Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Основними випадками розв’язання трикутників називаються задачі на обчислення елементів трикутника за трьома даними незалежними його елементами. До основних елементів трикутника відносять його сторони і кути, з яких тільки два кути незалежні один від одного, тому що

∠ α + ∠ β + ∠ γ = 180°.

У прямокутному трикутнику один кут завжди відомий (прямий), тому для розв’язування прямокутних трикутників досить задати два з яких-небудь основних елементів, крім двох гострих кутів, бо для прямокутного трикутника

∠ α + ∠ β = ^π/₂ = 90°

(γ = ^π/₂ = 90°)

і, отже, якщо задано один з кутів, наприклад  α, то  

β = 90° – α, 

і навпаки, якщо відомо  

∠ β, то  α = 90° – β.

Синус гострого кута  α  прямокутного трикутника  

(sin α) – відношення катета, що проти лежить, до гіпотенузи.

Косинус гострого кута  α  прямокутного трикутника  

(cos α) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута  α  прямокутного трикутника  

(tg α) – відношення катета, що проти лежить, до прилеглого.

Якщо  α – гострий кут   ∆ АВС, ∟С = 90°, то

Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту іншого прямокутного трикутника, то синуси цих кутів рівні, косинуси цих кутів рівні і тангенси цих кутів рівні.

Залежність між сторонами та кутами у прямокутному трикутнику.

З визначень тригонометричних функцій випливають наслідки:

a = c sin α,

b = c cos α.

Катет дорівнює гіпотенузі, помноженої на синус протилежного (цьому катету) кута або на косинус прилеглого (цьому катету) кута.

a = b tg α,

b = а сtg α.

 Катет дорівнює іншому катету, помноженому на тангенс кута, що проти лежить визначеному катету, або на котангенс кута, прилеглого до катета.

Гіпотенуза дорівнює катету, поділеному на синус протилежного (цьому катету) кута або на косинус прилеглого (цьому катету) кута.

Типові задачі розв’язання прямокутних трикутників.

Вирішити прямокутний трикутник – значить обчислити всі його сторони та кути за будь-якими даними, що визначає цей трикутник.

Наступні чотири випадки розв'язання прямокутного трикутника називаються основними.

Візьмемо прямокутний трикутник  АВС. Позначимо довжини його сторін літерами  a, b, c, а величини протилежних кутів відповідно до літер  А, В  і  С, як показано на малюнку.

1. Вирішити прямокутний трикутник з гіпотенузи та гострого кута. 

Дано гіпотенузу  с  і гострий  ∠ α. Решту елементів знаходимо за формулами

a = c sin α;  

b = c cos α;  

∠ β = 90° – α.

ПРИКЛАД:

Дано:

с = 18,2, ∠ β = 32°20'.

Знайти

а, b  і  ∠ α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

a = c sin β;

a = 18,2 ∙ sin 32°20' ≈

18,2 ∙ 0,5349 ≈ 9,74;

b = c cos β;

b = 18,2 ∙ cos 32°20' ≈

18,2 ∙ 0,8450 ≈ 15,4;

∠ α = 90° – β;

∠ α = 90° – 32°20' = 57°40'.

ПЕРЕВІРКА:

2. Вирішити прямокутний трикутник по катету та гострому куту.

Дано катет  а  і гострий  ∠ α (або ∠ β). Решту елементів знаходимо за формулами

∠ β = 90° – α;  b = a ctg α;

ПРИКЛАД:

Дано:

a = 102, ∠ β = 54°40'.

Знайти

b, c  і  ∠ α.  

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

b = a ctg β;

b = 102 ∙ ctg 54°40' ≈

102 ∙ 0,7089 ≈ 72,3;

∠ α = 90° – β;

∠ α = 90° – 54°40' = 35°20'.

ПЕРЕВІРКА:

3. Дано гіпотенузу  с  і катет  а (або b). Решту елементів знаходимо за формулами

ПРИКЛАД:

Дано:

c = 27,5, a = 22,6.

Знайти:

b, ∠ α  і  ∠ β.  

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПЕРЕВІРКА:

b = c sin β = 27,5 ∙ sin 34°44' ≈

27,5 ∙ 0,5698 ≈ 15,7.

a = b tg α ≈ 15,7 ∙ tg 55°16' ≈

15,7 ∙ 0.4424 ≈ 22,6.

4. Вирішити прямокутний трикутник за двома катетами.

Дано катети  а  і  b. Решту елементів знаходимо за формулами

ПРИКЛАД:

Дано:

a = 32,4, b = 43,5.

Знайти:

c, ∠ α  і  ∠ β.  

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПЕРЕВІРКА:

A + B =36°41' + 53°19' = 90°.

a = c sin α; a = 54,2 ∙ sin 36°41' ≈

54,2 ∙ 0,5974 ≈ 32,4.

ПРИКЛАД:

Прямокутний трикутник  АВС  має катети  а = 4, b = 3. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута  А.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо гіпотенузу, використовуючи теорему Піфагора:

Звідки слідує:

Згідно з формулами:

ЗАДАЧА:

Визначити кути <<єгипетського трикутника>>, тобто трикутника із сторонами

a = 3, b = 4, c = 5.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Згідно з формулою маємо

Знаючи тангенс, скориставшись <<чотиризначною таблицею тригонометричних функцій для градусного аргументу>>, знаходимо з точністю до  0,1  градуса.

A = 36°,9 = 36°54ʹ, 

B = 90° – A = 53°1 = 53°6ʹ.

ВІДПОВІДЬ:

A = 36°54ʹ,  B = 53°6ʹ.

ПРИКЛАД:

Гострий кут прямокутного трикутника з гіпотенузою  с  дорівнює  α. Знайдіть висоту трикутника, проведену до його гіпотенузи.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Катети трикутника рівні:

CB = c cosα, 

AC = c sinα,

Площа трикутника рівна:

¹/₂ CB×AC

або

¹/₂ AB×h.

Прирівняємо ці вирази.

¹/₂ CB × AC = ¹/₂ AB × h,

¹/₂ c cos α × c sin α = ¹/₂ с × h.

Знайдемо висоту  h

ВІДПОВІДЬ:  c sin α cos α

ЗАДАЧА:

Катеті прямокутного трикутника дорівнюють  2 см  і  √͞͞͞͞͞5 см. Знайдіть косинус меншого гострого кута цього трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Менший кут лежить проти меншої сторони, тому  ∠ А < ∠ С.

За теоремою Піфагора

АС² = АВ² + ВС² = 

(√͞͞͞͞͞5 )² + 2² = 9.

АС = 3 см.

ЗАДАЧА:

У прямокутному трикутнику один з катетів дорівнює  4 см, а синус протилежного кута – 0,8.

Знайдіть гіпотенузу.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розв'язання рівнобедрених трикутників.

Тригонометричні функції гострого кута застосовуються як рішення прямокутних трикутників. Вони використовуються також при вирішенні рівнобедрених трикутників. За допомогою їх встановлюються залежності між сторонами та центральними кутами правильних багатокутників і взагалі вирішуються задачі, що призводять до розв'язання прямокутних трикутників.

Розглянемо кілька випадків розв'язання рівнобедреного трикутника.

Вирішити рівнобедрений трикутник – означає обчислити всі його сторони та кути за будь-якими даними, що визначає цей трикутник.

1. Дано основу  b  рівнобедреного трикутника  АВС  та кут  А  при ньому. Треба знайти інші кути та сторони трикутника.

Нехай у трикутнику  АВС  BD ⊥ AC.

Тоді

AD = DC = ^b/₂  C = A,

B = 180° – 2A.

З прямокутного трикутника  ABD  маємо:

звідки

2. Вирішити рівнобедрений трикутник, якщо дані бічна сторона  с  і кут  В  при вершині.

Маємо:

З прямокутного трикутника  ABD  знаходимо:

AD = AB sin ^B/₂,

^b/₂ = c sin ^B/₂.

Звідки

b = 2c sin ^B/₂.

3. Дано сторони рівнобедреного трикутника  а = с  і  b. Знайти кути.

З прямокутного трикутника  АВС  знаходимо:

По таблицях знаходимо кут  А, отже і  С. Тоді

B = 180° – 2A.

ЗАДАЧА:

Основа  m  рівнобедреного трикутника дорівнює  1980 см, кут при вершині дорівнює  38°32'. Знайдіть бічну сторону та кут при основі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Бічна сторона дорівнює:

Кут при основі дорівнює:

ЗАДАЧА:

Визначити кути рівнобедреного трикутника, знаючи, що його ортоцентр лежить на вписаному в трикутник колі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На малюнку зображено рівнобедрений трикутник 

∆ АВС (АС = СВ),

в який вписано коло з центром  О  та ортоцентр  Н, тобто точка перетину висот трикутника лежить на дузі цього кола.

Потрібно визначити кути трикутника. Кут  ∆ ABC  позначимо через  2α, тоді  ∠ AOD = α. З прямокутного  ∆ ACD знаходимо

∠ ACD = 90° – 2α, тоді і 

∠ DCB = 90° – 2α.

Трикутник  CHE  прямокутний (АЕ – висота), тому  ∠ CHE = 2α, сторони його взаємно перпендикулярні до сторін  ∠ DCB, а вертикальний з ним 

∠ AMD = 2α, с  ∆ ADH

де  r – радіус вписаного кола. З   ∆ AOD

Порівнюючи дві останні рівності, знаходимо

звідки  5 tg²α = 1,
тому,

Таким чином,

а тоді

C = π – (A + B) = π – 2A.

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Бічна сторона  а, рівнобедреного трикутника, дорівнює  200 м, а кут  α  при основі дорівнює  71°20'. Знайдіть основу, кут при вершині та площу трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Шукана основа  х = 2a cos α, або

х = 2 ∙ 200 cos 71°20' = 400 ∙ 0,3200 = 128 м.

Кут при вершині дорівнює

180° – 2α = 180° – 142°40' = 37°20'.

Площа  S  трикутника дорівнює  ¹/₂ ah, де  h – висота,

h = a sin α ≈ 200 ∙ 0,9474 ≈ 189,5,

S = ¹/₂ ∙ 128 ∙ 189,5 ≈ 121 200 м².

Завдання до уроку 13

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень