на вычисление элементов треугольника за тремя данными независимыми его элементами. К основным элементам треугольника относят его стороны и углы, из которых только два угла независимые один от другого, потому что

∠ α + ∠ β + ∠ γ = 180°.

В прямоугольном треугольнике один угол всегда известен (прямой), потому для развязывания прямоугольных треугольников достаточно задать два из каких-либо основных элементов, кроме двух острых углов, потому что для прямоугольного треугольника

∠ α + ∠ β = ^π/₂ = 90° (γ = ^π/₂ = 90°)

и, следовательно, если задан один из углов, например  α, то  

β = 90° – α, 

и наоборот, если известно  

∠ β, то  α = 90° – β.

Синус острого угла  α  прямоугольного треугольника  (sin α) – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла  α  прямоугольного треугольника  (cos α) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла  α  прямоугольного треугольника  (tg α) – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Если  α – острый угол   ∆ АВС, ∟С = 90°, то

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равняется острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Зависимость между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Из определений тригонометрических функций вытекают следствия:

 a = c sin α,

b = c cos α.

Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего (этому катету) угла или на косинус прилежащего (этому катету) угла.

a = b tg α,

b = а сtg α.

Катет равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего определяемому катету, или на котангенс угла, прилежащего определяемому катету.

Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего (этому катету) угла или на косинус прилежащего (этому катету) угла.

Типовые задачи решения прямоугольных треугольников.

Решить прямоугольный треугольник – значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.

 Следующие четыре случая решения прямоугольного треугольника называются основными.

 Возьмём прямоугольный треугольник  АВС. Обозначим длины его сторон буквами  a, b, c, а величины противолежащих углов соответственно буквами  А, В  и  С, как показано на рисунке.

1. Решить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дана гипотенуза  с  и острый  ∠ α. Остальные элементы находим по формулам

a = c sin α;  b = c cos α;  ∠ β = 90° – α.

ПРИМЕР:

Дано:

с = 18,2, ∠ β = 32°20'.

Найти

а, b  и  ∠ α.

РЕШЕНИЕ:

a = c sin β;

a = 18,2 ∙ sin 32°20' ≈

18,2 ∙ 0,5349 ≈ 9,74;

b = c cos β;

b = 18,2 ∙ cos 32°20' ≈

18,2 ∙ 0,8450 ≈ 15,4;

∠ α = 90° – β;

∠ α = 90° – 32°20' = 57°40'.

ПРОВЕРКА:

2. Решить прямоугольный треугольник по катету и острому углу.

Дан катет  а  и острый  ∠ α (или  ∠ β). Остальные элементы находим по формулам

∠ β = 90° – α;  

b = a ctg α;

ПРИМЕР:

Дано:

a = 102, ∠ β = 54°40'.

Найти

b, c  и  ∠ α.

РЕШЕНИЕ:

b = a ctg β;

b = 102 ∙ ctg 54°40' ≈

102 ∙ 0,7089 ≈ 72,3;

∠ α = 90° – β;

∠ α = 90° – 54°40' = 35°20'.

3. Решить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Дана гипотенуза  с  и катет  а (или b). Остальные элементы находим по формулам

ПРИМЕР:

Дано:

c = 27,5, a = 22,6.

Найти:

b, ∠ α  и  ∠ β.

РЕШЕНИЕ:

ПРОВЕРКА:

b = c sin β = 27,5 ∙ sin 34°44' ≈

27,5 ∙ 0,5698 ≈ 15,7.

a = b tg α ≈ 15,7 ∙ tg 55°16' ≈

15,7 ∙ 0.4424 ≈ 22,6.

4. Решить прямоугольный треугольник по двум катетам. 

Даны катеты  а  и  b. Остальные элементы находим по формулам

ПРИМЕР:

Дано:

a = 32,4, b = 43,5.

Найти:

c, ∠ α  и  ∠ β.  

РЕШЕНИЕ:

ПРОВЕРКА:

A + B =36°41' + 53°19' = 90°.

a = c sin α; a = 54,2 ∙ sin 36°41' ≈

54,2 ∙ 0,5974 ≈ 32,4.

ПРИМЕР:

Прямоугольный треугольник  АВС  имеет катеты  а = 4, b = 3. Найдите синус, косинус и тангенс угла  А.

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора:

Откуда следует:

Согласно формулам:

ЗАДАЧА:

Определить углы <<египетского треугольника>>, то есть треугольника со сторонами

a = 3, b = 4, c = 5.

РЕШЕНИЕ:

Согласно формуле имеем

Зная тангенс, воспользовавшись <<четырехзначной таблицей тригонометрических функций для градусного аргумента>>, находим с точностью до  0,1  градуса.

A = 36°9 = 36°54ʹ, 

B = 90° – A = 53°1 = 53°6ʹ.

ОТВЕТ:

A = 36°54ʹ, B = 53°6ʹ

ЗАДАЧА:

Острый угол прямоугольного треугольника с гипотенузой  с  равен  α. Найдите высоту треугольника, проведённую до его гипотенузы.

РЕШЕНИЕ:

Катеты треугольника равны:

CB = c cosα, 

AC = c sinα,

Площадь треугольника равна:

¹/₂ CB×AC

или

¹/₂  AB × h.

Приравняем эти выражения.

¹/₂ CB × AC = ¹/₂ AB × h,

¹/₂ c cosα × c sinα = ¹/₂ с × h.

Найдём высоту  h

ОТВЕТ:  c sinα cosα

ЗАДАЧА:

Катеты прямоугольного треугольника равны  2 см  и  √͞͞͞͞͞5 см. Найдите косинус меньшого острого угла этого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Меньший угол лежит против меньшой стороны, поэтому 

∠ А < ∠ С.

По теореме Пифагора

АС² = АВ² + ВС² = (√͞͞͞͞͞5)² + 2² = 9.

АС = 3 см.

ЗАДАЧА:

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен  4 см, а синус противолежащего угла – 0,8.

Найдите гипотенузу.

РЕШЕНИЕ:

Решение равнобедренных треугольников.

Тригонометрические функции острого угла применяются не только для решения прямоугольных треугольников. Они используются также при решении  равнобедренных треугольников. С помощью их устанавливаются зависимости между сторонами и центральными углами правильных многоугольников и вообще решаются задачи, приводящиеся к решению прямоугольных треугольников.

Рассмотрим несколько случаев решения равнобедренного треугольника.

Решить равнобедренный треугольник – значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.

1. Дано основание  b  равнобедренного треугольника  АВС  и угол  А  при нём. Надо найти остальные углы и стороны треугольника.

Пусть в треугольнике  АВС  BD ⊥ AC.

Тогда

AD = DC = ^b/₂  C = A,

B = 180° – 2A.

Из прямоугольного треугольника  ABD  имеем:

откуда

2. Решить равнобедренный треугольник, если даны боковая сторона  с  и угол  В  при вершине.

Имеем:

Из прямоугольного треугольника  ABD  находим:

AD = AB sin ^B/₂,

^b/₂ = c sin ^B/₂.

Откуда

b = 2c sin ^B/₂.

3. Даны стороны равнобедренного треугольника  а = с  и  b. Найти углы.

Из прямоугольного треугольника  АВС  находим:

По таблицам находим угол  А, а следовательно и  С. Тогда

B = 180° – 2A.

ЗАДАЧА:

Основание  m  равнобедренного треугольника равно  1980 см, угол  β  при вершине равен  38°32'. Найдите боковую сторону и угол при основании.

РЕШЕНИЕ:

Боковая сторона равна:

Угол при основании равен:

ЗАДАЧА:

Определить углы равнобедренного треугольника, зная, что его ортоцентр лежит на вписанном в треугольник кругу.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображен равнобедренный треугольник 

∆ АВС (АС = СВ),

в который вписана окружность с центром  О  и ортоцентр  Н, то есть точка пересечения высот треугольника лежит на дуге этого круга.

Надо определить углы треугольника. Угол  ∆ ABC  обозначим через  2α, тогда  ∠ AOD = α. Из прямоугольного  ∆ ACD  находим

∠ ACD = 90° – 2α, тогда и 

∠ DCB = 90° – 2α.

Треугольник  CHE  прямоугольный (АЕ – высота), поэтому  ∠ CHE = 2α, стороны его взаимно перпендикулярные со сторонами  ∠ DCB, а вертикальный с ним 

∠ AMD = 2α, с  ∆ ADH

где  r – радиус вписанной окружности. Из   ∆ AOD

Сравнивая два последних равенства, находим

откуда  5 tg²α = 1,
поэтому,

Таким образом,

а тогда

C = π – (A + B) = π – 2A.

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Боковая сторона  а,  равнобедренного треугольника, равна  200 м, а угол  α  при основании равен  71°20'. Найдите основание, угол при вершине и площадь треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Искомое основание  х = 2a cos α, или

х = 2 ∙ 200 cos 71°20' = 400 ∙ 0,3200 = 128 м.

Угол при вершине равен

180° – 2α = 180° – 142°40' = 37°20'.

Площадь  S  треугольника равна  ¹/₂ ah, где  h – высота,

h = a sin α ≈ 200 ∙ 0,9474 ≈ 189,5,

S = ¹/₂ ∙ 128 ∙ 189,5 ≈ 121 200 м².

Задания к уроку 13

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований